Efekty rotacyjne na propagacji fal magneto-foto-termoutwardzalnych w półprzewodnikowym półprzestrzeni wzmocnionej włóknem, anizotropiowej, pod wpływem stymulacji optycznej

Zaki Mrzog Alaofi; M. Yusuf; A. El-Dali

doi:10.3791/72171

Subskrypcja JoVE jest wymagana do oglądania tego materiału. Zaloguj się lub rozpocznij bezpłatny okres próbny.

Artykuł badawczy

Efekty rotacyjne na propagacji fal magneto-foto-termoutwardzalnych w półprzewodnikowym półprzestrzeni wzmocnionej włóknem, anizotropiowej, pod wpływem stymulacji optycznej

88 wyświetleń

⸱

DOI:

10.3791/72171

⸱

7 sierpnia 2026

Zaki Mrzog Alaofi¹ , M. Yusuf² , A. El-Dali²

¹Department of Mathematics, Applied College at Mahail Aseer, King Khalid University, ²Department of Mathematics, Faculty of Science, Capital University (formerly Helwan University)

W tym artykule

Podsumowanie

Przedstawiamy model analityczny do badania propagacji obrotowych fal magneto-foto-termo-elastycznych w anizotropicznych półprzewodnikach wzmocnionych włóknami pod wpływem stymulacji optycznej. Metoda ta może być wykorzystana do analizy rozkładu temperatury, gęstości nośników, przemieszczenia oraz naprężeń w zaawansowanych materiałach półprzewodnikowych.

Streszczenie

Niniejsze badanie dotyczy sprzężonego obrotowego zachowania magneto-foto-termoelastycznego anizotropicznej półprzestrzeni wzmocnionej włóknami półprzewodników poddanej stymulacji optycznej i zastosowanego pola magnetycznego. Rządzące równania, uwzględniające efekty termiczne, elastyczne, gęstość nośników, elektromagnetyczne i obrotowe, są sformułowane w ramach ujednoliconego wielofizycznego modelu. Metoda normalnych modów jest zastosowana do przekształcenia sprzężonych równań różniczkowych cząstkowych w układ równań różniczkowych zwyczajnych, który następnie jest przepisany jako pierwszego rzędu układ równań różniczkowych macierzowych. Następnie opracowywana jest formulacja oparta na wartościach własnych w celu skonstruowania analitycznego rozwiązania sprzężonego problemu. Wynikowe zadanie wartości własnych, układ warunków brzegowych i wielkości pola są oceniane numerycznie. Przedstawiono wyniki numeryczne dla temperatury, gęstości nośników, składowych przemieszczenia i dystrybucji naprężeń w celu zbadania wpływu parametru obrotu i intensywności pola magnetycznego na sprzężone pola fizyczne. Wyniki pokazują istotną rolę oddziaływań obrotowych i elektromagnetycznych w modyfikacji propagacji fal, charakterystyk tłumienia oraz dystrybucji pola w anizotropicznym środowisku półprzewodnikowym. Obliczenia numeryczne przeprowadzono dla środowiska półprzewodnikowego opartego na krzemie.

Wprowadzenie

Fototermoelastyczność stała się aktywnym dziedziną badań ze względu na jej zdolność do opisywania sprzężonych interakcji pomiędzy polami termicznymi, mechanicznymi, optycznymi i gęstością nośników w materiałach półprzewodnikowych poddanych naświetlaniu laserem i pobudzeniu fototermicznemu. Te sprzężone zjawiska odgrywają ważną rolę we współczesnych urządzeniach optoelektronicznych, technologiach półprzewodnikowych, systemach przetwarzania laserowego i zastosowaniach mikroelektronicznych. Saeed i wsp.¹ zbadali propagację fal w ciałach stałych półprzewodników o właściwościach zależnych od temperatury, podczas gdy Abbas i wsp.² badali interakcje fototermiczne w półprzewodnikach zawierających cylindryczne wnęki i zmienną przewodność cieplną. Następnie, Ihtisham Ullah i wsp.³ analizowali wpływ zmiennej przewodności cieplnej i impulsach laserowych na odbite fale sprężyste w środowiskach półprzewodnikowych. Ponadto, Yadav⁴ badał propagację fal plazmowych magneto-fototermicznych w półprzewodnikach dyfuzyjnych w ramach wielotemperaturowego wielofazowego układu termoelastycznego. Bardziej niedawno, Lute i wsp.⁵ oraz Lute i wsp.⁶ opracowali zaawansowane modele fototermoelastyczne półprzewodników uwzględniające generowaną przez fototermię ciepło, efekty pamięci i sprzężenia nielokalne, podczas gdy Alaofi i El-Dali⁷ zaproponowali multifizyczną formułę foto-termo-hygroelastyczną dla materiałów półprzewodnikowych. Ponadto, kilka uogólnionych modeli fototermoelastycznych opartych na teoriach opóźnienia fazowego i układach nielokalnych zostało zgłoszonych w celu poprawy opisu sprzężonych zjawisk transportu ciepła i nośników w półprzewodnikach⁸^,⁹^,¹⁰^,¹¹.

Rosnące zapotrzebowanie na lekkie i wysokowydajne konstrukcje inżynierskie stymulowało rozległe badania nad materiałami anizotropicznymi i wzmocnionymi włóknem. Ze względu na ich doskonałe właściwości mechaniczne i zwiększoną odporność termiczną, kompozyty wzmocnione włóknem zostały szeroko zastosowane w zastosowaniach inżynierii lotniczej, cywilnej i elektronicznej. Khan i wsp.¹² opracowali ujednolicony mikropolarny model termoelastyczny dla wzmocnionych włóknem kompozytów zależnych od temperatury i wykazali znaczący wpływ parametrów mikrostrukturalnych na charakterystyki propagacji fal. Pitarresi i wsp.¹³ badali termoelastyczną odpowiedź tworzyw sztucznych wzmocnionych włóknem i podkreślili rolę heterogeniczności materiału na dystrybucji naprężeń termicznych. Escalante-Solís i wsp.¹⁴ badali wpływ krzywizny włókien na mikromechaniczne zachowanie wzmocnionych kompozytów, podczas gdy Abo-Dahab i wsp.¹⁵ badali zjawiska odbicia fal w wzmocnionych termoelastycznych ośrodkach włóknionych. Bardziej niedawno, Purkait i Kanoria¹⁶ analizowali obrotowe środowisko magneto-termoelastyczne wzmocnione włóknem poddane ekscytacji impulsowemu laserowi, podczas gdy Akai i wsp.¹⁷ oraz Quinlan i wsp.¹⁸ badali odpowiedzi termoelastyczne w wzmocnionych kompozytowych strukturach włóknionych w różnych warunkach obciążenia. Te badania potwierdziły, że właściwości wzmocnienia i anizotropia znacząco wpływają na transport termiczny, koncentracje naprężeń i zachowanie propagacji fal. Niemniej jednak, większość dostępnych badań dotyczyła materiałów kompozytowych termoelastycznych i nie uwzględniała jednocześnie sprzężenia fototermoelastycznego półprzewodników wraz z mechanizmami transportu nośników.

