Kształtowanie amplitudy i fazy wiązek laserowych za pomocą przestrzennego modulatora światła tylko dla fazy

Podsumowanie

Pokazujemy, jak zakodować złożone pole wiązek laserowych za pomocą elementu jednofazowego. Interferometr o wspólnej ścieżce jest wykorzystywany do mieszania wyświetlanych informacji o fazie z przestrzennym modulatorem światła tylko w fazie, aby ostatecznie uzyskać pożądany złożony wzór pola na wyjściu systemu obrazowania optycznego.

Streszczenie

Celem tego artykułu jest wizualne zademonstrowanie wykorzystania metody interferometrycznej do kodowania złożonych pól związanych ze spójnym promieniowaniem laserowym. Metoda opiera się na koherentnej sumie dwóch jednorodnych fal, wcześniej zakodowanych w przestrzenny modulator światła tylko fazowego (SLM) poprzez przestrzenne multipleksowanie ich faz. W tym przypadku proces interferencji odbywa się poprzez przestrzenne filtrowanie częstotliwości światła na płaszczyźnie Fouriera określonego systemu obrazowania. Prawidłowa implementacja tej metody pozwala na uzyskanie dowolnych informacji o fazie i amplitudzie na wyjściu układu optycznego.

Jest to technika kodowania na osi, a nie poza osią, z bezpośrednim algorytmem przetwarzania (nie pętlą iteracyjną) i wolna od spójnego szumu (plamki). Złożone pole może być dokładnie odzyskane na wyjściu układu optycznego, z wyjątkiem pewnej utraty rozdzielczości spowodowanej procesem filtrowania częstotliwości. Głównym ograniczeniem metody może być brak możliwości działania z częstotliwościami wyższymi niż częstotliwość odświeżania SLM. Zastosowania obejmują między innymi mikroskopię liniową i nieliniową, kształtowanie wiązki lub mikroobróbkę laserową powierzchni materiałów.

Wprowadzenie

Prawie wszystkie zastosowania laserów są ściśle powiązane z zarządzaniem optycznym frontem fali światła. W przybliżeniu paraksjalnym pole zespolone związane z promieniowaniem laserowym można opisać za pomocą dwóch parametrów: amplitudy i fazy. Kontrola nad tymi dwoma parametrami jest niezbędna do dowolnej modyfikacji struktury czasowej i przestrzennej wiązek laserowych. W ujęciu ogólnym amplitudę i fazę wiązki laserowej można odpowiednio zmieniać za pomocą kilku metod, w tym poprzez zastosowanie komponentów optycznych – od pojedynczych soczewek, dzielników wiązki i luster, po najbardziej złożone urządzenia, takie jak lustra deformowalne lub przestrzenne modulatory światła. W niniejszej pracy przedstawiamy metodę kodowania i rekonstrukcji pola zespolonego spójnych wiązek laserowych, opartą na teorii hologramów dwufazowych¹ oraz wykorzystaniu interferometru wspólnej ścieżki.

Obecnie istnieje szeroka gama metod kodowania złożonych pól wiązek laserowych^2,3,4,5. W tym kontekście niektóre uznane metody generowania modulacji fazy i amplitudy opierają się na zastosowaniu hologramów cyfrowych⁶. Wspólnym elementem wszystkich tych metod jest konieczność wytworzenia przesunięcia przestrzennego w celu oddzielenia pożądanej wiązki wyjściowej od rzędu zerowego powstającego w wyniku odbicia światła od wyświetlacza SLM. Metody te są zasadniczo pozaosiowe (zazwyczaj stosowane dla pierwszego rzędu dyfrakcyjnego siatki), wykorzystując siatkę fazową nie tylko do kodowania fazy, ale także do wprowadzenia niezbędnej modulacji amplitudy. W szczególności modulacja amplitudy jest realizowana poprzez przestrzenne zmniejszenie wysokości siatki, co wyraźnie obniża sprawność dyfrakcji. Proces rekonstrukcji hologramu najczęściej pozwala na uzyskanie przybliżonej, lecz nie dokładnej rekonstrukcji amplitudy i fazy pożądanego pola złożonego. Rozbieżności między teorią a eksperymentem wydają się wynikać z niedokładnego kodowania informacji o amplitudzie, a także z innych problemów eksperymentalnych występujących podczas filtrowania przestrzennego pierwszego rzędu dyfrakcyjnego lub z efektów pikselizacji SLM. Ponadto profil natężenia wiązki wejściowej może nakładać ograniczenia na moc wyjściową.

