Asymptoty w funkcjach wymiernych

Funkcja wymierna to stosunek dwóch wielomianów o niezerowym mianowniku.

Kluczową cechą funkcji wymiernych są ich asymptoty — linie, do których wykres się zbliża, ale nigdy ich nie dotyka.

Te asymptoty mogą być pionowe lub poziome.

Asymptoty pionowe występują, gdy mianownik jest równy zero, tworząc przerwy w wykresie. Znajdują się one przez rozwiązanie mianownika dla zera.

Asymptoty poziome opisują końcowe zachowanie funkcji wymiernej, gdy dane wejściowe stają się bardzo duże lub bardzo małe.

Funkcje wymierne mogą również przecinać asymptoty poziome, w przeciwieństwie do funkcji pionowych, które działają jak ścisłe granice.

Położenie asymptot poziomych określa się przez porównanie stopni licznika i mianownika.

Gdy stopień licznika jest mniejszy niż mianownik, asymptota pozioma wynosi y równe zero.

Większy stopień w liczniku niż mianownik oznacza, że funkcja nie ma asymptoty poziomej.

Weźmy na przykład pod uwagę stężenie zanieczyszczenia w wodzie, modelowane jako funkcja racjonalna. Wraz ze wzrostem objętości wody stężenie zanieczyszczenia zmniejsza się i zbliża się do zera, tworząc poziomą asymptotę w punkcie y równym zero.