Analiza przestrzenno-czasowa sprzężonych pól termo-fotoelastycznych w anizotropowym krzemu wzmocnionym włóknami z wykorzystaniem metody wartości własnych

Podsumowanie

Badanie to analizuje sprzężone pola termo-fotoelastyczne w anizotropowym krzemie wzmocnionym włóknami, stosując metodę normalnego trybu i wartości własnych. Wyniki pokazują rozpad przestrzenny i ewolucję pola zależną od czasu, z dużą wrażliwością na anizotropię. Mapy ciepła ilustrują rozmieszczenie i lokalizację pól.

Streszczenie

Niniejsze badanie bada sprzężony układ termo-fotoelastyczny w anizotropowym poluprzewodniku krzemowym wzmocnionym włóknem, mający na celu uchwycenie interakcji między polami termicznymi, nośnymi i mechanicznymi. Takie anizotropowe materiały wzmacniane włóknami odgrywają kluczową rolę we współczesnych zastosowaniach inżynieryjnych, w tym w urządzeniach mikroelektronicznych i optoelektronicznych, technologiach laserowych, czujnikach oraz zaawansowanych konstrukcjach kompozytowych, gdzie wymagane są właściwości kierunkowe i zwiększona wydajność mechaniczna. Są one szczególnie istotne w projektowaniu komponentów półprzewodnikowych poddawanych obciążeniom termicznym i optycznym, gdzie dokładne przewidywanie zachowania pola sprzężonego jest niezbędne dla niezawodności i optymalizacji wydajności. Równania rządzące są formułowane na podstawie sprzężonego modelu fizycznego, a następnie przekształcane w formę bezwymiarową, aby uprościć analizę i podkreślić względny wpływ zaangażowanych parametrów. Problem rozwiązuje się przy użyciu techniki trybu normalnego i redukuje do układu różniczkowego pierwszego rzędu z macierzą wektorową, a następnie stosuje podejście własne, aby uzyskać rozwiązania analityczne spełniające narzucone warunki brzegowe w półnieskończonej dziedzinie. Przeprowadza się analizę numeryczną, aby zbadać wpływ zmienności czasu na wszystkie pola fizyczne, ujawniając silne tłumienie przestrzenne oraz sprzężone zachowania kontrolowane przez anizotropię i wzmocnienie włóknistą. Reprezentacje mapy cieplnej przestrzenno-czasowej służą do wizualizacji ewolucji i lokalizacji pól, dostarczając fizycznego wglądu w interakcje wielofizyczne i demonstrując skuteczność podejścia analitycznego.

Wprowadzenie

Termo-fotoelastyczność stała się ważną dziedziną multidyscyplinarną opisującą interakcje między efektami termicznymi, mechanicznymi i optycznymi w materiałach półprzewodnikowych pod wpływem wzbudzenia fototermicznego. Sprzężenie między tymi polami staje się szczególnie widoczne we współczesnych zastosowaniach związanych z laserowym ogrzewaniem i wzbudzaniem optycznym. Na przykład Saeed¹ badał interakcje termo-fotoelastyczne w półprzewodnikach za pomocą hiperbolicznych modeli dwutemperaturowych, wykazując znaczenie efektów relaksacji termicznej w dokładnym przewidywaniu zachowania systemu. Odpowiedź termomechaniczna kompozytów wzmacnianych włóknami również przyciągnęła znaczną uwagę ze względu na ich zwiększoną wytrzymałość mechaniczną i właściwości anizotropowe. Li i Lambros² analizowali dynamiczne zachowanie termomechaniczne takich kompozytów, podkreślając ich przydatność do zaawansowanych zastosowań inżynierskich. Podobnie Kalkal i ^in.3 badali dwuwymiarowe (2D) deformacje w obracanych, funkcjonalnie gradowanych ośrodkach wzmacnianych włóknami pod wpływem pól magnetycznych, wykazując silny wpływ anizotropii i zewnętrznych efektów na reakcję systemu. Ponadto Pitarresi i ^in.4 badali rolę makroskopowej heterogeniczności w zachowaniu termoelastycznym, podkreślając potrzebę dokładnego modelowania materiałów kompozytowych. Najnowsze osiągnięcia rozszerzyły te badania na ośrodki półprzewodnikowe o powiązanych efektach multifizycznych. Mondal i ^in.5 badali propagację fal w wzmocnionych półprzewodnikach, uwzględniając odpowiedzi pamięci i pola magnetyczne, ujawniając złożone interakcje sprzężone. Badania eksperymentalne, takie jak te prowadzone przez Akai i ^in.6, oceniły uszkodzenia zmęczenia w kompozytach wzmocnionych włóknami przy użyciu termoelastycznych zmian temperaturowych, potwierdzając ich praktyczne znaczenie. Ponadto zastosowano podejścia mikromechaniczne do szacowania efektywnych właściwości termoelastycznych, co wykazali Lu i ^in.7. Wpływ obciążeń zewnętrznych i warunków środowiskowych również był szeroko badany. Barak i Dhankhar⁸ analizowali obciążenia pochylone w funkcjonalnie gradowanych mediach wzmacnianych włóknami, podczas gdy Kundu i Kalkal⁹ badali oddziaływania fototermalne pod wpływem grawitacji i ruchomych obciążeń termicznych. Chaudhary i ^in.10 badali właściwości zależne od temperatury przy użyciu modeli z podwójnym opóźnieniem fazowym, a Pandit i ^in.11 zastosowali modele odkształcenia o ułamkowym rzędzie, aby uchwycić zachowanie deformacji nielokalnych. Badania te podkreślają znaczenie uwzględniania realistycznych warunków obciążenia i materiału w analizie termoelastycznej.