Interakcja między polami magnetycznymi a termoelastycznymi środkami półprzewodnikowymi również przyciągnęła znaczną uwagę ze względu na jej znaczenie w urządzeniach elektromagnetycznych i materiałach przewodzących. Yadav¹⁹ badał odbicie fal w obrotowym ortotropowym półprzestrzeni magneto-termoelastycznej z efektami dyfuzji, podczas gdy Selvamani i wsp.²⁰ badali propagację fal magnetoelastycznych w nielokalnych ułamkowych nanobelkach. Abouelregal i wsp.²¹ badali sprzężone stymulacje laserowo-termomagnętne w magnetyzowanych strukturach porowatych z efektami zależnymi od pamięci, podczas gdy Chandel i wsp.²² zaproponowali nielokalny układ magneto-termoelastyczny oparty na przewodzeniu ciepła Moore-Gibson-Thompson. W kontekście półprzewodników, Abouelregal²³ opracował zmodyfikowany ułamkowy model fototermoelastyczny dla obrotowej półprzestrzeni półprzewodnikowej poddanej działaniu pola magnetycznego, a Sur²⁴ badał interakcje magneto-fototermoelastyczne w środowiskach wykazujących charakterystyki dziedziczne. Bardziej niedawno, Saidi i wsp.²⁵ oraz Rashid i wsp.²⁶ analizowali zaburzenia magneto-fototermoelastyczne w ogólnych obrotowych środowiskach półprzewodnikowych i wykazali znaczący wpływ intensywności magnetycznej na propagację sprzężonych fal. Podobne obserwacje zostały zgłoszone w zaawansowany

Dostęp ograniczony. Zaloguj się lub rozpocznij wersję próbną, aby wyświetlić tę treść.

Protokół

Niniejsza praca opiera się w całości na modelowaniu analitycznym, obliczeniach symbolicznych i symulacjach numerycznych w celu zbadania sprzężonych rotacyjnych oddziaływań magnetofototermoelastycznych w anizotropowych mediach półprzewodnikowych. W badaniu nie uczestniczyli ludzie, nie przeprowadzono doświadczeń na zwierzętach, nie wykorzystano danych klinicznych ani próbek biologicznych. W związku z tym nie wymagano zgody komisji etycznej ani świadomej zgody uczestników.

Sformułowanie matematyczne problemu magnetofototermoelastycznego w obracającej się, anizotropowej półprzestrzeni półprzewodnikowej wzmocnionej włóknami

W niniejszym badaniu analizowany jest dwuwymiarowy obracający się anizotropowy półprzestrzeń półprzewodnikowy wzmocniony włóknami, poddany wzbudzeniu optycznemu i przyłożonemu polu magnetycznemu. Medium zajmuje obszar półnieskończony x ≥ 0, gdzie granica przy x = 0 reprezentuje powierzchnię wystawioną na zewnętrzne obciążenie optyczne. Układ współrzędnych dobrano tak, aby oś x biegła w głąb medium, natomiast oś y znajdowała się wzdłuż powierzchni, reprezentując zachowanie struktury w płaszczyźnie. Przyłożone pole magnetyczne oraz wektor prędkości kątowej przyjmuje się wzdłuż osi z. Przyjmuje się, że medium półprzewodnikowe jest jednorodne i liniowo sprężyste, natomiast anizotropia zostaje wprowadzona poprzez wyrównane włókna wzmacniające osadzone w kierunku x. Absorpcja optyczna na granicy powoduje lokalne nagrzewanie i powstanie nadmiarowych nośników ładunku, co prowadzi do sprzężonych oddziaływań termicznych, mechanicznych i nośnikowych wewnątrz medium. Dodatkowo pole magnetyczne wprowadza efekty sprzężenia elektromagnetycznego, podczas gdy ruch obrotowy wnosi efekty inercyjne, które znacząco wpływają na propagację fal termoplastycznych i ogólną odpowiedź fizyczną. W związku z tym stan fizyczny medium reprezentowany jest przez pole temperatury T(x, y, t)(K), gęstość nośników N(x, y, t)(m^-3) oraz składowe przemieszczenia u(x, y,t)(m) i v(x,y,t)(m), przy założeniu małych odkształceń. Rysunek 1 ilustruje geometrię problemu, w tym układ współrzędnych, wzbudzenie optyczne, pole magnetyczne, efekt obrotu i orientację włókien. Przedstawione sformułowanie jest stosowalne do jednorodnych anizotropowych mediów półprzewodnikowych wzmocnionych włóknami, pracujących w reżimie małych odkształceń i w ramach linearnej termoelastyczności. Model zakłada stałą orientację włókien i stałe właściwości materiałowe w całym medium. W konsekwencji w niniejszym badaniu nie uwzględniono nieliniowego zachowania materiału, dużych odkształceń, uszkodzeń materiału ani przestrzennych zmienności właściwości materiałowych. Zatem proponowany model jest przeznaczony dla umiarkowanych warunków obciążenia, w których odpowiedź pozostaje w zakresie liniowym. W niniejszym badaniu wzbudzenie optyczne modelowane jest przy użyciu określonych warunków brzegowych dla temperatury powierzchni i gęstości nośników generowanych fotoelektrycznie. Szczegółowy proces oddziaływania laser-materia, obejmujący absorpcję optyczną, głębokość penetracji i rozkład natężenia, nie jest traktowany w sposób jawny. Zamiast tego jego wypadkowy efekt jest reprezentowany przez amplitudy brzegowe θ₀ i N₀, które charakteryzują wzbudzenia termiczne i nośnikowe indukowane przez padające pole optyczne.

Wzbudzenie optyczne w układzie półprzewodnikowym; schemat przedstawia efekt obrotu i przyłożenie pola magnetycznego.
Rycina 1: Schematyczny rysunek obracającej się anizotropowej półprzestrzeni półprzewodnikowej wzmocnionej włóknami, poddanej wzbudzeniu optycznemu i zewnętrznemu polu magnetycznemu. Rycina ilustruje konfigurację fizyczną problemu, w tym układ współrzędnych, wzbudzenie optyczne, przyłożone pole magnetyczne, orientację włókien oraz efekty obrotowe uwzględnione w niniejszym sformułowaniu. Kliknij tutaj, aby wyświetlić powiększoną wersję tej ryciny.

Równanie konstytutywne dla tensora naprężeń w anizotropowym medium termoeleastycznym półprzewodnika zbrojonego włóknami można wyrazić w formie uogólnionej w następujący sposób¹²^,¹⁵^,¹⁶.

