Podstawowe Twierdzenie Rachunku Całkowego I: Rozwiązywanie zadań

System zaopatrzenia w wodę pompuje wodę do zbiornika magazynowego, ale przepływ zmienia się w czasie, co jest modelowane przez funkcję f(t).

Celem jest obliczenie całkowitej objętości wody, która weszła do zbiornika od zera do czasu t.

To obliczenie jest kluczowe w gospodarce wodnej, gdzie dokładne śledzenie objętości wpływa na kontrolę ciśnienia, harmonogramowanie i bezpieczeństwo systemu.

Graficznie wymagana objętość jest równa powierzchni pod krzywą f(t) od zera do t i oblicza się ją za pomocą całki określonej.

Aby uniknąć pomyłek z górną granicą t, wewnątrz całki używa się innej zmiennej, s. Ta zmienna fikcyjna służy jako zastępca, która zmienia się w czasie.

Rozwiązanie tej całki do czasu t daje objętość skumulowaną V(t). Aby sprawdzić, jak całkowita objętość zmienia się w danym momencie, można użyć pierwszej części Fundamentalnego Twierdzenia rachunku różniczkowego.

Stwierdza, że pochodna V(t) jest równa oryginalnej funkcji przepływu.

Oznacza to, że chwilowa zmiana całkowitej objętości jest równa szybkości napływu w danym momencie.