Problem stycznej

Wyobraź sobie samochód jadący krętą drogą; jego położenie w czasie można przedstawić jako gładką krzywą na grafie.

Aby obserwować zmianę pozycji samochodu między dwoma punktami, można narysować prostą łączącą je – ta linia nazywana jest linią sekantową.

Nachylenie linii sekanty odzwierciedla średnią prędkość samochodu w tym przedziale. Oznacza zmianę pozycji podzieloną przez zmianę czasu.

Aby zrozumieć, jak kierunek samochodu zmienia się w danym punkcie, dwa punkty wzdłuż krzywej można przesuwać coraz bliżej siebie.

Gdy zmiana czasu zbliża się do zera, granica nachylenia linii sekanty przekształca się w prostą styczną.

Linia styczna dotyka krzywej w pojedynczym punkcie i ma tę samą natychmiastową szybkość zmiany co krzywa w tym punkcie.

Nachylenie tej prostej stycznej daje chwilową prędkość w tym punkcie i definiuje się ją jako pochodną krzywej w tym miejscu.

Wiele linii stycznych pokazuje, jak chwilowa prędkość zmienia się wzdłuż całej krzywej.

Proste stycznej są szeroko stosowane — na przykład w dynamice populacji nachylenie w punkcie krzywej czasu populacji daje natychmiastową szybkość wzrostu.