Artykuł metodologiczny

Mapowanie powierzchni egzoplanet podobnych do Ziemi za pomocą jednopunktowych krzywych blasku

3.1K wyświetleń

⸱

DOI:

10.3791/60951

⸱

10 maja 2020

 , 
1Division of Geological and Planetary Sciences, California Institute of Technology

W tym artykule

Podsumowanie

Protokół wydobywa informacje z krzywych blasku egzoplanet i tworzy mapy ich powierzchni. Wykorzystuje krzywe blasku Ziemi, która służy jako proxy egzoplaneta, aby zademonstrować to podejście.

Streszczenie

Przestrzenne rozpoznawanie cech egzoplanet na podstawie jednopunktowych obserwacji jest niezbędne do oceny potencjalnej zdatności egzoplanet do zamieszkania. Ostatecznym celem tego protokołu jest ustalenie, czy te planetarne światy posiadają cechy geologiczne i/lub systemy klimatyczne. Przedstawiamy metodę pozyskiwania informacji z jednopunktowych krzywych blasku o wielu długościach fal oraz pobierania map powierzchniowych. Wykorzystuje dekompozycję wartości osobliwych (SVD) do wyodrębnienia źródeł, które przyczyniają się do zmian krzywej blasku i wnioskowania o istnieniu częściowo zachmurzonych systemów klimatycznych. Poprzez analizę szeregów czasowych uzyskanych z SVD, można było wywnioskować fizyczne atrybucje głównych składników (PC) bez zakładania jakichkolwiek właściwości spektralnych. W połączeniu z geometrią wyświetlania możliwe jest zrekonstruowanie map powierzchni, jeśli okaże się, że jeden z komputerów zawiera informacje o powierzchni. Degeneracja wynikająca z konwolucji geometrii pikseli i informacji o widmie decyduje o jakości zrekonstruowanych map powierzchniowych, co wymaga wprowadzenia regularyzacji. W celu zademonstrowania protokołu analizowane są krzywe blasku Ziemi na wielu długościach fali, która służy jako proxy egzoplaneta. Przedstawiono porównanie wyników z prawdą podstawową, aby pokazać wydajność i ograniczenia protokołu. Prace te stanowią punkt odniesienia dla przyszłej generalizacji zastosowań egzoplanet.

Wprowadzenie

Identyfikacja światów nadających się do zamieszkania jest jednym z głównych celów astrobiologii1. Od czasu pierwszego wykrycia2, do tej pory potwierdzono istnienie ponad 4000 egzoplanet3 z wieloma odpowiednikami Ziemi (np. TRAPPIST-1e)4. Planety te mają właściwości orbitalne i planetarne podobne do ziemskich, a zatem potencjalnie nadają się do zamieszkania. W tym kontekście niezbędna jest ocena ich zdatności do zamieszkania na podstawie ograniczonych obserwacji. Opierając się na wiedzy o życiu na Ziemi, systemy geologiczne i klimatyczne mają kluczowe znaczenie dla zdatności do zamieszkania, które mogą zatem służyć jako biosygnatury. W zasadzie, cechy tych układów można było obserwować z daleka nawet wtedy, gdy planeta nie mogła być przestrzennie rozdzielona lepiej niż jeden punkt. W tym przypadku identyfikacja cech geologicznych i systemów klimatycznych na podstawie jednopunktowych krzywych blasku jest niezbędna do oceny zdatności egzoplanet do zamieszkania. Mapowanie powierzchni tych egzoplanet staje się pilne.

Pomimo zawiłości między geometrią patrzenia a cechami spektralnymi, informacje o powierzchni egzoplanety zawarte są w jej jednopunktowych krzywych blasku z rozdzielczością czasową, które można uzyskać z daleka i uzyskać przy wystarczających obserwacjach. Jednak dwuwymiarowe (2D) mapowanie powierzchni potencjalnie nadających się do zamieszkania egzoplanet podobnych do Ziemi jest trudne ze względu na wpływ chmur. Metody pobierania map 2D zostały opracowane i przetestowane przy użyciu symulowanych krzywych blasku i znanych widm5,6,7,8, ale nie zostały one zastosowane do rzeczywistych obserwacji. Co więcej, w analizach obserwacji egzoplanet obecnie i w najbliższej przyszłości założenia dotyczące charakterystycznych widm mogą być kontrowersyjne, gdy skład chemiczny powierzchni planety nie jest dobrze ograniczony.

