Liczba e jako granica

Liczba e jest fundamentalną stałą matematyczną w rachunku różniczkowym, szczególnie w kontekście wzrostu wykładniczego.

Jego odwrotną funkcją jest logarytm naturalny, który pomaga precyzyjniej zdefiniować e.

Pochodna naturalnej funkcji logarytmu to taka jak podzielona przez jej wejście x. Przy x równa się jeden, ta pochodna jest dokładnie jeden. Ta relacja stanowi podstawę do definiowania e przez granice.

Pochodną można wyrazić za pomocą pierwszej zasady rachunku różniczkowego, gdzie h oznacza niewielką zmianę x. Ponieważ naturalny logarytm jeden jest równy zeru, wyrażenie upraszcza.

Potęgowanie obu stron usuwa logarytm. Użycie x jako zmiennej dla małej zmiany daje pierwszą definicję granicy e. Gdy x zbliża się do zera, wartość tego wyrażenia zbliża się do stałej wartości, e.

Innym sposobem zdefiniowania e jest zastąpienie wejścia ułamkiem, który maleje wraz ze wzrostem mianownika. W miarę maleka tego ułamku wyrażenie stabilizuje się w e.

Ta definicja jest szeroko stosowana. Na przykład w ciągłym odsetku składanym, gdy częstotliwość kumulacji zbliża się do nieskończoności, limit staje się e, co prowadzi do wykładniczego wzrostu kwoty.