Twierdzenie Pappusa–Guldinusa

Twierdzenie Pappusa dla objętości łączy geometrię obszaru płaskiego z objętością jego bryły obrotowej, bez stosowania technik całkowania, takich jak metoda dyskowa.

Twierdzenie mówi, że gdy obszar płaski o znanym środku ogniska obraca się wokół osi, powstała objętość jest równa powierzchni tego obszaru pomnożonej przez odległość pokonaną przez jego środek na torze kołowym.

Na przykład rozważmy trójwymiarowy kształt przypominający pączka, zwany torusem. Powstaje przez obrócenie okręgu o promieniu r wokół prostej w jego płaszczyźnie, która nie przecina tego koła.

Ten okrągły przekrój poprzeczny generuje ciało stałe podczas obrotu.

Środek ciężkości koła znajduje się w odległości R od osi obrotu.

W miarę obrotu koła jego środek ciężkości podąża po okrężnej ścieżce o długości równej jego obwodowi.

Korzystając z twierdzenia, objętość torusa otrzymuje się przez pomnożenie pola przekroju przez odległość pokonaną przez środek ciężkości.

Praktycznym przykładem jest zastosowanie toroidalnych zbiorników do przechowywania paliwa w ciasnych przestrzeniach. Twierdzenie Pappusa wykorzystuje powierzchnię i długość drogi ciężkości, aby wyznaczyć objętość, co pomaga pokazać dostępną pojemność paliwa.