Zjawiska dynamiczne i związane z drganiami były również badane w systemach półprzewodnikowych. Song i ^in.12 badali drgania fototermiczne w strukturach półprzewodnikowych, podczas gdy Mondal i Sur¹³ analizowali propagację fal w ośrodkach ortotropowych z efektem pamięci. Efekty wiskoelastyczne i mikrostrukturalne były rozważane przez Abouelregala i ^in.14, a efekty nagrzewania typu rampa badane przez Hobiny'ego i ^in.15. Ponadto Zenkour¹⁶ opracował uogólnione modele termoelastyczne, takie jak teoria opóźnienia trójfazowego, aby poprawić dokładność predykcji. Zaawansowane modele multifizyczne uwzględniające efekty elektromagnetyczne i mikropolarne dodatkowo pogłębiły zrozumienie zachowania termo-fotoelastycznego. Al-Hazaemh i ^in.17 badali foto-elektro-magneto-termoelastyczne wzbudzenie w obracającym się ośrodku półprzewodnikowym, podczas gdy Nazir i Kumar¹⁸ analizowali mikropolarne interakcje termoelastyczne. Song i ^in.19 badali również niedyssypacyjne interakcje termoelastyczne, a Nasr i Abouelregal²⁰ badali procesy absorpcji światła w półprzewodnikach z ubytkami. Modele nielokalne i ułamkowe odegrały kluczową rolę w ostatnich wydarzeniach. Gupta i ^in.21 badali wzbudzenie fototermiczne w nielokalnych ośrodkach porowatych, podczas gdy Hobiny i Abbas²² analizowali propagację fal ułamkowych w półprzewodnikach. Hafed i Zenkour²³ badali efekty obciążenia pochylone, a Oliinyk i ^in.24 analizowali niestacjonarne efekty termo-fotoelastyczne. Funkcjonalnie gradowane zachowanie półprzewodników pod wzbudzeniem laserowym było również badane przez Awwada i ^in.25, podczas gdy Gupta i ^in.26 badali sprzężenie termo-piezo-fotoelektryczne z modelami zależnymi od pamięci. Klasyczne podejścia eksperymentalne łączące techniki termiczne i optyczne zostały opracowane przez Greene'a i Pattersona⁽²⁷) oraz Barone i Patterson²⁸, zapewniając wiarygodne metody analizy naprężeń. Ponadto Kaur i Singh²⁹ opracowali modele niezależne od pamięci dla rezonatorów półprzewodnikowych, a Abbas i ^in.30 analizowali interakcje fototermalne o zmiennej przewodności cieplnej. Eksperymentalne i numeryczne badania wzmocnionych membran kompozytowych przeprowadzili Lu i ^in.31, natomiast Purkait i Kanori³² badali odpowiedzi pamięci w obracającym się nośniku wzmocnionym włóknem. Abo-Dahab i ^in.33 analizowali dalej odbicie fal w włóknistych ośrodkach termoelastycznych pod warunkami obciążenia. Ostatnio zaproponowano zaawansowane modele termoelastyczne frakcyjne i nielokalne do opisu złożonych materiałów. Abouelregal i ^in.34 badali odpowiedzi termiczne w tkankach biologicznych za pomocą modeli frakcyjnych, podczas gdy Selvamani i ^in.35,36 badali nielokalne propagowanie fal i zachowanie drgań w nanowiązkach. Dodatkowo, modele opóźnienia dwufazowego i wiskoelastyczne zostały zastosowane do mikrostruktur przez Abouelregala i ^in.37, a opracowano frakcyjne formuły termoelastyczne z jądrami pamięci^38,39 do uchwycenia złożonych zjawisk sprzężonych.

Pomimo tych rozległych rozwojów, większość istniejących badań koncentruje się głównie na rozwiązaniach analitycznych lub numerycznych, nie oferując szczegółowej wizualizacji przestrzenno-czasowej pól fizycznych. W wielu praktycznych zastosowaniach, zwłaszcza w anizotropowych ośrodkach półprzewodnikowych wzmacnianych włóknami, odpowiedź systemu silnie zależy zarówno od zmienności przestrzennych, jak i czasowych, co czyni wizualizację niezbędną dla dokładnej interpretacji. Ponadto, choć podejścia numeryczne i eksperymentalne dostarczają cennych informacji, metody analityczne oparte na technikach normalnego i wartości własnych oferują istotne korzyści w problemach dotyczących półnieskończonych dziedzin i sprzężonych układów wielofizycznych. Podejścia te umożliwiają rozwiązania w formie zamkniętej, zapewniając głębsze fizyczne zrozumienie propagacji, tłumienia i mechanizmów sprzężenia fal, a także stanowią wiarygodne punkty odniesienia do weryfikacji wyników numerycznych i eksperymentalnych.

