Twierdzenie dwumianowe

Wyobraź sobie, że układasz rząd kwiatów, z których każdy zawiera różę lub tulipan.

Całkowita liczba kombinacji jest określona przez a plus b podniesione do potęgi n, gdzie n to liczba kwiatów, a a i b reprezentują odpowiednio róże i tulipany. Twierdzenie dwumianowe podaje liczbę sposobów ułożenia k tulipanów i (n-k) róż.

Rozwinięcie a plus b podniesione do potęgi n daje wyrazy indeksowane przez k od zera do n, w tym współczynnik dwumianowy.

Współczynnik dwumianowy, zapisany jako "n wybierz k", jest zdefiniowany jako silnia n podzielona przez iloczyn k silni i n minus k silni.

Aby to zrozumieć, rozważmy, że n równa się trzy, a k równa się dwa. Współczynnik ten daje unikalne sposoby wyboru dwóch pozycji dla tulipanów z trzech miejsc.

Rozszerzenie obejmuje również moce każdej zmiennej: moc jednej zmiennej maleje, podczas gdy druga rośnie.

Ogólny termin obejmuje współczynnik dwumianowy pomnożony przez pierwszą zmienną podniesioną do n minus k i drugą zmienną podniesioną do k.

Tak jak układanie kwiatów upraszcza planowanie, tak twierdzenie dwumianowe upraszcza rozszerzanie dwumianów i obliczanie współczynników dla dużych potęg.