Całkowanie przez części: Całki oznaczone

Całki określone iloczynów dwóch funkcji na stałych przedziałach można rozwiązać za pomocą całkowania przez części.

Aby rozwiązać prawą stronę tego wyrażenia, zostanie wyliczona różnica iloczynu funkcji pomiędzy końcami przedziału, a pozostały wyraz zostanie potraktowany jako całka określona.

Przydatnym przykładem jest całka funkcji odwrotnej stycznej. Ponieważ nie istnieje standardowy wzór całkowy dla tej funkcji, całka jest traktowana jako iloczyn odwrotności stycznej i stałej 1.

Odwrotność stycznej przyjmuje się jako funkcję do różniczkowania, a stała jest całkowana.

Podstawiając do wzoru całkowania przez części, pierwszy wyraz można rozwiązać, bezpośrednio oceniając iloczyn na końcach. Pozostającą całkę można wtedy rozwiązać przez podstawienie.

Nowa zmienna, t, jest ustalana jako 1 plus x do kwadratu, a granice całkowania są dostosowywane. Całka staje się wtedy wyrażeniem odwrotnym, które upraszcza się do formy logarytmicznej.

Naturalny log jeden równy się zero, więc ostateczne wyrażenie upraszcza się, pokazując pole pod krzywą między tymi dwoma granicami.