W niniejszej pracy przedstawiono kompleksowe badanie sprzężonego zachowania termo-fotoelastycznego w anizotropowym medium półprzewodnikowym wzmocnionym włóknem. Nowością tego badania jest integracja podejścia analitycznego opartego na wartościach własnych z wizualizacją mapy cieplnej przestrzenno-czasowej, aby zapewnić głębszy wgląd w ewolucję i lokalizację pól fizycznych. Celem tych prac jest analiza wpływu anizotropii i wzmocnienia włóknistego na interakcje między polami termicznymi, mechanicznymi i nośnymi oraz wykazanie zastosowania proponowanej metody w interpretacji złożonych zjawisk multifizycznych istotnych dla współczesnych zastosowań inżynieryjnych, takich jak urządzenia półprzewodnikowe, czujniki i technologie laserowe.

Protokół

Badanie opiera się całkowicie na modelowaniu teoretycznym i symulacjach numerycznych i nie obejmuje udziału uczestników ludzkich, zwierząt ani okazów biologicznych. Dlatego nie wymagano etycznego zatwierdzenia ani świadomej zgody.

Matematyczne sformułowanie fototermoelastyczności w włóknistych ośrodkach anizotropowych
Niniejsze badanie rozważało dwuwymiarową anizotropową półprzestrzeń półprzewodnikową wzmocnioną włóknami, poddaną wzbudzeniu optycznemu powierzchni. Ośrodek zajmował obszar x ≥ 0, gdzie granica w x = 0 reprezentuje odsłoniętą powierzchnię. System współrzędnych został zdefiniowany tak, że oś x sięgała do ośrodka, a oś y leżała wzdłuż powierzchni i opisywała zachowanie w płaszczyźnie. Zakładano, że materiał jest jednorodny, ale anizotropowy ze względu na obecność wyrównanych włókien wzmacniających, które wprowadzały zależność kierunkową w właściwościach sprężystych i sprzężenia. Absorpcja optyczna na powierzchni generowała lokalizowane nagrzewanie i nadmiar nośników ładunku, prowadząc do pełnej sprzężonej interakcji między polami termicznymi, mechanicznymi i nośnymi. W związku z tym stan układu opisywano przez temperaturę θ(x, y, t) (K), gęstość nośną N (x, y, t) (^m-3) oraz składowe przemieszczeń u (x, y, t) i v (x, y, t)(m), zakładając małe deformacje. Schemat dziedziny fizycznej, układu współrzędnych, orientacji światłowodu oraz zastosowanego wzbudzenia optycznego przedstawiono na Rysunku 1. Wszystkie obliczenia symboliczne i numeryczne wykonywano przy użyciu Wolfram Mathematica (wersja 12.0).

Rysunek 1. Schematyczne przedstawienie półnieskończonego medium półprzewodnikowego wzmocnionego włóknem poddawanego wzbudzeniu optycznemu na granicy x = 0. Przedstawiono układ współrzędnych (x, y), z orientacją włókna wyrównaną wzdłuż kierunku x (a = (1, 0)), co ilustruje konfigurację geometryczną i anizotropię zależną od kierunku ośrodka. Proszę kliknąć tutaj, aby zobaczyć większą wersję tej figurki.

Konstytutywna relacja tensora naprężenia w włóknistym anizotropowym medium termoelastycznym wyrażono w formie ogólnej za pomocą równania 1 ^1,5. W tym sformułowaniu θ oznacza przyrost temperatury względem temperatury referencyjnej T₀, natomiast T oznacza temperaturę bezwzględną, jeśli jest to możliwe.

.   (1)

Tutaj C_ijkl to współczynniki sztywności sprężystości, e_kl to tensor odkształcenia, a β_ij i η_ij oznaczają odpowiednio tensory sprzężenia termoelastycznego i nośnikowego. W obecności wzmocnienia włókna odpowiedź materiału stała się zależna od kierunku i była regulowana przez wektor orientacji włókna a = (_{a i}), który wprowadzał wkłady anizotropowe zarówno do składników sprężystych, jak i sprzężalnych. W związku z tym relacja konstytutywna została rozszerzona, aby wyraźnie uwzględnić efekt wzmocnienia włóknem jako ^2,3:

. (2)

Tutaj λ i μ_τ są stałymi Lamégo, a μ_L to moduł ścinania wzdłuż kierunku włókna. Parametr α reprezentuje efekty wzmocnienia włókna i różni się od α_ij, które oznaczają współczynniki rozszerzalności cieplnej. Wektor jednostkowy definiował orientację włókna i wprowadzał zależność kierunkową w odpowiedzi naprężenia–odkształcenia. W obecnej formulacji 2D zakładano, że włókna są wyrównane wzdłuż osi x; dlatego wektor orientacji został wyraźnie przyjęty jako = (1, 0). Ta specyfikacja zapewniła jasną parametryzację kierunku włókna i zapewniła, że wkłady anizotropowe były konsekwentnie uwzględniane w równaniach rządzących, bezpośrednio odpowiadając na zachowanie kierunkowe wywołane wzmocnieniem włókna. Dla obecnej konfiguracji 2D składowe naprężeń sprowadzały się do:

, (3)

, (4)

. (5)

Równania te ilustrują połączony wpływ anizotropii, wzmocnienia włókna oraz wielofizycznych efektów sprzężenia. Współczynniki β_ij i η_ij zostały zdefiniowane na podstawie parametrów materiałowych w następujący sposób:

,

,

,

.

