Liniowe równania różniczkowe

Metoda czynnika całkującego daje ogólne podejście do rozwiązania dowolnego równania różniczkowego pierwszego rzędu, które nie jest separowalne.

Czynnik całkowy otrzymuje się, biorąc wykładniczą całkę współczynnika y.

Mnożenie obu stron równania przez ten czynnik przekształca lewą stronę w pochodną iloczynu, co pozwala na łatwe rozwiązanie.

Na przykład rozważmy samochód poruszający się pod stałą siłą silnika, doświadczając oporu powietrza proporcjonalnego do jego prędkości.

Zastosowanie drugiego prawa Newtona prowadzi do równania różniczkowego pierwszego rzędu, które nie jest separowalne i można rozwiązać za pomocą czynnika całkującego.

Czynnik całkowy znajduje się, biorąc wykładniczą całkę współczynnika prędkości względem czasu, co ułatwia rozwiązanie równania.

Mnożenie obu stron przez czynnik całkujący przekształca lewą stronę w pochodną iloczynu czynnika i prędkości.

Integracja obu stron daje ogólne rozwiązanie, które przewiduje prędkość samochodu w dowolnym momencie.

Wynik pokazuje, że prędkość szybko zmienia się na początku, zgodnie z ujemnym wykładnikiem, a następnie stopniowo zbliża się do prędkości końcowej.