W tym artykule demonstrujemy technikę mapowania powierzchni egzoplanet podobnych do Ziemi. Używamy SVD do oceny i oddzielania informacji z różnych źródeł, które są zawarte w krzywych blasku o wielu długościach fal bez założeń dotyczących konkretnych widm. W połączeniu z geometrią widokową prezentujemy rekonstrukcję map powierzchni przy użyciu aktualnych rozdzielczych, ale przestrzennie zawiłych informacji o powierzchni. W celu zademonstrowania tej metody przeanalizowano dwuletnie, wielodługofalowe, jednopunktowe obserwacje Ziemi uzyskane przez Deep Space Climate Observatory/Earth Polychromatic Imaging Camera (DSCOVR/EPIC; www.nesdis.noaa.gov/DSCOVR/spacecraft.html). Do oceny tej metody używamy Ziemi jako zastępczej egzoplanety, ponieważ obecnie dostępne obserwacje egzoplanet nie są wystarczające. Jako przykład dołączamy kod do papieru. Jest rozwijany pod Pythonem 3.7 z pakietami anaconda i healpy, ale matematyka protokołu może być również wykonywana w innych środowiskach programistycznych (np. IDL lub MATLAB).

Dostęp ograniczony. Zaloguj się lub rozpocznij wersję próbną, aby wyświetlić tę treść.

Protokół

1. Konfiguracja programowania

  1. Przygotuj środowisko programistyczne dla załączonego kodu. Wymagany jest komputer z systemem operacyjnym Linux, ponieważ pakiet healpy nie jest dostępny w systemie Windows. Kod nie jest obciążający obliczeniowo, zatem standardowy komputer osobisty jest wystarczający do przeprowadzenia protokołu.
  2. Postępuj zgodnie z instrukcją (https://docs.anaconda.com/anaconda/install/linux/), aby zainstalować środowisko Anaconda z Python 3.7 w systemie, a następnie użyj następujących poleceń w terminalu, aby skonfigurować środowisko programistyczne:
    $ conda create --name myenv python=3.7
    $ conda activate myenv
    $ conda install anaconda
    $ conda install healpy
    UWAGA: Kroki te mogą zająć od kilku do kilkunastu minut, w zależności od sprzętu i prędkości połączenia z Internetem. Nazwę środowiska „myenv” w dwóch pierwszych liniach poleceń można zmienić na dowolny inny ciąg znaków.

2. Uzyskiwanie wielodługościowych krzywych blasku i geometrii obserwacji z pomiarów

  1. W geometrii obserwacji należy uwzględnić długość i szerokość geograficzną punktu podgwiazdowego oraz punktu podobserwatorem dla każdego odpowiadającego przedziału czasowego.
    Aby skorzystać z poniższego dołączonego kodu, upewnij się, że dwa te pliki mają taki sam format jak LightCurve.csv oraz Geometry.csv.
  2. Uruchom plik PlotTimeSeries.py, aby zwizualizować dane i sprawdzić ich jakość. Zostaną utworzone dwa rysunki: LightCurve.png oraz Geometry.png (Rysunek pomocniczy 1-2). Parametry w tym i kolejnych kodach do wykresów mogą wymagać dostosowania w przypadku zastosowania ich do innych obserwacji.
    $ python PlotTimeSeries.py LightCurve
    $ python PlotTimeSeries.py Geometry