Tutaj współczynniki A_ij reprezentują efektywne stałe sprężyste włóknistego ośrodka anizotropowego i zostały zdefiniowane następująco:

. (6)

Tutaj λ, μ_L i μ_T są stałymi sprężystościami anizotropowego medium wzmocnionego włóknami, natomiast α_ij i ξ_ij oznaczają odpowiednio współczynniki rozszerzalności termicznej i nośnej. Propagacja fal sprężystych w ośrodkach termo-fotoelastycznych półprzewodnikowych była regulowana zasadą zachowania pędu liniowego, która stanowiła podstawę dynamicznej analizy termoelastycznej. W przypadku braku sił ciała, ogólne równanie ruchu dla deformowalnego kontinuum wyraża się następująco, na podstawie ^1,15:

. (7)

Tutaj ρ to gęstość masy, a σ_ij to tensor naprężenia. W niniejszym badaniu formuła została ograniczona do konfiguracji 2D w płaszczyźnie x-y , a pole przemieszczeń było reprezentowane jako u(x, y, t) i v(x, y, t). Zgodnie ze standardowymi formułami w ośrodkach termo-fotoelastycznych, równania ruchu w dwóch wymiarach zapisywano następująco:

, (8)

. (9)

Podstawiając anizotropowe relacje konstytutywne wzmocnione włóknami do powyższych równań, otrzymano powstały sprzężony układ równań różniczkowych cząstkowych (DE) w następujący sposób:

, (10)

. (11)

Tutaj indeksy dolne oznaczają różniczkowanie częściowe względem zmiennych przestrzennych i czasowych. Równania te podkreślają sprzężony wpływ anizotropii, wzmocnienia włókna, gradientów temperatur oraz dyfuzji nośników na dynamiczną odpowiedź ośrodka. W obecności wzbudzenia optycznego pole termiczne wewnątrz półprzewodnika było silnie wpływane przez interakcję z gęstością nośników i odkształceniem mechanicznym, co skutkowało w pełni sprzężonym procesem transportu energii. W przeciwieństwie do klasycznego przewodzenia ciepła, ewolucja temperatury w takich ośrodkach była regulowana przez dodatkowe składniki wynikające z rekombinacji nośników i efektów termoelastycznych, które znacząco zmieniały charakterystykę propagacji ciepła. Równanie przewodzenia ciepła w ramach uogólnionej termoelastyczności wyrażono następująco:^16,20:

. (12)

_{Tutaj C E} to ciepło właściwe przy stałym odkształceniu, reprezentujące pojemność cieplną materiału, a T₀ oznacza referencyjną temperaturę bezwzględną ośrodka w stanie równowagi. Dla obecnej konfiguracji 2D równanie to sprowadza się do^16,20:

. (13)

To równanie pokazuje, że pole temperaturowe było wpływane nie tylko przez kierunkową przewodność cieplną, ale także przez rekombinację nośników przez składnik , a także przez odkształcenia zależne od czasu przez termoelastyczne składniki sprzężenia. Formuła ta obejmowała istotne wielofizyczne interakcje regulujące transfer ciepła w anizotropowym półprzewodniku wzmocnionym włóknem oraz podkreśliła rolę zarówno dynamiki nośników, jak i odpowiedzi mechanicznej w modyfikowaniu zachowania termicznego systemu. Gdy medium półprzewodnikowe było poddawane wzbudzeniu optycznemu, w wyniku absorpcji padającego promieniowania generowano znaczną liczbę nośników ładunku. Nośniki te przechodziły procesy transportowe, które obejmowały dyfuzję przestrzenną, rekombinację oraz generowanie napędzane termicznie, które były nierozerwalnie powiązane z polem temperaturowym w materiale. W konsekwencji gęstość nośnych stała się jedną z kluczowych zmiennych regulujących sprzężoną odpowiedź termo-fotosprężystą.

W niniejszej formulacji ewolucja stężenia nośników została opisana poprzez równowagę między mechanizmami dyfuzji, efektami rozpadu i procesami aktywacji termicznej, prowadzącą do następującej relacji rządzącej ^1,5"

. (14)

Tutaj D_E reprezentuje współczynnik dyfuzji nośnej i jest operatorem Laplace'a 2D w płaszczyźnie x - y. Termin ten uwzględnia efekty rekombinacji z czasem relaksacji τ, natomiast k to współczynnik sprzężenia termonośnika zdefiniowany jako , który charakteryzuje wrażliwość stężenia nośników równowagowych N₀ na zmiany temperatury. To powiązanie podkreśla rolę temperatury jako mechanizmu napędzającego generowanie nośników i ustanawia bezpośrednie sprzężenie między polami termicznymi a elektronicznymi w anizotropowym medium półprzewodnikowym wzmocnionym włóknami.