Wzór na równowagę statyczną σij=Cijklekl−βijT−ηijN na schemacie mechaniki materiałów. (1)

Tutaj σ_ij oznacza składniki tensora naprężeń, C_ijkl to współczynniki sztywności sprężystej, e_kl reprezentuje tensor odkształcenia, T jest przyrostem temperatury względem temperatury odniesienia T₀, a N oznacza nadmiarową gęstość nośników. Tensory β_ij oraz η_ij odpowiadają odpowiednio współczynnikom sprzężenia termoelastycznego i sprzężenia z nośnikami. W związku z tym zależność konstytutywna uwzględniająca bezpośredni wpływ zbrojenia włóknistego może zostać zapisana jako¹²^,¹⁵:

Wzór na równowagę statyczną; σij=λεkkδij+2μeij, równanie matematyczne; analiza fizyczna. (2)

W tym sformułowaniu λ oraz μ_T są stałymi sprężystości Lamégo, natomiast μ_L oznacza moduł ścinania podłużnego wzdłuż kierunku włókien. Parametry α i β opisują efekty wzmocnienia związane z osadzonymi włóknami. Ilość δ_ij jest symbolem delty Kroneckera, a a_i to składowe wektora jednostkowego definiującego orientację włókien. W niniejszym modelu włókna wzmacniające są wyrównane wzdłuż kierunku x, tak że a = (1,0). Składniki obejmujące β_ijθ oraz η_ijN reprezentują odpowiednio efekty sprzężenia termicznego i nośnikowego. Dla obecnej konfiguracji dwuwymiarowej rządzące składowe naprężeń sprowadzają się do następujących postaci¹²^,¹⁵:

Równanie analizy naprężeń σ_xx z pochodnymi; koncepcja równowagi mechanicznej. . (3)

Równanie naprężeń, σyy, pochodne cząstkowe, schemat współczynników termicznych i mechanicznych. . (4)

Wzór na naprężenie ścinające, σxy=A14(∂u/∂y+∂v/∂x), równanie sprężystości, wyrażenie matematyczne. . (5)

Tutaj Wzór równania falowego u(x,y,t) reprezentujący systemy dynamiczne w fizyce matematycznej. oraz Funkcja prędkości v(x,y,t), równanie matematyczne, analiza pola wektorowego. oznaczają odpowiednio składowe przemieszczenia w kierunkach x i y, natomiast A_ij to efektywne współczynniki sprężystości anizotropowego ośrodka wzmocnionego włóknami. Współczynniki sprzężenia termoeleastycznego i nośnikowego definiuje się w następujący sposób

Równanie równowagi statycznej β11, formuła analizy naprężeń mechanicznych, istotna dla nauki o materiałach. ,

Wzór na równowagę statyczną β22=(2λ+α)α11+(λ+2μT)α22. Równanie fizyczne dla analizy naprężeń. ,

Równanie równowagi statycznej; wzór matematyczny; przydatny w analizach fizycznych i inżynieryjnych. ,

Wzór na równowagę statyczną η22, rozważania dotyczące sprężystości, analiza równania matematycznego. .

W powyższych zależnościach α_ij reprezentują współczynniki rozszerzalności cieplnej, natomiast ξ_ij oznaczają współczynniki rozszerzalności nośników związane z ośrodkiem półprzewodnikowym. Efektywne współczynniki sprężystości anizotropowego ośrodka wzmocnionego włóknami są dane wzorem

Równanie równowagi mechanicznej, A11=λ+2μT+2α+β+4(μL-μT), równanie analizy stabilności. , Równanie równowagi statycznej, A₁₂=λ+α, symbol, istotny dla schematu fizycznego, do celów edukacyjnych. , Równowaga statyczna, wzór: A13=λ+2μT, ilustrujący analizę naprężeń materiału. , .

Współczynniki te charakteryzują anizotropową odpowiedź sprężystą wzmocnionego materiału półprzewodnikowego i opisują, w jaki sposób orientacja włókien wpływa na sprzężone zachowanie termosprężyste. Aby uwzględnić wpływ oddziaływań elektromagnetycznych w obecnej formulacji magneto-foto-termosprężystej, przyjmuje się, że jednorodne pole magnetyczne jest przyłożone wzdłuż kierunku z, który jest prostopadły do płaszczyzny odkształceń x - y. Zgodnie z tym, wektor pola magnetycznego jest rozważany w formie²³^,²⁵ , Równanie wektora pola magnetycznego, schemat, koncepcja równowagi statycznej, fizyka wektorowa. , gdzie H₀ oznacza stałą natężenie pola magnetycznego. Ponieważ obecna formulacja ogranicza się do odkształceń dwuwymiarowych, pole przemieszczeń ośrodka przyjmuje się jako $Równanie pola wektorowego $ \vec{u} = (u(x,y,t), v(x,y,t), 0) $, analiza dynamiki płynów.$ , gdzie Wzór równania falowego u(x,y,t) reprezentujący systemy dynamiczne w fizyce matematycznej. oraz Funkcja prędkości v(x,y,t), równanie matematyczne, analiza pola wektorowego. reprezentują odpowiednio składowe przemieszczeń w kierunkach x- i y.

Przy założeniu małych odkształceń i powoli poruszającego się przewodzącego elektrycznie ośrodka półprzewodnikowego, oddziaływanie między prędkością cząsteczek a przyłożonym polem magnetycznym generuje indukowane pole elektryczne.

W oparciu o zależności elektromagnetyczne Maxwella dla ruchomych ośrodków przewodzących, wektor indukowanego pola elektrycznego można wyrazić jako¹⁹^,²³

Równanie siły elektromagnetycznej, E=-μ₀(uₜ×H), notacja wektorowa, fizyka, opis pól dynamicznych. . (6)

gdzie μ₀ oznacza przenikalność magnetyczną, a Dynamika płynów, diagram pola wektorowego; ilustrujący pole prędkości u z komponentą czasu t. jest wektorem prędkości cząstki. Podstawienie wyrażeń dla i Wzór na wektor pola magnetycznego, symbol, równanie edukacyjne, studium fizyki, koncepcja elektromagnetyczna. do powyższej zależności daje

Równanie pola elektromagnetycznego, formuła macierzowa rachunku wektorowego, koncepcja fizyczna równowagi statycznej. . (7)

co daje

Równanie pola elektrycznego, koncepcja równowagi statycznej, wzór: E=(-μ₀H₀vₜ,μ₀H₀uₜ,0) . (8)

Obliczając pochodną indukowanego pola elektrycznego po czasie, otrzymujemy

Równanie pola elektromagnetycznego, wzór na ∂E/∂t, symboliczna reprezentacja pojęć fizycznych. . (9)

Wektor perturbacji magnetycznej generowany w wyniku odkształcenia ośrodka półprzewodnikowego definiuje się jako²³˒²⁵

Równanie wektorowe, h=(0,0,-H0(ux+vy)), koncepcja fizyczna, forma zwięzła. . (10)