3. Wyodrębnianie informacji o powierzchni z krzywych blasku

  1. Wycentruj czasowo rozdzielcze wielodługościowe krzywe blasku albedo egzoplanety i znormalizuj je przez odpowiadające im odchylenie standardowe dla każdej długości fali. Pozwala to na nadanie każdej kanale równej wagi.
    Wzór na wynik standaryzowany, R't,k=(Rt,k-μk)/σk; równanie do normalizacji i analizy danych.
    gdzie R’t,k i Rt,k to odpowiednio przeskalowane i obserwowane albedo w t-tym kroku czasowym i dla k-tej długości fali; μk i σk to średnia i odchylenie standardowe szeregu czasowego albedo dla k-tej długości fali.
    1. Uruchom Normalize.py, aby znormalizować krzywe blasku Rt,k. Wynik zostanie zapisany w pliku NormalizedLightCurve.csv.
      $ python Normalize.py
  2. Uruchom PlotTimeSeries.py, aby zwizualizować znormalizowane krzywe blasku. Zostanie utworzony rysunek NormalizedLightCurve.png (Rysunek uzupełniający 3).
    $ python PlotTimeSeries.py NormalizedLightCurve
  3. Zastosuj SVD (rozkład według wartości osobliwych) dla przeskalowanych krzywych blasku albedo, aby znaleźć dominujące składowe główne (PC) i odpowiadające im szeregi czasowe.
    Równanie dekompozycji macierzy R'=UΣV^T, sformułowanie matematyczne, użytek edukacyjny.
    Po lewej stronie T i K oznaczają całkowitą liczbę kroków czasowych i obserwacyjnych długości fali; R’ to macierz przeskalowanych obserwacji albedo, której element (t,k)-ty to R’t,k. Po prawej stronie kolumny macierzy V to składowe główne (PC), ortonormalne wektory definiujące przestrzeń, na którą rzutuje SVD; Σ to macierz diagonalna, której element (k,k)-ty stanowi odchylenie standardowe przeskalowanych krzywych blasku wzdłuż k-tej osi zdefiniowanej przez k-tą kolumnę macierzy V; kolumny macierzy U to odpowiadające szeregi czasowe dla każdej składowej głównej z macierzy V.
    1. Uruchom SingularValueDecomposition.py, aby przeprowadzić dekompozycję R’. Wynikowe macierze U, Σ, VT zostaną zapisane odpowiednio w plikach wyjściowych U.csv, SingularValue.csv i V_T.csv.
      $ python SingularValueDecomposition.py
  4. Użyj PlotTimeSeries.py oraz PlotSVD.py, aby zwizualizować wynik SVD. Zostaną utworzone trzy rysunki: U.png, Sigma.png i V_T.png (Rysunki uzupełniające 4-6).
    $ python PlotTimeSeries.py U
    $ python PlotSVD.py
  5. Przeanalizuj wkłady i odpowiadające im szeregi czasowe składowych głównych, aby wyznaczyć tę, która zawiera informacje o powierzchni.
    1. Porównaj wartości osobliwe na przekątnej macierzy Σ. W przypadku egzoplanety podobnej do Ziemi, częściowo pokrytej chmurami, spodziewane są dwie porównywalne, dominujące wartości osobliwe.
      UWAGA: Σ może zawierać mniej lub więcej niż dwie dominujące wartości osobliwe, co omówiono poniżej.
    2. Porównaj wzorce szeregów czasowych dwóch dominujących składowych głównych. Składowa główna zawierająca informacje o powierzchni ma tendencję do bardziej regularnego kształtu niż pozostała. Ze względu na asymetrię podłużną i ponowne pojawienie się powierzchni z niewielkimi zmianami w ciągu dwóch kolejnych dni, odpowiadający szereg czasowy wykazuje zazwyczaj w przybliżeniu stałą zmienność dobową.
    3. Oblicz periodyczność dwóch dominujących składowych głównych za pomocą periodogramu Lomb-Scargle9,10, aby potwierdzić wybór składowej głównej. Składowa główna zawierająca informacje o powierzchni zazwyczaj wykazuje wyższy pik odpowiadający okresowi rotacji w widmie gęstości mocy.
    4. Uruchom Periodogram.py, aby uzyskać widma mocy szeregów czasowych dla każdej składowej głównej. Widma mocy zostaną zapisane w pliku Periodogram.csv.
      $ python Periodogram.py
    5. Uruchom PlotPeriodogram.py, aby zwizualizować te periodogramy i potwierdzić wybór składowej głównej. Zostanie utworzony rysunek Periodogram.png (Rysunek uzupełniający 7). Obecny kod generujący wykresy dodaje linie przerywane reprezentujące cykle roczne, półroczne, dobowe i półdobowe dla odniesienia, które mogą wymagać zmiany przy zastosowaniu do innych obserwacji.
      $ python PlotPeriodogram.py
    6. Wybierz składową główną vj zawierającą informacje o powierzchni oraz jej szereg czasowy uj.
      Równanie macierzowe dla ekstrakcji wektora; formuła matematyczna; użytek edukacyjny.
      Równanie macierzowe \(u_j = U[:,j]\), formuła matematyczna, koncepcje algebry liniowej.
      gdzie V[:,j] i U[:,j] są odpowiednio j-tymi kolumnami macierzy V i U; j jest indeksem składowej głównej wyznaczonym w kroku 3.3, która zawiera informacje o powierzchni.