Równania rządzące oraz matematyczne sformułowanie systemu sprzężonych fototermoelastycznych nośników zostały już ustalone. Parametry fizyczne i materialne odpowiadające ośrodku krzemowemu (Si) są podsumowane w Tabeli 1, wraz z ich wartościami numerycznymi, jednostkami i odpowiadającymi odniesieniami. Parametry te są następnie wykorzystywane w obliczeniach numerycznych oraz w procesie bezwymiarowości.

Symbol	Wartość	Jednostka	Bibliografia
λ	3.64 × 10¹⁰	N/m²	12
μT	5.46 × 10¹⁰	N/m²	12
μL	3.20 × 10¹⁰	N/m²	12
ρ	2330	kg/m³	13
CE	695	J/(kg·K)	30
K11	0.0921 × 10³	W/(m·K)	30
K22	0.0963 × 10³	W/(m·K)	30
DE	2.5 × 10⁻³	m²/s	22
τ	5 × 10⁻⁵	s	15
T₀	300	K	15
Eg	1.11 × 10⁻¹⁹	J	12
α11	3.1 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
α22	3.5 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
ξ11	−7 × 10⁻³¹	m³	21
ξ22	−9 × 10⁻³¹	m³	21
κ	2.16 × 10²¹	m⁻³·s⁻¹·K⁻¹	21
α	−1.28 × 10¹⁰	N/m²	28
β	220.90 × 10¹⁰	N/m²	28
ω	2,95 + 1i	s⁻¹	12
a	1	— (bezwymiarowy)	13
y	0.6	m	13
θ₀	1	— (bezwymiarowy)	15
N₀	1	— (bezwymiarowy)	15

Tabela 1. Właściwości i parametry materiału wykorzystywane w analizie numerycznej anizotropowego medium półprzewodnikowego wzmocnionego włóknem. Wszystkie wielkości są wyrażane w jednostkach SI, chyba że zaznaczono inaczej. Parametry bezwymiarowe są odpowiednio wskazane. Wymienione wartości odpowiadają właściwościom materiału opartego na krzemie oraz parametrom modelu zastosowanym w niniejszym obliczeniu, uzyskanym z cytowanych źródeł. Współczynnik sprzężenia termonośnego κ definiuje się jako κ = (∂N₀/∂T)(1/τ), zgodnie ze standardowymi formułami w modelach termo-fotoelastycznych półprzewodników.

Bezwymiarowa formuła sprzężonego anizotropowego modelu foto-termoelastycznego
Aby uprościć równania rządzące i uzyskać spójną niewymiarową reprezentację sprzężonego układu termo-fotoelastycznego, wprowadzono odpowiednie skale charakterystyczne dla współrzędnych przestrzennych x, y, czasu t, składowych przemieszczenia u, v, temperatury T, gęstości nośnej N oraz σ. Parametry skalowania te były konsekwentnie wybierane na podstawie wewnętrznych właściwości fizycznych ośrodka oraz mechanizmów sprzężenia między polami termicznymi, mechanicznymi i nośnikowymi, zgodnie z ustalonymi formułami przedstawionymi w literaturze^16,21. W związku z tym zmienne bezwymiarowe zostały zdefiniowane następująco:

, , , , , , , , , , .

Ta transformacja zmniejszyła liczbę niezależnych parametrów materiału i zapewniła znormalizowaną reprezentację układu sprzężonego. Poprzez podstawienie powyższych bezwymiarowych zmiennych do wcześniej wyprowadzonych równań rządowych, system został przepisany w formie niewymiarowej. Dla uproszczenia pominięto notację pierwszą przypisaną do zmiennych bezwymiarowych. Ta procedura dała zwarty zbiór bezwymiarowych częściowych DE, który można zapisać w następującej formie:

, (15)

, (16)

, (17)

. (18)

Po zastosowaniu transformacji bezwymiarowej, składowe naprężeń układu zapisywano w następującej znormalizowanej formie:

, (19)

, (20)

. (21)