W przeciwieństwie do tego, w zastosowanej metodzie⁷ całe zarządzanie światłem odbywa się na osi, co jest bardzo wygodne z punktu widzenia eksperymentalnego. Dodatkowo wykorzystuje ona założenie, że w przybliżeniu paraksjalnym pole zespolone związane z wiązkami laserowymi można rozpatrywać jako sumę dwóch fal jednorodnych. Informacja o amplitudzie jest syntetyzowana poprzez interferencję tych fal jednorodnych. W praktyce taka interferencja jest realizowana poprzez filtrowanie przestrzenne częstotliwości światła w płaszczyźnie Fouriera danego układu obrazującego. Wcześniej wzorce fazowe związane z falami jednorodnymi są multipleksowane przestrzennie i kodowane w SLM działającym tylko na fazie (umieszczonym w płaszczyźnie wejściowej tego układu obrazującego). Zatem cały układ optyczny można uznać za interferometr o wspólnej drodze (bardzo odporny na wibracje mechaniczne, zmiany temperatury lub błędy w ustawieniu optyki). Należy zauważyć, że wyżej wymieniony proces interferencji można alternatywnie zrealizować, stosując inne schematy optyczne: z parą SLM-ów działających tylko na fazie, odpowiednio rozmieszczonych w typowym interferometrze dwuramiennym, lub poprzez sekwencyjne w czasie kodowanie dwóch wzorców fazowych w SLM (wymagające wcześniejszego wprowadzenia lustra referencyjnego do układu optycznego). W obu przypadkach nie ma konieczności filtrowania przestrzennego, a w konsekwencji nie dochodzi do utraty rozdzielczości przestrzennej, kosztem zwiększenia złożoności układu optycznego oraz procesu jego ustawiania. Należy również podkreślić, że stosując tę metodę kodowania, pełne spektrum pożądanego pola zespolonego może zostać dokładnie odzyskanne w płaszczyźnie Fouriera, po odfiltrowaniu wszystkich rzędów dyfrakcyjnych poza rzędem zerowym.

Z drugiej strony, wydajność tej metody zależy od kilku czynników: specyfikacji SLM podanej przez producenta (np. współczynnika wypełnienia, odblaskowości lub wydajności dyfrakcyjnej), rozmiaru zakodowanego wzoru oraz sposobu padania światła na SLM (odbicie pod małym kątem padania lub padanie prostopadłe z wykorzystaniem dzielnika wiązki). W tych warunkach, przy odpowiednich parametrach eksperymentalnych, zmierzona całkowita wydajność świetlna może przekroczyć 30%. Należy jednak zauważyć, że całkowita wydajność świetlna wynikająca wyłącznie z zastosowania SLM może być niższa niż 50%. Brak elementów losujących lub dyfuzorów w układzie optycznym pozwala na odzyskanie wzorów amplitudy i fazy bez szumu koherentnego (speckle). Innymi istotnymi aspektami są zastosowanie algorytmu kodowania bezpośredniego zamiast procedur iteracyjnych oraz możliwość wykonywania dowolnej i niezależnej modulacji amplitudy i fazy z częstotliwością odświeżania SLM (do setek herców przy obecnej technologii).