Powyższe wyrażenie automatycznie spełnia warunek dywergencji Maxwella dla pola perturbacji magnetycznej, a mianowicie

Bezdywerygentne pole wektorowe, ∇·h=0, równanie używane w badaniach nad elektromagnetyzmem. . (11)

Aby wyznaczyć gęstość prądu elektrycznego, w pierwszej kolejności oblicza się rotację wektora perturbacji magnetycznej. W formie wyznacznika operator rotacji można zapisać jako²³

Równanie wektorowe operacji rotacji; wzory; schemat matematyczny; rachunek wektorowy, pochodne cząstkowe. . (12)

Rozwinięcie wyznacznika prowadzi do

Równanie operatora rotacji ∇×h dla analizy pola wektorowego, przedstawienie wzoru matematycznego. . (13)

Wektor gęstości prądu elektrycznego otrzymuje się następnie z równania elektromagnetycznego Maxwella²³

Teoria elektromagnetyczna; równanie: J=∇×h−ε₀(∂E/∂t); rachunek wektorowy w fizyce. . (14)

gdzie ε₀ oznacza przenikalność elektryczną ośrodka.

Elektromagnetyczną siłę objętościową działającą na ośrodek półprzewodnikowy wyznacza się przy użyciu relacji siły Lorentza²³

Równanie siły magnetycznej, diagram pól wektorowych, obejmujący F, J, H; koncepcja fizyczna, iloczyn wektorowy. . (15)

Iloczyn wektorowy Iloczyn wektorowy wektorów J i H; równanie; rachunek wektorowy; teoria elektromagnetyczna. można obliczyć w formie wyznacznika jako

Równanie produktu wektorowego, oddziaływanie pola magnetycznego, macierz wektorowa, obliczenia pola H. . (16)

Podstawiając poprzednie wyrażenia do równania (15), składowe wektora elektromagnetycznej siły objętościowej przyjmują postać

Schemat równania fali magnetoelastycznej, przedstawiający równanie siły Fx z członami pola magnetycznego H . (17)

Wzór na siłę elektromagnetyczną, Fy, z wykorzystaniem stałych μ0, ε0, opisujący propagację fali. . (18)

Relacje te wyraźnie wskazują, że przyłożone pole magnetyczne wprowadza dodatkowe mechanizmy sprzężenia do równań rządzących, zarówno poprzez elektromagnetyczne człony przypominające sztywność, jak i zmodyfikowane człony bezwładnościowe proporcjonalne do Równanie teorii pola elektromagnetycznego, ε₀μ₀²H₀², analiza równowagi statycznej, wzór. . W konsekwencji pole magnetyczne znacząco wpływa na charakterystykę propagacji fal termoplastycznych oraz ogólną dynamikę ośrodka półprzewodnikowego anizotropowego wzmocnionego włóknami. Oprócz efektów elektromagnetycznych, w niniejszym sformułowaniu uwzględniono wpływ rotacji, aby opisać odpowiedź dynamiczną ośrodka obserwowaną z obracającego się układu odniesienia. Przyjmuje się, że ośrodek półprzewodnikowy wzmocniony włóknami ulega jednostajnemu obrotowi bryły sztywnej ze stałym wektorem prędkości kątowej określonym jako³³ Równanie w notacji wektorowej, pęd kątowy Ω przedstawiony w formie składowych. , gdzie Symbol om (Ω) na schemacie obwodu rezystora, reprezentujący koncepcje rezystancji elektrycznej. oznacza stałą prędkość kątową wokół osi z . Ponieważ oś obrotu jest prostopadła do płaszczyzny x - y, podczas formułowania równań ruchu w obracającym się układzie współrzędnych powstają dodatkowe przyspieszenia bezwładnościowe wynikające z nieinercjalnego charakteru układu obracającego się. Przyspieszenia te składają się głównie z przyspieszenia Coriolisa i przyspieszenia odśrodkowego. Przyspieszenie Coriolisa jest powiązane z polem prędkości cząsteczek i wyraża się jako³¹˒³³

Schemat równania produktu wektorowego; analiza ruchu obrotowego z wektorami ω oraz u,t. . (19)

Podstawiając wyrażenia na Symbol notacji wektorowej; reprezentuje prędkość kątową w równaniach fizycznych. oraz Dynamika płynów, schemat pola wektorowego; ilustrujący pole prędkości u z komponentą czasu t. , otrzymujemy

Wzór na iloczyn wektorowy, reprezentacja macierzowa, analiza wektorowa, równanie fizyczne. . (20)

Zatem przyspieszenie Coriolisa przyjmuje postać

Równanie produktu wektorowego; analiza wektorowa w fizyce; wzór ilustrujący koncepcje ruchu obrotowego. . (21)

Przyspieszenie odśrodkowe zależy bezpośrednio od samego pola przemieszczeń i jest reprezentowane przez³¹^,³⁵

Wzór z algebry wektorowej: ilustracja produktu wektorowego w równaniu dynamiki rotacyjnej. . (22)

Najpierw oblicza się produkt wektorowy Równanie produktu wektorowego (Ω × u), stosowane w obliczeniach fizycznych i inżynieryjnych. zgodnie z wzorem

Iloczyn wektorowy prędkości kątowej; równanie wektorowe, postać macierzowa; fizyka, rachunek wektorowy. . (23)

Następnie podstawienie otrzymanego wyniku do wzoru na przyspieszenie dośrodkowe pozwala otrzymać

Wzór na iloczyn wektorowy; równanie matematyczne; analiza stanu równowagi statycznej . (24)

W związku z tym całkowity wkład rotacyjny występujący w równaniach rządzących można wyrazić jako

Równania dynamicznej mechaniki płynów, 2(Ω×uₜ)+Ω×(Ω×u), rachunek wektorowy. . (25)

Zatem składowe przyspieszenia kątowego w kierunkach x i y wynoszą

Równanie rotacji: Rotation_x = -2Ωv_t - Ω²u; wzór do analizy dynamiki rotacyjnej. , (26)

Równanie dynamiki obrotu: Rotation_y = 2Ωu_t - Ω². Odpowiednie do studiów z fizyki i inżynierii. . (27)

Powyższe wyrażenia pokazują, że ruch obrotowy wprowadza dodatkowe sprzężenie między składowymi przemieszczeń poprzez przyspieszenie Coriolisa, poza zależnościami efektów bezwładności od przemieszczenia wynikającymi z przyspieszenia odśrodkowego. W związku z tym wspólne działanie pola magnetycznego i obrotu powoduje znaczące modyfikacje odpowiedzi dynamicznej oraz charakterystyki propagacji fal w obracającym się anizotropowym ośrodku półprzewodnikowym wzmocnionym włóknami. Aby uwzględnić połączony wpływ oddziaływań elektromagnetycznych i ruchu obrotowego, równania ruchu dla anizotropowego ośrodka półprzewodnikowego wzmocnionego włóknami zostają uogólnione w taki sposób, aby obejmowały zarówno elektromagnetyczną siłę objętościową, jak i dodatkowe przyspieszenia bezwładności powstające w obracającym się układzie odniesienia. Zgodnie z tym, ogólne równanie ruchu dla odkształcalnego obracającego się kontinuum można zapisać w następujący sposób³¹˒³²