4. Konstrukcja mapy powierzchni planety

  1. Użyj metody Hierarchical Equal Area iso-Latitude Pixelization (HEALPix)11 do pikselizacji mapy odzyskiwanej. Metoda ta dzieli sferyczną powierzchnię planety na piksele o tej samej powierzchni i jednolitym rozkładzie. Oznacz nieznaną wartość p-tego piksela jako xp.
    1. Uruchom plik HEALPixRandom.py, aby zwizualizować metodę pikselizacji. Zostanie utworzony rysunek HEALPixRandom.png (Rysunek dodatkowy 8). Parametr Nside w linii 17 można zmienić dla różnych rozdzielczości. Ten krok może zająć od kilku sekund do kilku minut w zależności od rozdzielczości.
      $ python HEALPixRandom.py
  2. Oblicz wagę p-tego piksela w obserwacjach w t-tym kroku czasowym, wt,p, korzystając z geometrii widoku.
    Wzór na równowagę statyczną, wt,p = {ct cos(αt,p) cos(βt,p), 0}, schemat równania warunkowego.
    gdzie αt,p, βt,p to kąty zenitalne słońca i statku kosmicznego w p-tym pikselu w t-tym kroku czasowym; ct jest członem normalizującym t-tą obserwację tak, aby suma całkowitej wagi w każdym kroku czasowym wynosiła jeden.
    UWAGA: Przyjmuje się, że geometria jest znana na tym etapie lub może zostać wyprowadzona z innych analiz, co omówiono poniżej.
    1. Uruchom plik ComputeWeight.py, aby obliczyć wt,p. Zmień wartość Nside w linii 23 dla innych rozdzielczości mapy odzyskiwanej. Wynik jest zapisywany jako W.npz ze względu na jego rozmiar.
      $ python ComputeWeight.py
  3. Użyj pliku PlotWeight.py, aby zwizualizować te wagi. W folderze Weight zostanie utworzona liczba rysunków, po jednym dla każdego kroku czasowego. Ich połączenie daje Film dodatkowy 1, który pokazuje, jak waga każdego piksela zmienia się w czasie. Ten krok może zająć kilka godzin ze względu na dużą liczbę wizualizacji.
    $ python PlotWeight.py
  4. Połącz geometrię i obserwacje, aby sformułować problem regresji liniowej.
    Równanie macierzowe W[T×P]x[P×1]=u[T×1], wzór matematyczny, koncepcja algebry liniowej.
    gdzie P jest całkowitą liczbą pikseli odzyskiwanych; W to macierz wag z wt,p jako elementem (t,p); x składa się z xp jako p-tego elementu, co jest wartością do wyznaczenia w tym problemie.
    Rozwiąż problem regresji liniowej z regularyzacją normy L-2.
    Równanie regresji liniowej dla dopasowania danych w analizie eksperymentalnej.
    gdzie I jest macierzą jednostkową, a λ jest parametrem regularyzacji.
    UWAGA: Wartość 10-3 jest odpowiednią wartością dla λ, gdy T~104 i P~3*103. Należy je dostosować poprzez porównanie wartości dwóch członów w zregularyzowanym błędzie kwadratowym, e, jak pokazano poniżej.
    Równanie optymalizacji z normami, lambdami; wyrażenie matematyczne.
    1. Uruchom plik LinearRegression.py, aby rozwiązać ten problem regresji liniowej. Wynik x jest zapisywany w pliku PixelValue.csv. Zmień wartość λ w linii 16 dla różnych stopni regularyzacji.
      $ python LinearRegression.py
  5. Przekształć x w dwuwymiarową mapę powierzchni zgodnie z regułą mapowania HEALPix.
    1. Uruchom plik PlotMap.py, aby zbudować mapy odzyskiwane przy użyciu różnych parametrów regularyzacji. Przy obecnych ustawieniach zostaną utworzone trzy rysunki: Map_-2.png, Map_-3.png oraz Map_-4.png (Rysunek dodatkowy 9). Zależność między indeksami pikseli a ich położeniem na mapie jest opisana w dokumentacji HEALPix11. Ten krok trwa kilkadziesiąt sekund.
      $ python PolotMap.py