W zasadzie metoda ta⁷ jest przeznaczona do stosowania z falami płaskimi na wejściu, ale nie jest na to ograniczona. Na przykład, jeśli wiązka Gaussa pada na SLM, możliwe jest zmodyfikowanie kształtu jej natężenia na wyjściu systemu poprzez zakodowanie w SLM odpowiedniego wzorca amplitudy. Jednakże, ponieważ natężenie wiązki wyjściowej nie może przekroczyć natężenia wiązki wejściowej w żadnej pozycji poprzecznej (x,y), kształtowanie amplitudy odbywa się poprzez straty natężenia wynikające z procesu częściowo destrukcyjnej interferencji.

Teoria leżąca u podstaw metody kodowania⁷ jest następująca. Dowolne złożone pole reprezentowane w postaci U(x,y)= A(x,y)e^iφ(x,y) może zostać również zapisane jako:

 (1)

gdzie

 (2)

 (3)

W równaniach 1-3 amplituda i faza dwuwymiarowego pola zespolonego U(x,y) są odpowiednio określone przez A(x,y) oraz φ(x,y). Należy zauważyć, że wyrazy A_max (maksimum A(x,y)) oraz B = A_max/2 nie zależą od współrzędnych poprzecznych (x,y). Z teorii wynika, że jeśli przyjmiemy A_max=2, wówczas B =1. Zatem pole zespolone U(x,y) można uzyskać w prosty sposób poprzez spójną sumę fal jednorodnych Be^iϑ(x,y) oraz Be^iθ(x,y). W praktyce realizuje się to za pomocą interferometru wspólnej ścieżki, składającego się z pojedynczego elementu fazowego α(x,y), umieszczonego w płaszczyźnie wejściowej układu obrazującego. Pojedynczy element fazowy jest konstruowany poprzez multipleksację przestrzenną członów fazowych ϑ(x,y)

oraz θ(x,y) przy użyciu dwuwymiarowych siatek binarnych (wzorów szachownicy) M₁(x,y) i M₂(x,y) w następujący sposób

 (4)

zatem,

 (5)

Wzory binarne te spełniają warunek M₁(x,y) + M₂(x,y) = 1. Należy zauważyć, że interferencja fal jednorodnych nie może zajść, jeśli nie zmieszamy informacji zawartych w elemencie fazowym α(x,y). W niniejszej metodzie jest to realizowane poprzez zastosowanie filtru przestrzennego zdolnego do zablokowania wszystkich rzędów dyfrakcyjnych z wyjątkiem rzędu zerowego. W ten sposób, po procesie filtrowania w płaszczyźnie Fouriera, widmo H(u,v)= F{e^iα(x,y)} zakodowanej funkcji fazy jest powiązane z widmem pola zespolonego F{U(x,y)} za pomocą wyrażenia

 (6)

W równ. (6), (u,v) oznaczają współrzędne w dziedzinie częstotliwości, P(u,v) odpowiada filtru przestrzennemu, natomiast transformata Fouriera danej funkcji Θ(x,y) jest przedstawiona w postaci F{Θ(x,y)}. Z równ. (6) wynika, że w płaszczyźnie wyjściowej systemu obrazowania odtworzone pole zespolone U_RET(x,y), (bez uwzględniania czynników stałych), jest dane przez splot powiększonego i odwróconego przestrzennie pola zespolonego U(x,y) z transformatą Fouriera maski filtra. To znaczy:

 (7)

W równaniu (7) operacja splotu jest oznaczona symbolem , a termin Mag reprezentuje powiększenie układu obrazującego. Zatem amplituda i faza U(x,y) są w pełni odzyskiwane w płaszczyźnie wyjściowej, z wyjątkiem pewnej utraty rozdzielczości przestrzennej wynikającej z operacji splotu.