Równanie dynamiki płynów ilustrujące siły rotacyjne; wzór matematyczny z notacją wektorową. . (28)

Tutaj ρ oznacza gęstość masy, a F_i reprezentuje składowe elektromagnetycznej siły objętościowej. Ponadto Symbol notacji wektorowej; reprezentuje prędkość kątową w równaniach fizycznych. oznacza wektor prędkości kątowej układu obrotowego. Równania (22) i (24) odpowiadają odpowiednio przyspieszeniom Coriolisa oraz odśrodkowemu. Równania ruchu w kierunkach x i y można zapisać jako

Równanie ruchu; równowaga dynamiczna; wzór matematyczny; badanie sił w układach obrotowych. . (29)

Równanie dynamiki płynów, ρ(v_tt + 2Ωu_t - Ω²v)=∂σ_xy/∂x + ∂σ_yy/∂y + F_y, analiza równowagi statycznej . (30)

Podstawienie wcześniej wyznaczonych składowych elektromagnetycznej siły objętościowej do powyższych równań daje

Równanie fal sprężystych, schemat pochodnych cząstkowych, demonstrujący propagację fal w ośrodkach izotropowych. . (31)

Równanie dynamiki płynów: ∂σxy/∂x + ∂σyy/∂y; schemat ilustrujący analizę sił i ruchu. . (32)

Następnie podstawienie równań konstytutywnych odpowiadających anizotropowemu ośrodkowi półprzewodnikowemu wzmocnionemu włóknami do powyższych równań pozwala otrzymać sprzężone równania ruchu wyrażone za pomocą składowych przemieszczenia, pola temperatury oraz gęstości nośników³²

Równanie równowagi statycznej; wzór ΣFx=0; analiza naukowa; model matematyczny; badania. . (33)

Równanie równowagi statycznej; formuła symboliczna; analiza edukacyjnego konceptu fizycznego. . (34)

Wreszcie, korzystając z wcześniej podanego w równaniu (15) wyrażenia na pole perturbacji magnetycznej i podstawiając je do powyższych równań, rządzace równania ruchu można zapisać w ich ostatecznej formie sprzężonej jako

Równanie różniczkowe cząstkowe dla stanu równowagi statycznej; obejmuje stałe sprężystości; postać równania. . (35)

Równanie równowagi statycznej; wzór matematyczny; zastosowanie edukacyjne i badawcze; zwięzłe słowa kluczowe. . (36)

Równania te ujawniają sprzężony wpływ efektów rotacyjnych i pola magnetycznego na odpowiedź termoplastyczną ośrodka. Człony rotacyjne uwzględniają zarówno wkłady siły Coriolisa, jak i siły odśrodkowej, podczas gdy pole magnetyczne wprowadza dodatkowe sprzężenie elektromagnetyczne i modyfikuje dynamiczne zachowanie układu. W konsekwencji równania rządzące tworzą ujednoliconą strukturę do analizy propagacji fal i oddziaływań multifizycznych w rotujących magneto-foto-termoelastycznych półprzewodnikach wzmacnianych włóknami. W warunkach wzbudzenia optycznego na zachowanie termiczne ośrodka półprzewodnikowego znacząco wpływa współoddziaływanie między przewodnictwem cieplnym, transportem nośników a odkształceniem mechanicznym, co prowadzi do silnie sprzężonego procesu termo-fotoelastycznego. W przeciwieństwie do klasycznego modelu przewodnictwa cieplnego, rozkład temperatury w materiałach półprzewodnikowych zależy nie tylko od dyfuzji termicznej, ale także od rekombinacji nośników i sprzężenia termoelastycznego. W związku z tym uogólnione równanie przewodnictwa cieplnego dla anizotropowego ośrodka półprzewodnikowego wzmacnianego włóknami można zapisać w następujący sposób⁷˒²³.

Równanie różniczkowe cząstkowe, analiza naprężenie-odkształcenie, równowaga mechaniczna, reprezentacja symboliczna. . (37)

Powyższe równanie wyraźnie pokazuje, że pole termiczne wewnątrz obracającego się magnetofototermoelastycznego ośrodka półprzewodnikowego jest determinowane przez połączony wpływ anizotropowego przewodnictwa cieplnego, procesów rekombinacji nośników oraz oddziaływań termoeleastycznych. Człon $Równanie energii $E_g/τ$, formuła naukowa, obliczenia analityczne.$ opisuje energię cieplną generowaną w wyniku rekombinacji nośników pod wpływem wzbudzenia optycznego, podczas gdy człony sprzęgające zawierające $Symbol równania różniczkowego cząstkowego $ u_{x,t} $ w kontekście analizy matematycznej.$ oraz $Równanie prędkości $v_{y,t}$, symbol matematyczny, kinematyka, analiza składowych wektora.$ wskazują na wpływ zależnej od czasu deformacji mechanicznej na odpowiedź termiczną ośrodka. W konsekwencji pole temperatury staje się silnie sprzężone zarówno z gęstością nośników, jak i z polem sprężystym, co odgrywa istotną rolę w charakterystyce propagacji fal termoeleastycznych w materiałach półprzewodnikowych wzmacnianych włóknami. W niniejszym sformułowaniu ewolucja stężenia nośników N(x, y, t) wewnątrz ośrodka półprzewodnikowego jest regulowana przez połączone efekty dyfuzji nośników, procesów rekombinacji oraz aktywacji termicznej generowanej przez wzbudzenie optyczne. Odpowiednio, równanie transportu nośników opisujące dynamikę nośników w stanie nierównowagowym można zapisać w następujący sposób⁴^,²³

Równanie dynamiczne; proces dyfuzji-reakcji; wzór matematyczny; analiza zachowania przejściowego. . (38)