5. Szacowanie niepewności odtworzonej mapy

  1. Przekształć problem regresji liniowej z kroku 4.3, przyjmując „wartość rzeczywistą” x jako z oraz szum obserwacyjny ε. Równanie macierzowe \(W_{[T \times P]}Z_{[P \times 1]} + \epsilon_{[T \times 1]} = u_{t[T \times 1]}\).
    1. Przyjmij, że ε spełnia rozkład Gaussa N (0, σ2I[T*T]) i oszacuj jego kowariancję. T-P to stopień swobody uj z obserwacji przy ustalonej odzyskanej mapie.
      Równowaga statyczna; wzór na wariancję σ²=(uj-Wx)ᵀ(uj-Wx)/(T-P); równanie matematyczne.
    2. Połącz równania z kroków 4.4 i 5.1. Wynikiem jest wektor Gaussa dla x.
      Równanie regularyzacji, x = (WᵀW + λI)⁻¹(WᵀW)z + (WᵀW + λI)⁻¹Wᵀε, sformułowanie matematyczne.
    3. Oblicz wartość oczekiwaną oraz macierz kowariancji dla x.
      Równania regularyzowanej regresji liniowej; metoda analizy statystycznej; wzór na E[x] i Cov[x].
    4. Wyznacz niepewność każdego elementu w x jako pierwiastek kwadratowy odpowiadającego elementu na przekątnej macierzy Cov[x].
      równanie równowagi statycznej ep=√Diag[Cov[x]]p schemat analizy formuły matematycznej
      gdzie ep to niepewność xp; Diag[Cov[x]]p to p-ty element na przekątnej Cov[x].
    5. Uruchom skrypt Covariance.py, aby obliczyć macierz kowariancji dla x. Ze względu na rozmiar wynik zostanie zapisany w pliku Covariance.npz. Ten krok zajmuje od kilkunastu sekund do kilku minut, w zależności od rozmiaru macierzy W.
      $ python Covariance.py
  2. Przekształć ep na odzyskaną mapę 2D zgodnie z regułami mapowania HEALPix.
    1. Uruchom skrypt PlotCovariance.py, aby zwizualizować Cov[x] i przypisać niepewność ep do odzyskanej mapy. Zostaną utworzone dwa rysunki: Covariance.png oraz Uncertainty.png (Rysunek uzupełniający 10-11).
      $ python PlotCovariance.py

Dostęp ograniczony. Zaloguj się lub rozpocznij wersję próbną, aby wyświetlić tę treść.

Wyniki

W celu zademonstrowania protokołu wykorzystujemy wielodługościowe jednopunktowe krzywe blasku Ziemi, a następnie porównujemy wyniki z rzeczywistym obrazem powierzchni (ground truth), aby ocenić jakość mapowania powierzchni. Wykorzystane tutaj obserwacje pochodzą z instrumentu DSCOVR/EPIC, który znajduje się na satelicie umieszczonym w pobliżu pierwszego punktu Lagrange'a (L1) między Ziemią a Słońcem i wykonuje obrazy oświetlonej strony Ziemi w dziesięciu długościach fal. Do tej demonstracji wykorzystano obserwacje z dwóc...

Dostęp ograniczony. Zaloguj się lub rozpocznij wersję próbną, aby wyświetlić tę treść.

Dyskusja

Jednym z krytycznych wymagań protokołu jest możliwość wydobycia informacji o powierzchni z krzywych blasku, które zależą od pokrycia chmurami. W kroku 3.5.1 względne wartości PC mogą być różne dla poszczególnych egzoplanet. W przypadku Ziemi pierwsze dwa PC dominują w wariacjach krzywej blasku i odpowiadają niezależnym od powierzchni chmurom i powierzchni (Fan i in. 2019)13. Mają one porównywalne wartości osobliwe, dzięki czemu informacje o powierzchni można rozdzielić zgodnie z krokami 3.5.2 i 3....

Dostęp ograniczony. Zaloguj się lub rozpocznij wersję próbną, aby wyświetlić tę treść.

Oświadczenia

Autorzy nie mają nic do ujawnienia.

Podziękowania

Ta praca była częściowo wspierana przez Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology, na podstawie umowy z NASA. YLY dziękuje za wsparcie ze strony Wirtualnego Laboratorium Planetarnego na Uniwersytecie Waszyngtońskim.

Dostęp ograniczony. Zaloguj się lub rozpocznij wersję próbną, aby wyświetlić tę treść.