Bezwymiarowe parametry a_i zostały wprowadzone, aby reprezentować zwarte kombinacje właściwości fizycznych i materiałowych rządzących sprzężonym anizotropowym zachowaniem foto-termoelastycznym. Każdy współczynnik odzwierciedlał specyficzny mechanizm interakcji w systemie i dostarczał wglądu w względny wpływ procesów fizycznych. Reprezentuje stosunek między normalną sztywnością sprzężenia a główną sztywnością sprężystą, odzwierciedlając stopień oddziaływania anizotropowego między dwoma składowymi przemieszczenia. charakteryzuje względny wkład odkształcenia poprzecznego do składowej naprężenia normalnego. mierzy kierunkową zmienność sprzężenia termoelastycznego, wskazując anizotropię w efektach rozszerzalności cieplnej. opisuje anizotropowy wpływ gęstości nośników na indukowaną sprężystą deformację. reprezentuje znormalizowaną sztywność ścinającą i ilościowo określa wkład odkształcenia ścinającego względem odkształcenia normalnego. uwzględnia łączne sprzężenie między odkształceniem normalnym a ścinającym w równaniach przemieszczeń rządzących. wyraża stosunek między sztywnością poprzeczną a sztywnością ścinaną, podkreślając zachowanie deformacji anizotropowej. reprezentuje znormalizowany parametr bezwładnościowy, łączący efekty propagacji fal ze sztywnością ścinania. charakteryzuje sprzężenie między gradientami przemieszczeń w różnych kierunkach przestrzennych. ilościowo określa względny wkład efektów termicznych do pola przemieszczenia w kierunku poprzecznym. Mierzy wpływ odkształceń indukowanych przez nośniki w stosunku do sztywności ścinającej. : oznacza anizotropię przewodności cieplnej wzdłuż różnych kierunków przestrzennych. charakteryzuje wpływ rekombinacji nośników na generowanie ciepła w ośrodku. reprezentuje sprzężenie między efektami termicznymi a zależną od czasu sprężystą deformacją. tłumaczy to łączny wpływ anizotropowej ekspansji cieplnej w obu kierunkach przestrzennych. reprezentuje znormalizowany parametr dyfuzji kontrolujący szybkość transportu nośników. charakteryzuje względną siłę efektów rekombinacji nośników. opisuje sprzężenie między zmiennościami termicznymi a procesami generowania nośników.

Rozwiązanie analityczne z wykorzystaniem techniki normalnego trybu
Aby uzyskać rozwiązania analityczne dla sprzężonego anizotropowego układu termo-fotoelastycznego, zastosowano technikę trybu normalnego ze względu na jej skuteczność w redukcji rządzących cząstkowych DE do bardziej przystępnego układu zwykłych DE. Podejście to jest szeroko stosowane w analizie zjawisk propagacji fal, w tym dyspersji i tłumienia. W związku z tym założono harmoniczne zmiany zmiennych pola zarówno w czasie, jak i w poprzecznym kierunku przestrzennym: ^1,12,23. W związku z tym składowe przemieszczenia, temperatura, gęstość nośników i naprężenia zostały wyrażone wykładniczo w następujący sposób:

. (22)

Tutaj ω oznacza zespoloną częstotliwość rządzącą zachowaniem czasowym pól, natomiast a oznacza liczbę falową związaną z przestrzenną zmiennością wzdłuż kierunku y. Parametry te zostały wybrane tak, aby spełnić wymagania stabilności i zapewnić fizycznie dopuszczalne rozwiązania ograniczone w obrębie półnieskończonej dziedziny. Poprzez podstawienie powyższych przyjętych form do wcześniej wyprowadzonych niewymiarowych równań rządzących i uproszczenie powstałych wyrażeń, pierwotny sprzężony układ częściowych DE został sprowadzony do układu zwykłych DE względem współrzędnej przestrzennej , którą można zapisać następująco:

, (23)

, (24)

, (25)

. (26)

Ponadto odpowiadające im składniki naprężeń w dziedzinie transformowanej zapisywano następująco:

, (27)

, (28)

. (29)

Tutaj D oznacza operator różniczkowy . Równania te reprezentują zredukowaną formę układu rządzącego w dziedzinie trybu normalnego i stanowią podstawę do wyprowadzenia równania charakterystycznego oraz konstrukcji ogólnego rozwiązania analitycznego w kolejnych etapach. Współczynniki zostały zdefiniowane następująco: , , , , , .

Formułowanie macierzowego DE i analiza wartości własnych
Po zastosowaniu transformacji trybu normalnego, układ rządzący podany w równaniach 23–26 został sprowadzony do zbioru drugorzędnych zwykłych DE względem współrzędnej przestrzennej . Aby ułatwić rozwiązanie systematyczne, system ten został przekształcony w równoważny system pierwszego rzędu poprzez wprowadzenie zmiennych pomocniczych odpowiadających pierwszym pochodnym wielkości pól. Konkretnie zdefiniowano następujące zmienne:

, . (30)

Na podstawie tych definicji równania 23–26 zostały przepisane jako następujący układ ośmiu pierwszorzędnych równań:

, (31)

, (32)

, (33)

, (34)

. (35)

Powyższy układ został wyrażony w formie zwartej macierzy A w następujący sposób:

. (36)

Wektor stanu był podany następująco:

. (37)

a macierz systemowa przyjmowała formę jawną:

. (38)

Ta formuła przekształciła oryginalny układ w problem wartości własnych ^1,15. Równanie charakterystyczne otrzymano z

. (39)

co daje wielomian ósmego rzędu rządzący wartościami własnymi. W formie zredukowanej wielomian charakterystyczny można zapisać jako

. (40)

gdzie Z_i współczynniki są funkcjami parametrów układu i są definiowane jawnie poniżej. Powstałe wartości własne określają przestrzenne zachowanie rozwiązania, w tym charakterystyki tłumienia i propagacji. Zachowywane są tylko wartości własne spełniające Re(m) > 0, aby zapewnić fizycznie dopuszczalne rozwiązania, które zanikają wykładniczo jako x → ∞.