Tutaj D_E oznacza współczynnik dyfuzji nośników, natomiast Równanie operatora Laplace'a, ∇², symbol matematyczny dla analizy stanu równowagi statycznej. reprezentuje dwuwymiarowy operator Laplace'a w płaszczyźnie x -y . Termin Równanie pokazujące tempo pracy jako siłę w funkcji czasu, N/τ. odpowiada efektowi rekombinacji nośników powiązanemu z czasem życia nośników τ. Ponadto κ jest parametrem sprzężenia termiczno-nośnikowego zdefiniowanym przez Równanie przewodności cieplnej κ=∂N₀/∂T formuła w kontekście badań naukowych. , gdzie N₀ oznacza równowagową koncentrację nośników. Termin sprzężenia κT opisuje wpływ pola temperatury na generację nadmiarowych nośników w ośrodku półprzewodnikowym. Powyższe równanie pokazuje, że koncentracja nośników jest silnie sprzężona z polem termicznym poprzez mechanizmy termicznie aktywowanej generacji nośników. W konsekwencji dynamika nośników staje się wysoce zależna zarówno od dyfuzji termicznej, jak i efektów rekombinacji, co znacząco wpływa na sprzężoną foto-termoelastyczną odpowiedź obracającego się anizotropowego ośrodka półprzewodnikowego zbrojonego włóknami. Równania rządzące oraz sformułowanie matematyczne sprzężonego magneto-foto-termoelastycznego układu półprzewodnikowego zostały teraz całkowicie ustanowione. Parametry fizyczne i materiałowe dla ośrodka krzemowego podsumowano w Tabeli 2, wraz z ich wartościami numerycznymi, jednostkami i odpowiednimi referencjami. Parametry te są następnie wykorzystywane w obliczeniach numerycznych i procedurze bezwymiarowania.

Bezwymiarowe sformułowanie modelu półprzewodnika zbrojonego włóknami w warunkach rotacyjnego magneto-foto-termoelastycznego oddziaływania

Aby uprościć równania rządzące i uzyskać zwartą reprezentację matematyczną sprzężonego rotującego magneto-foto-termoelastycznego układu, wprowadzono odpowiednie skale charakterystyczne w celu bezwymiarowania zmiennych fizycznych. Procedura bezwymiarowania ta redukuje liczbę rządzących parametrów materiałowych i ułatwia analityczną oraz numeryczną analizę sprzężonych równań. Wybrane wielkości charakterystyczne dobrano zgodnie z właściwościami termoelastycznymi, elektromagnetycznymi, rotacyjnymi oraz właściwościami transportu nośników ośrodka półprzewodnikowego¹⁶^,²¹. W związku z tym wprowadzono następujące zmienne bezwymiarowe:

Równanie do analizy bezwymiarowej w dynamice płynów, przedstawiające x' = x/cTt*. , Równanie rachunku różniczkowego y'=y/cTt* w zapisie matematycznym. , Równanie przedstawiające normalizację czasu, t'=t/t*, stosowane w analizie dynamicznej do modelowania systemów. , Równanie znormalizowanej prędkości w dynamice płynów; wzór: u' = u/(cTt*). , Wzór kinematyczny v' = v / (cTt*) przedstawiający transformację prędkości. , Równanie termodynamiczne T'=(βxx/A11)T do analizy wymiany ciepła. , Równanie matematyczne N' = ηxx/A11 N, ilustrujące wzór fizyczny lub inżynieryjny. , Równanie transformacji naprężeń: σ' = σ/A11, wzór matematyczny do analizy inżynieryjnej. , $Równanie przedstawiające prędkość fali w materiałach: $ C_T^2 = \frac{A_{11}}{\rho} $.$ , Równanie równowagi statycznej, t* = K11/ρCEC², schemat wzoru, edukacyjny koncept fizyczny. , Koncepcja równowagi statycznej, równanie Ω'=Ωt*, schemat do analizy edukacyjnej. .

Tutaj C_T oznacza charakterystyczną prędkość fali sprężystej, natomiast t* reprezentuje charakterystyczny czas relaksacji termicznej związany ze sprzężonym procesem termousprężystym. Ponadto, parametr definiuje bezwymiarowy parametr rotacyjny Równowaga statyczna, schemat ΣFx=0, metoda bilansu momentów sił, edukacyjny koncept z fizyki , który charakteryzuje wpływ ruchu obrotowego na dynamiczne zachowanie ośrodka. Podstawienie powyższych wielkości bezwymiarowych do wcześniej wyprowadzonych równań rządzących przekształca sprzężony układ do postaci znormalizowanej. Transformacja ta znacząco upraszcza strukturę matematyczną równań i zapewnia odpowiednie ramy do badania połączonych efektów pola magnetycznego, wzbudzenia optycznego, rotacji, anizotropii oraz oddziaływań transportu nośników. Dla uproszczenia, w dalszej analizie pominięto oznaczenia prim związane z wielkościami bezwymiarowymi. W związku z tym równania rządzące sprzężonym rotującym układem magnetofototermousprężystym można zapisać w następującej formie bezwymiarowej¹⁶^,²⁰:

Równanie różniczkowe cząstkowe w fizyce; schemat z symbolami matematycznymi i zmiennymi. , (39)

Równanie różniczkowe cząstkowe dynamiki płynów; wizualizacja równania; analiza równowagi statycznej. , (40)

Równanie różniczkowe cząstkowe, dyfuzja termiczna, dynamika płynów, wzór równania, analiza badawcza. , (41)

Równanie różniczkowe cząstkowe dla analizy procesu dyfuzji; formuła modelowania matematycznego. . (42)

Odpowiadające im bezwymiarowe składowe naprężeń obracającego się anizotropowego ośrodka półprzewodnikowego wzmocnionego włóknami otrzymuje się w następujący sposób:

Równanie naprężenia-odkształcenia σ_xx=∂u/∂x+a1∂v/∂y-(T+N), analiza wykresu sprężystości. , (43)

Schemat formuły rozkładu naprężeń: σyy = a1 du/dx + a2 dv/dy - a3T - a4N. , (44)

Równanie równowagi statycznej, σxy=a5(∂u/∂y+∂v/∂x), relacja naprężenie-odkształcenie w analizie materiałowej. . (45)

Bezwymiarowe współczynniki a_i (i = 1,2,...,18) reprezentują kombinacje parametrów fizycznych, termicznych, elektromagnetycznych, nośników oraz parametrów rotacyjnych sprzężonego ośrodka półprzewodnikowego. Współczynniki te charakteryzują wpływ anizotropii, wzmocnienia włóknami, pola magnetycznego, sprzężenia termoutsprężystego, transportu nośników i ruchu obrotowego na ogólne zachowanie układu. W konsekwencji otrzymane bezwymiarowe równania sterujące stanowią zwarty i efektywny model matematyczny do analizy zjawisk propagacji fal sprzężonych oraz oddziaływań wielofizycznych w rotujących magneto-foto-termoelastycznych ośrodkach półprzewodnikowych wzmocnionych włóknami. Wprowadzono parametry bezwymiarowe a_i, γ_i oraz δ_i , aby reprezentować zwarte kombinacje właściwości fizycznych i materiałowych sterujących sprzężonym rotacyjnym zachowaniem magneto-foto-termoelastycznym anizotropowego ośrodka półprzewodnikowego wzmocnionego włóknami. Każdy współczynnik odzwierciedla specyficzny mechanizm oddziaływania w obrębie sprzężonego układu i pozwala zrozumieć wzglupowy wpływ podstawowych procesów fizycznych. Dla przejrzystości parametry bezwymiarowe i ich odpowiadające definicje zestawiono w Tabeli 1.