Materiały

Lista materiałów użytych w tym artykule
NazwaFirmaNumer katalogowyKomentarze
Python 3.7 z pakietamiInne środowiska programistyczne (np. IDL lub MATLAB) również działają.
anaconda i healpy

Bibliografia

  1. Schwieterman, E. W., et al. Exoplanet Biosignatures: A Review of Remotely Detectable Signs of Life. Astrobiology. 18 (6), 663-708 (2018).
  2. Campbell, B., Walker, G. A. H., Yang, S. A Search for Substellar Companions to Solar-type Stars. The Astrophysical Journal. 331, 902(1988).
  3. NASA. NASA Exoplanet Archive (2019) Confirmed Planets Table. , (2019).
  4. Gillon, M., et al. Seven temperate terrestrial planets around the nearby ultracool dwarf star TRAPPIST-1. Nature. 542 (7642), 456-460 (2017).
  5. Kawahara, H., Fujii, Y. Global Mapping of Earth-like Exoplanets from Scattered Light Curves. The Astrophysical Journal. 720 (2), 1333(2010).
  6. Fujii, Y., Kawahara, H. Mapping Earth Analogs from Photometric Variability: Spin-Orbit Tomography for Planets in Inclined Orbits. The Astrophysical Journal. 755 (2), 101(2012).
  7. Cowan, N. B., Fujii, Y. Mapping Exoplanets. Handbook of Exoplanets. , Springer, Cham. (2018).
  8. Farr, B., Farr, W. M., Cowan, N. B., Haggard, H. M., Robinson, T. exocartographer: A Bayesian Framework for Mapping Exoplanets in Reflected Light. The Astronomical Journal. 156 (4), 146(2018).
  9. Lomb, N. R. Least-Squares Frequency Analysis of Unequally Spaced Data. Astrophysics and Space Science. 39 (2), 447(1976).
  10. Scargle, J. D. Studies in astronomical time series analysis. II. Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data. The Astrophysical Journal. 263, 835(1982).
  11. Górski, K. M., et al. HEALPix: A Framework for High-Resolution Discretization and Fast Analysis of Data Distributed on the Sphere. The Astrophysical Journal. 622 (2), 759(2005).
  12. Jiang, J. H., et al. Using Deep Space Climate Observatory Measurements to Study the Earth as an Exoplanet. The Astronomical Journal. 156 (1), 26(2018).
  13. Fan, S., et al. Earth as an Exoplanet: A Two-dimensional Alien Map. The Astrophysical Journal Letters. 882 (1), 1(2019).
  14. Cowan, N. B., Strait, T. E. Determining Reflectance Spectra of Surfaces and Clouds on Exoplanets. The Astrophysical Journal Letters. 765 (1), 17(2013).
  15. Fujii, Y., Lustig-Yaeger, J., Cowan, N. B. Rotational Spectral Unmixing of Exoplanets: Degeneracies between Surface Colors and Geography. The Astronomical Journal. 154 (5), 189(2017).
  16. Kawahara, H., Fujii, Y. Mapping Clouds and Terrain of Earth-like Planets from Photomertic Variability: Demonstration with Planets in Face-on Orbits. The Astrophysical Journal Letters. 739 (2), 62(2011).
  17. Kawahara, H. Frequency Modulation of Directly Imaged Exoplanets: Geometric Effect as a Probe of Planetary Obliquity. The Astrophysical Journal. 822 (2), 112(2016).
  18. Schwartz, J. C., Sekowski, C., Haggard, H. M., Pall ́e, E., Cowan, N. B. Inferring planetary obliquity using rotational and orbital photometry. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 457 (1), 926-938 (2016).

Dostęp ograniczony. Zaloguj się lub rozpocznij wersję próbną, aby wyświetlić tę treść.

Przedruki i uprawnienia

Poproś o pozwolenie na ponowne wykorzystanie tekstu lub ilustracji tego artykułu JoVE

Poproś o pozwolenie

Tagi

Mapowanie powierzchni egzoplanetrozk ad wed ug warto ci osobliwychanaliza g wnych sk adowychwielod ugo ciowe krzywe blaskuegzoplaneta b d ca analogiem Ziemipikselacja HEALPixanaliza regresji liniowejobliczanie macierzy kowariancjidostrajanie parametru regularyzacji

Powiązane artykuły