Protokół

1. Kodowanie złożonego pola w pojedynczym elemencie fazowym

1. Na podstawie specyfikacji technicznej SLM określ jego rozdzielczość przestrzenną (na przykład 1920 pikseli x 1800 pikseli).
2. Zdefiniuj i wygeneruj pożądane wzorce amplitudy A(x,y) oraz fazy φ(x,y) w formie obrazów cyfrowych.
   1. Ustaw rozdzielczość przestrzenną wyżej wymienionych obrazów cyfrowych tak, aby była równa rozdzielczości wyświetlacza SLM.
   2. Zapisz wyżej wymienione obrazy cyfrowe w formacie skali szarości.
   3. Ustaw wartości minimalne i maksymalne obrazów amplitudy i fazy odpowiednio w zakresie od 0 do 255 oraz od -π/2 do π/2.
   4. Przyjmij A_max = 2 w równaniach 2 i 3, a następnie wygeneruj komputerowo wzorce fazy ϑ(x,y) i θ(x,y) na ich podstawie.
3. Wygeneruj komputerowo wzorce szachownicy M₁(x,y) i M₂(x,y).
   1. Ustaw rozdzielczość przestrzenną tych wzorców szachownicy tak, aby była równa rozdzielczości wyświetlacza SLM.
   2. Aby zredukować efekt przeplotu pikseli (crosstalk), wygeneruj inne pary wzorców szachownicy M₁(x,y) i M₂(x,y) zbudowane z komórek pikselowych o zwiększonej liczbie pikseli (na przykład: komórki 2x2, 3x3 i 4x4 piksele, itp.).
      UWAGA: Przy zwiększaniu rozmiaru komórki pikselowej całkowita liczba pikseli wzorców szachownicy musi pozostać niezmieniona i równa rozdzielczości przestrzennej SLM. Upewnij się, że końcowa liczba pikseli wszystkich wzorców szachownicy pozostaje taka sama po zmodyfikowaniu ich komórek pikselowych.
4. Wygeneruj komputerowo pojedynczy element fazowy α(x,y) na podstawie równania 5.
   UWAGA: Zadania związane z krokiem 1 niniejszego protokołu znajdują się w materiałach uzupełniających pod nazwą „MATLAB_code_1.m”.