Tabela 1: Definicje i interpretacje fizyczne parametrów bezwymiarowych użytych w niniejszym sformułowaniu.Tabela ta podsumowuje parametry bezwymiarowe występujące w równaniach rządzących wraz z ich znaczeniem fizycznym oraz ich rolą w opisie sprzężonych oddziaływań termouCsprężystych, elektromagnetycznych, gęstości nośników oraz rotacyjnych. Proszę kliknąć tutaj, aby pobrać tę tabelę.

Rozwiązanie analityczne z wykorzystaniem techniki modów normalnych

Do wyprowadzenia rozwiązania analitycznego sprzężonego rotującego systemu magnetofoto-termoelastycznego zastosowano technikę modów normalnych. Metoda ta jest szeroko wykorzystywana w uogólnionych teoriach termoelastyczności i półprzewodników ze względu na jej skuteczność w przekształcaniu sprzężonych równań różniczkowych cząstkowych w zredukowany układ równań różniczkowych zwyczajnych. Takie podejście jest szczególnie przydatne w analizie propagacji fal, tłumienia oraz oddziaływań wielofizycznych w anizotropowych ośrodkach półprzewodnikowych. W ramach analizy modów normalnych przyjęto, że wszystkie wielkości pól fizycznych zmieniają się harmonicznie w czasie oraz wzdłuż poprzecznej współrzędnej przestrzennej. W związku z tym pole temperatury, gęstość nośników, składowe przemieszczeń oraz wielkości naprężeń przedstawiono w formie wykładniczej²⁴^,²⁷

Równanie modelowania matematycznego; analiza stabilności; zachowanie systemu dynamicznego; zmienne czasowo-przestrzenne. . (46)

Tutaj ω oznacza zespolony parametr częstotliwości sterujący zmiennością czasową pól fizycznych. Część rzeczywista ω wiąże się z tłumieniem (lub wzrostem) czasowym amplitudy fali, natomiast część urojona reprezentuje zachowanie oscylacyjne propagującego się modu. Interpretacje te są spójne z konwencjonalną analizą modów normalnych przyjętą w niniejszym badaniu, podczas gdy a reprezentuje liczbę falową związaną ze zmiennością przestrzenną w kierunku y. Wielkości $Zmienne stanu równowagi $ T^*, N^*, u^*, v^* $ w formie symbolicznej; relacje termodynamiczne.$ oraz Schemat wiązania chemicznego; orbital sigma gwiazdka (σ*); teoria orbitali molekularnych; konfiguracja elektronowa. odpowiadają amplitudom pola zależnym wyłącznie od współrzędnej przestrzennej x. Po podstawieniu powyższych reprezentacji modów normalnych do wcześniej uzyskanych bezwymiarowych równań rządzących i uproszczeniu wynikających z nich wyrażeń, pierwotny sprzężony układ równań różniczkowych cząstkowych zostaje przekształcony w zestaw równań różniczkowych zwyczajnych względem współrzędnej przestrzennej x. W konsekwencji równania rządzące w przekształconej dziedzinie przyjmują następującą postać:

Równowaga termiczna; równanie d²T*/dx²=E₇T*+a₁₃N*+E₈du*/dx*+E₉v*; schemat analizy procesu. , (47)

$Nieliniowe równanie optyczne, $ \frac{d^2N^*}{dx^2} = E_{10}N^* - a_{18}T^* $, wzór fizyczny.$ , (48)

Równanie różniczkowe, druga pochodna, analiza odkształcenia materiału, formuła naukowa. , (49)

Równanie różniczkowe, analiza dynamiki płynów, przedstawiająca pochodne i współczynniki, schemat równania. . (50)

Ponadto, odpowiadające im przetransformowane składowe naprężeń otrzymuje się jako

Równanie tensora naprężeń σₓₓ w mechanice, przedstawiające równowagę statyczną, schemat równania. , (51)

Równanie tensora naprężeń, σyy=a1Du*+iaa2v*-a3T*-a4N*, wzór fizyczny, schemat edukacyjny. , (52)

Równanie równowagi statycznej σ_x*y = iaa₅u* + a₅Dv*; schemat; koncepcja sprężystości. . (53)

Tutaj Równanie operatora różniczkowego D=d/dx, formuła matematyczna do studiów nad rachunkiem różniczkowym. oznacza operator różniczkowania względem współrzędnej przestrzennej. Uzyskany przekształcony układ stanowi fundament matematyczny do sformułowania równania charakterystycznego i wyprowadzenia pełnego rozwiązania analitycznego sprzężonego problemu magneto-foto-termoelastycznego w obrocie. Współczynniki występujące w przekształconych równaniach są zdefiniowane w następujący sposób:

Równanie: E₁ = a²a₅ - δ₁ + γ₁ω²; wzór fizyczny z parametrami w obliczeniach energii , Równanie zasady zachowania energii, E₂ = iaa₆, stosowane w obliczeniach naukowych. , Równanie równowagi statycznej F₁=δ₂ω, wzór istotny dla badań z zakresu fizyki i mechaniki. , Równanie: E₃ = a²a₇ - δ₃ + a₈ω², wzór matematyczny, zastosowanie edukacyjne, zwięzła reprezentacja. , Równanie matematyczne E₄=iaa₀; koncepcja równowagi statycznej; badania z zakresu fizyki. , Równanie opisujące równowagę statyczną: E₅ = iaa₁₀ (wzór matematyczny, zastosowanie edukacyjne). , Równanie równowagi statycznej E₆=iaa₁₁; wzór matematyczny; ukierunkowany na słowa kluczowe badań. , Równanie siły i częstotliwości kątowej; wzór F2=δ4ω. , Równanie wskazujące, że E7 jest równe a do kwadratu razy a12 plus omega; wyrażenie matematyczne. , Równanie równowagi E₈=a₁₄ω, wzór do analizy dynamicznej, wyrażenie matematyczne. , $Równanie równowagi statycznej $E_9 = ia a_{15}$, analiza wzoru, zastosowanie edukacyjne.$ , Równanie ze zmiennymi i stałymi, E₁₀=a²+a₁₇+a₁₆ω, wzór matematyczny. .

Współczynniki te zawierają połączone wkłady sprężystości anizotropowej, oddziaływania pola magnetycznego, sprzężenia termicznego, transportu nośników oraz efektów rotacyjnych. W związku z tym przekształcony układ zapewnia zwartą reprezentację, odpowiednią do wyznaczenia pierwiastków charakterystycznych i badania zachowania sprzężonej propagacji fal w obrótowym ośrodku półprzewodnikowym wzmocnionym włóknem.