. (41)

Pierwiastki wielomianu charakterystycznego definiują wartości własne m, które rządzą przestrzennym zachowaniem rozwiązania. Wartości własne zostały obliczone numerycznie za pomocą Mathematica, konstruując wielomian charakterystyczny za pomocą funkcji CharacteristicPolynomial i rozwiązując powstałe równanie algebraiczne za pomocą NSolve. Ponieważ problem jest sformułowany w półnieskończonej dziedzinie (x ≥ 0), rozważane są tylko fizycznie dopuszczalne rozwiązania, które pozostają ograniczone jako x → ∞. W związku z tym zachowywano tylko wartości własne spełniające Re(m) > 0, co zapewnia wykładniczo malejące rozwiązania postaci exp(−mx) jako x → ∞. Pozostałe pierwiastki zostały odrzucone, ponieważ odpowiadają rozwiązaniom nierozpadającym się lub nieograniczonym, które nie są zgodne z fizycznymi wymaganiami modelu.

Dla każdej zachowanej wartości własnej m otrzymano odpowiadający jej wektor własny z powiązanego układu algebraicznego

, (42)

i wyrażała się w następującej formie:

. (43)

Rozwijając powyższe równanie macierzowe, otrzymano następujący układ równań liniowych:

, (44)

, (45)

, (46)

, (47)

. (48)

Ze względu na jednorodność problemu wartości własnych, wektory własne zostały zdefiniowane z dokładnością dowolnej stałej mnożnikowej. Aby uzyskać unikalną i spójną reprezentację, narzucono warunek normalizacji poprzez ustalenie jednej składowej wektora własnego. W niniejszej pracy wybrano pierwszy składnik tak, że q₁ = 1, a pozostałe składniki zostały wyznaczone kolejno z powyższego układu równań. Z perspektywy obliczeniowej normalizacja ta została zrealizowana poprzez przypisanie jednej wartości jednostkowej jednej składowej i rozwiązanie powstałego układu równań liniowych w celu oceny pozostałych składowych. Procedura ta zapewniała systematyczny i powtarzalny sposób obliczania wektorów własnych związanych z każdą dopuszczalną wartością własną.

. (49)

Pozostałe składniki wynikają odpowiednio z relacji systemowych. Te wektory własne opisują względny wkład temperatury, gęstości nośników oraz pól przemieszczeń w obrębie każdego trybu. W konsekwencji ogólne rozwiązanie problemu zostało skonstruowane jako liniowa kombinacja dopuszczalnych modów własnych, z których każdy był powiązany z wartością własną i odpowiadającym jej wektorem własnym, co zapewniało pełny analityczny opis sprzężonego anizotropowego zachowania foto-termoelastycznego w ośrodku półprzestrzeni. Ogólne rozwiązanie układu zostało więc zapisane następująco:

. (50)

Tutaj C_i są stałymi wyznaczonymi na podstawie warunków brzegowych. Rozwijając powyższe wyrażenie wektorowe, zmienne pola otrzymano następująco:

, (51)

, (52)

, (53)

. (54)

Ta reprezentacja pokazuje, że rozwiązanie składa się z superpozycji trybów wykładniczych, gdzie każda para wartości własnych-wektor własny przyczynia się niezależnie do ogólnej odpowiedzi fizycznej. Dopuszczalne wartości własne są dobierane tak, aby ich rzeczywiste części były dodatnie, co zapewnia ograniczone i fizycznie znaczące rozwiązania jako x → ∞.

Warunki brzegowe i ograniczenia fizyczne
Podstawiając ogólne rozwiązanie do określonych warunków brzegowych w x = 0, uzyskano układ liniowych równań algebraicznych w kategoriach stałych C_i. Konkretnie, każdy warunek brzegowy (temperatura, gęstość nośna i ograniczenia przemieszczenia) był wyrażony w kategoriach rozwięć trybu własnego, co skutkowało zestawem równań łączących współczynniki C_i. Ta procedura doprowadziła do powstania układu liniowego, który można zapisać w formie macierzy jako BC = D, gdzie B to macierz współczynników skonstruowana z składowych wektorów własnych obliczanych na brzegu, C = (C₁, C₂, C_{3,C 4})^T to wektor nieznanych stałych i jest wyznaczany na podstawie narzuconych wartości brzegowych, takich jak θ₀, N₀, oraz ograniczenia przemieszczeń. Powstały układ liniowy został rozwiązany obliczeniowo za pomocą Mathematica, gdzie macierz współczynników i wektor po prawej stronie zostały złożone jawnie, a nieznane stałe uzyskano za pomocą procedury LinearResolv. Te stałe były następnie podstawiane z powrotem do ogólnego rozwiązania, aby skonstruować pełne wyrażenia dla pól fizycznych, które następnie wykorzystano w liczbowej ocenie i graficznej reprezentacji wyników.

Nałożone warunki brzegowe zostały przedstawione następująco:

Ograniczenie temperaturowe:

. (55)

Ten warunek oznacza harmonicznie zmieniającą się temperaturę powierzchniową wywołaną okresowym nagrzewaniem optycznym. Pełni rolę podstawowego wzbudzenia termicznego napędzającego sprzężone procesy transportu termoelastycznego i nośnikowego w obrębie ośrodka. Amplituda θ₀ charakteryzuje intensywność przyłożonego obciążenia cieplnego.