2. Rekonstrukcja pola zespolonego

1. Jako źródło światła należy zastosować kolimowaną, liniowo spolaryzowaną i spójną przestrzennie wiązkę laserową.
2. Należy użyć modulatora światła przestrzennego (SLM) działającego wyłącznie na fazie, z zakresem fazy co najmniej 2π.
3. W razie potrzeby należy zastosować odpowiedni rozszerzacz wiązki, aby dopasować rozmiar wiązki do rozmiaru wyświetlacza SLM.
4. W razie potrzeby należy użyć polaryzatora optycznego, aby ustawić polaryzację wiązki laserowej w kierunku poziomym. Jest to zazwyczaj istotne dla prawidłowego działania SLM-ów fazowych, które są typowo zaprojektowane do modulowania fazy przestrzennej pola elektromagnetycznego oscylującego w kierunku poziomym, pozostawiając niezmienione jego składowe pionowe.
5. Aby przesłać wzór fazowy do SLM, należy postępować zgodnie ze standardowymi protokołami komunikacyjnymi dostarczonymi przez producenta SLM w celu połączenia i sterowania urządzeniem za pomocą komputera.
   UWAGA: Typowy protokół w tym celu obejmuje zastosowanie krzywej kalibracyjnej do przekształcenia wartości podanych w radianach (wynikających z operacji matematycznych na kątach) na poziomy szarości, które jednostka sterująca SLM przekonwertuje ostatecznie na poziomy napięcia. Ponadto, ponieważ SLM jest podłączony do komputera jako urządzenie zewnętrzne z własnym ekranem, zazwyczaj konieczne jest rozszerzenie ekranu komputera, a także zastosowanie odpowiedniego programu do przesyłania odpowiadających im obrazów w poziomach szarości na ten dodatkowy ekran. Przykład takich kodów został dołączony jako materiał uzupełniający (patrz: MATLAB_code_2.m).
6. Należy zaimplementować optyczny układ obrazujący i umieścić wyświetlacz SLM w płaszczyźnie wejściowej tego układu.
   1. Należy użyć soczewki refrakcyjnej o ogniskowej f do zbudowania optycznego układu obrazującego 2f x 2f (do tego zadania odpowiedni jest również układ optyczny 4f). Zgodnie z oczekiwanym rozmiarem wyjściowym pola zespolonego, szerokością wiązki, długością fali światła oraz dostępną przestrzenią fizyczną, należy dobrać soczewkę/soczewki o odpowiednich specyfikacjach technicznych (np. powłoka, rozmiar, ogniskowa, itp.).
   2. Aby wyznaczyć położenie płaszczyzny wyjściowej układu obrazującego, należy przesłać wzór fazowy α(x,y) do SLM i wizualnie odnaleźć zarejestrowany obraz (zależnie od położenia kamery) o najlepszej rozdzielczości przestrzennej.
      OSTRZEŻENIE: W przypadku komórek pikselowych o małym rozmiarze (na przykład komórki 1x1 piksel) i wyświetlaczy SLM o szerokości piksela kilku mikrometrów (na przykład 8 µm), tylko propagacja wiązki może wytworzyć interferencję między zakodowanymi falami jednorodnymi, dając zrekonstruowane obrazy bez uwzględnienia przysłony kołowej w układzie obrazującym. Do zlokalizowania położenia płaszczyzny wyjściowej należy użyć komórek pikselowych o małym rozmiarze.
   3. W płaszczyźnie Fouriera układu optycznego należy umieścić przysłonę kołową o zmiennej średnicy i ustawić jej środek w osi ogniska wiązki laserowej.
   4. Aby dostosować rozmiar przysłony kołowej w płaszczyźnie Fouriera, należy przesłać wzór fazowy α(x,y) i wizualnie odnaleźć zarejestrowany obraz (zależnie od średnicy przysłony kołowej) o najlepszej rozdzielczości przestrzennej.
      OSTRZEŻENIE: W przypadku komórek pikselowych o dużym rozmiarze (na przykład komórki 4x4 piksele), interferencja między zakodowanymi falami jednorodnymi jest w zasadzie realizowana za pomocą filtra przestrzennego. Do dostosowania rozmiaru przysłony kołowej należy użyć komórki pikselowej o dużym rozmiarze. W niniejszym protokole terminy „mały rozmiar” i „duży rozmiar” odnoszą się do liczby pikseli zawartych w komórce pikselowej. Niemniej jednak, wspomniana interferencja zależy również od szerokości piksela. Należy stosować SLM-y o szerokości piksela równej lub mniejszej niż 8 µm.
7. Do SLM należy przesłać obraz w poziomach szarości odpowiadający elementowi fazowemu α(x,y).
   1. Aby zminimalizować efekt przesłuchów (crosstalk), należy dobrać optymalny rozmiar komórki pikselowej, który pozwoli na uzyskanie zarejestrowanego obrazu z najwyższą rozdzielczością przestrzenną.