Ograniczenie gęstości nośnej:

. (56)

Ten warunek brzegowy opisuje gęstość nośników generowaną przez foto wynikającą z oświetlenia optycznego. Odzwierciedla wzbudzenie elektronowe wynikające z absorpcji fotonów oraz jego modulację harmoniczną zgodną z padającym polem optycznym.

Ograniczenie przemieszczenia:

. (57)

Warunek ten wskazuje, że brzeg jest mechanicznie ograniczony w kierunku poprzecznym. W związku z tym na powierzchni nie występuje przesunięcie wzdłuż kierunku V.

Ograniczenie naprężenia ścinającego:

. (58)

Warunek ten odpowiada granicy wolnej od trakcji względem naprężeń ścinanych. Zapewnia, że na powierzchnię nie działają siły styczne, co jest zgodne z mechanicznie wolną granicą w kierunku stycznym. Oprócz warunków brzegowych w x = 0, fizyczny wymóg w nieskończoności został nałożony jako: zapewnienie ograniczonych rozwiązań fizycznych w obrębie półnieskończonej dziedziny. Przed przedstawieniem wyników numerycznych, ogólna procedura obliczeniowa przyjęta w tym badaniu została podsumowana na Rysunku 2. Wartości numeryczne parametrów wzbudzeń θ₀, N₀, częstotliwości zespolonej ω oraz liczby falowej a użytych w obliczeniach są wymienione w Tabeli 1. Parametry wymienione w Tabeli 1 obejmują zarówno stałe materiałowe wymiarowe, jak i niewymiarowe parametry stosowane w sformułowaniu znormalizowanym. Do oceny numerycznej dziedzina przestrzenna była definiowana jako , współrzędna poprzeczna była ustalana na y = 0,6, a dziedzina czasowa była rozpatrywana w obrębie . Zakresy te były używane do wszystkich obliczeń numerycznych i reprezentacji graficznych.

Rysunek 2. Obliczeniowy przepływ pracy proponowanej metody. Rysunek ilustruje kolejność kroków od formułowania do wyników numerycznych: równania rządzące, bezwymiarowość, zastosowanie techniki trybu normalnego, konwersję do układu pierwszego rzędu, formułowanie macierzy, analiza wartości własnych i wektorów własnych, zastosowanie warunków brzegowych, wyznaczanie stałych oraz generowanie wykresów numerycznych. Proszę kliknąć tutaj, aby zobaczyć większą wersję tej figurki.

Wyniki

Wyniki numeryczne
W tej sekcji przeprowadzono obliczenia numeryczne w celu analizy zachowania sprzężonego układu termo-fotoelastycznych nośników w anizotropowym medium półprzewodnikowym wzmocnionym włóknami. Rozważanym materiałem był krzem (Si), a jego parametry fizyczne i materialne wymienione są w Tabeli 1. Te stałe materialne były bezpośrednio podstawiane do równań rządzących i wdrażane w obliczeniach numerycznych do oceny zmiennych pola. Wszystkie parametry były konsekwentnie uw...

Dyskusja

Uzyskane wyniki dostarczają jasnego wglądu fizycznego w sprzężone zachowanie termo-fotoelastyczne w anizotropowych ośrodkach półprzewodnikowych wzmacnianych włóknami. Niniejsze badanie proponuje oparte na wartościach własnych ramy analityczne do badania interakcji między obciążeniem termicznym, generowaniem nośników a sprężystą deformacją w takich ośrodkach. Obserwowana odpowiedź jest zasadniczo regulowana przez silne sprzężenie między tymi procesami fizycznymi. Pochłanianie energii optycznej na granicy prowadzi do lokal...

Materiały

Lista materiałów użytych w tym artykule

Nazwa	Firma	Numer katalogowy	Komentarze
Oprogramowanie obliczeniowe (analiza symboliczna i numeryczna)	Wolfram Research	Użyto Wolfram Mathematica (wersja 12.0)	Wykorzystywane do obliczania wartości własnych, implementacji rozwiązań analitycznych oraz oceny numerycznej
Narzędzia do wizualizacji danych (generowanie konturów i map cieplnych)	Wolfram Research	Wolfram Mathematica (wersja 12.0) była używana do generowania 2D wykresów konturowych i map cieplnych przestrzenno-czasowych	Wykorzystywane do generowania 2D wykresów konturowych i map cieplnych przestrzenno-czasowych
Zbiór parametrów materiału (właściwości półprzewodników krzemowych)	Różne źródła literatury	Nie ma	Stałe fizyczne (elastyczne, termiczne, nośne) używane w obliczeniach (Tabela 1)
Komputer osobisty/stacja robocza	HP	Nie ma	Obliczenia wykonywano na standardowym komputerze osobistym z systemem Windows OS, z wystarczającą pamięcią do symulacji numerycznych
Edytor równań	Microsoft  Tekst i Matematyka	Nie ma	Wykorzystywane do formatowania i przedstawiania matematycznych wyrażeń w rękopisie
Oprogramowanie do zarządzania referencjami	Elsevier	Nie ma	Wykorzystywane do zarządzania odniesieniami i formatowania cytowań (styl Vancouver)