3. Pomiar zrekonstruowanego pola kompleksowego

1. Zastosuj technikę przesunięcia fazy opartą na polaryzacji⁸.
   1. Umieść i ustaw kąt obrotu pierwszego polaryzatora optycznego, znajdującego się bezpośrednio przed SLM (patrz Rysunek 2). Aby ustawić kąt obrotu pierwszego polaryzatora, obserwuj wizualnie maksymalną i minimalną transmitancję światła w kamerze CCD (umieszczonej w płaszczyźnie wyjściowej układu obrazowania) w zależności od obrotu polaryzatora. Zapisz dwa odpowiadające temu kąty polaryzatora. Ustaw ostateczny kąt polaryzatora na wartość pomiędzy dwoma wcześniej zapisanymi kątami.
   2. Umieść i ustaw kąt obrotu drugiego polaryzatora optycznego, znajdującego się za płaszczyzną Fouriera układu obrazowania (patrz Rysunek 2). Aby ustawić kąt obrotu drugiego polaryzatora, obserwuj wizualnie w kamerze CCD (umieszczonej w płaszczyźnie wyjściowej układu obrazowania) najostrzejsze i najbardziej rozmyte obrazy po przesłaniu wzorca fazowego α(x,y) do SLM. Zapisz dwa odpowiadające temu kąty polaryzatora. Ustaw ostateczny kąt drugiego polaryzatora na wartość pomiędzy wcześniej zapisanymi kątami.
2. Zarejestruj interferogramy.
   1. Pozostaw kamerę CCD w płaszczyźnie wyjściowej układu obrazowania.
   2. Aby zarejestrować pierwszy interferogram, dodaj macierz 0 radianów do elementu fazowego α(x,y) i prześlij go do SLM. Zarejestruj odpowiadający obraz I₁(x,y) za pomocą kamery CCD.
   3. Aby zarejestrować drugi interferogram, dodaj macierz π/2 radianów do elementu fazowego α(x,y) i prześlij go do SLM. Zarejestruj odpowiadający obraz I₂(x,y) za pomocą kamery CCD.
   4. Aby zarejestrować trzeci interferogram, dodaj macierz π radianów do elementu fazowego α(x,y) i prześlij go do SLM. Zarejestruj odpowiadający obraz I₃(x,y) za pomocą kamery CCD.
   5. Aby zarejestrować czwarty i ostatni interferogram, dodaj macierz 3π/2 radianów do elementu fazowego α(x,y) i prześlij go do SLM. Zarejestruj odpowiadający obraz I₄(x,y) za pomocą kamery CCD.
3. Zrekonstruuj pole zespolone.
   UWAGA: Zobacz materiały uzupełniające o nazwie „MATLAB_code_3.m” w celu wykonania zadań związanych z tym punktem protokołu.
   1. Wyznacz amplitudę pola zespolonego A_retrieved(x,y) korzystając z wyrażenia
       (8)
   2. Wyznacz fazę pola zespolonego φ_retrieved(x,y) korzystając z wyrażenia
       (9)

Wyniki

Rozdzielczość przestrzenna zastosowanego SLM działającego tylko w fazie wynosi 1920 pikseli x 1080 pikseli, przy rozmiarze piksela 8 µm. Wybrana amplituda A(x,y) i faza φ(x,y) pola zespolonego są definiowane przez dwa różne obrazy w skali szarości, odpowiadające odpowiednio znanemu obrazowi Lenny (wzór amplitudy) oraz młodej dziewczynce wystawiającej język (wzór fazy). W obu przypadkach do generowania niezbędnych wzorów oraz sterowania...

Dyskusja

W niniejszym protokole praktyczne parametry, takie jak szerokość piksela SLM działającego tylko w trybie fazowym lub liczba pikseli zawartych w komórkach pikselowych wzoru generowanego komputerowo, są kluczowymi punktami dla pomyślnej implementacji metody kodowania. W krokach 1.2, 1.3 i 1.4 protokołu im mniejsza szerokość piksela, tym lepsza rozdzielczość przestrzenna odzyskanego wzoru amplitudy i fazy. Ponadto, ponieważ kodowanie w SLM gwałtownych modulacji fazowych z piksela na piksel może powodować nieoczekiwane odpow...

Materiały

Lista materiałów użytych w tym artykule

Nazwa	Firma	Numer katalogowy	Komentarze
Achromatyczny dublet	THORLABS	AC254-100-B-ML	Średnica obiektywu 25,4 mm, ogniskowa 100 mm
Achromatyczny ekspander wiązki Galileusza	THORLABS	GBE05-A	AR Powlekany: 400 - 650 nm
Kamera Basler	BASLER	avA1600-50gm Rozmiar	8,8 mm x 6,6 mm, rozmiar pizel 5,5 mikrona
Zamontowana przysłona z zerową aperturą	THORLABS	ID12Z/M	Max Apertura 12 mm
Beamsplitter	THORLABS	CM1-BP145B2	45:55 (R:T), Powłoka: 700 - 900 nm
Przestrzenny modulator światła PLUTO	HOLOEYE Photonics AG	NIR-II	Przestrzenny modulator światła tylko fazowego (zoptymalizowany dla 700 -1000 nm)
Dwa cienkowarstwowe polaryzatory laserowe	EKSMA OPTICS	420-0526M	materiał BK7, średnica 50 mm, długość fali 780-820 nm

czujnika kamery GigE