Plik uzupełniający 1: Rozwiązanie analityczne z wykorzystaniem postaci macierzowej. Plik ten zawiera szczegółowe sformułowanie macierzowe, procedurę rozwiązywania wartości własnych, wyprowadzenie równania charakterystycznego oraz pośrednie kroki analityczne wykorzystane do uzyskania rozwiązania ogólnego sprzężonego modelu magnetofototermoelastycznego.Prosimy kliknąć tutaj, aby pobrać ten plik.

Szczegółowe sformułowanie macierzy, procedura wyznaczania wartości własnych oraz wyprowadzenie równania charakterystycznego zostały przedstawione w Pliku uzupełniającym 1.

Warunki brzegowe i wyznaczenie nieznanych stałych

Aby sformułować pełny model analityczny, uzyskane rozwiązania ogólne podstawiono do określonych warunków brzegowych narzuconych na powierzchni x = 0. Podstawienie to doprowadziło do powstania sprzężonego układu algebraicznego zawierającego nieznane stałe amplitudy Diagram równowagi statycznej; ΣFi=0; ilustrujący zrównoważone siły; edukacyjne narzędzie fizyczne. . Każdy wymóg brzegowy związany z temperaturą, gęstością nośników, przemieszczeniem mechanicznym i ograniczeniami naprężeń został wyrażony w postaci dopuszczalnych modów własnych, co pozwoliło uzyskać liniowy zestaw równań wiążących współczynniki Diagram równowagi statycznej; ΣFi=0; ilustrujący zrównoważone siły; edukacyjne narzędzie fizyczne. . Dla przejrzystości wynikający z tego układ algebraiczny zapisano w zwartej formie macierzowej jako BC = D, gdzie B oznacza macierz współczynników zbudowaną z komponentów wektorów własnych obliczonych na powierzchni brzegowej, Reprezentacja macierzowa, równanie; ilustruje wektor C w notacji matematycznej z komponentami C1, C2, C3, C4. reprezentuje wektor nieznanych stałych, a D odpowiada wektorowi utworzonemu z narzuconych warunków brzegowych, w tym parametrowi obciążenia termicznego θ₀, członowi wzbudzenia nośników N₀ oraz określonym warunkom przemieszczenia. Po wyznaczeniu tych stałych podstawiono je ponownie do ogólnych wyrażeń zmiennych pola, aby uzyskać pełne rozwiązania analityczne. Wyrażenia te zostały następnie wykorzystane w obliczeniach numerycznych i wizualizacji graficznej pól termou sprężystych, gęstości nośników i przemieszczeń w obracającym się, zbrojonym włóknami anizotropowym ośrodku półprzewodnikowym. Przyjęte warunki brzegowe reprezentują oświetloną optycznie powierzchnię półprzewodnika poddaną jednoczesnemu wzbudzeniu termicznemu i nośnikowemu. Określony warunek temperatury modeluje obciążenie termiczne generowane przez padające pole optyczne, podczas gdy warunek gęstości nośników uwzględnia nadmiarowe nośniki generowane fotonowo pod wpływem oświetlenia optycznego. Ponadto ograniczenie przemieszczenia poprzecznego reprezentuje mechaniczne ograniczenie powierzchni w kierunku -, natomiast warunek znikania naprężeń ścinających odpowiada granicy wolnej od naprężeń stycznych. W rezultacie wybrane mieszane warunki brzegowe termiczne, elektroniczne i mechaniczne zapewniają fizycznie spójną reprezentację sprzężonych oddziaływań fototermou sprężystych na powierzchni półprzewodnika i dostarczają niezbędnych ograniczeń wymaganych do wyznaczenia nieznanych stałych rozwiązania. Narzucone warunki brzegowe przedstawiają się następująco:

Ograniczenie temperatury:

Równanie termodynamiczne, T*(0,y,t)=θ₀e^(ωt+iy), symbolizujące zmienność temperatury. . (78)

Stan ten reprezentuje harmonicznie zmienną temperaturę powierzchni indukowaną okresowym ogrzewaniem optycznym. Stanowi on główne wzbudzenie termiczne napędzające sprzężone procesy termoplastyczne i transport nośników wewnątrz ośrodka. Amplituda θ₀ charakteryzuje intensywność przyłożonego obciążenia termicznego.

Ograniczenie gęstości nośników:

Ewolucja stanu kwantowego, równanie N*(0,y,t)=N0e^(ωt+iay), analiza złożonej dynamiki fal. . (79)

Ten warunek brzegowy opisuje gęstość nośników generowanych fotonicznie w wyniku naświetlania optycznego. Odzwierciedla on wzbudzenie elektronowe spowodowane absorpcją fotonów oraz jego modulację harmoniczną zgodną z padającym polem optycznym.

Ograniczenie przemieszczenia:

$Równanie warunku brzegowego prędkości $v^*(0,y,t) = 0$ w analizie dynamiki płynów.$ . (80)

Ten warunek wskazuje, że granica jest mechanicznie ograniczona w kierunku poprzecznym. W związku z tym na powierzchni nie występuje przemieszczenie w kierunku -.

Ograniczenie naprężenia ścinającego:

Równowaga statyczna, σxy(0,y,t)=0, równanie, formuła analizy naprężeń w badaniu mechaniki materiałów. . (81)

Warunek ten odpowiada granicy wolnej od naprężeń w odniesieniu do naprężeń ścinających. Zapewnia on, że na powierzchnię nie działają żadne siły styczne, co jest zgodne z mechanicznie wolną granicą w kierunku stycznym. Oprócz warunków brzegowych przy x = 0, nałożono wymóg fizyczny w nieskończoności w postaci: Równanie zmiennych T*, N*, u*, v* dążących do zera, gdy x dąży do nieskończoności. , co zapewnia ograniczone rozwiązania fizyczne w obrębie półnieskończonej dziedziny. Aby zapewnić przejrzysty przegląd procedury analitycznej i obliczeniowej przyjętej w niniejszym badaniu, główne etapy metodologii rozwiązania podsumowano na Rysunku 2.

$Schemat rozwiązywania równań różniczkowych, przedstawiający kroki algebry liniowej, wartości własne, rozwiązywanie $C_i$.$
Rysunek 2: Schemat blokowy procedury rozwiązania analitycznego przyjętej w niniejszym badaniu, obejmujący sformułowanie równań rządzących, analizę modów normalnych, wyznaczenie wartości własnych, zastosowanie warunków brzegowych oraz ocenę zmiennych pól fizycznych. Diagram podsumowuje główne kroki obliczeniowe służące do uzyskania rozwiązania analitycznego i późniejszej numerycznej oceny sprzężonej odpowiedzi magneto-foto-termoelastycznej. Kliknij tutaj, aby wyświetlić powiększoną wersję tego rysunku.

Dostęp ograniczony. Zaloguj się lub rozpocznij wersję próbną, aby wyświetlić tę treść.

Wyniki

Aby uzyskać wyniki numeryczne przedstawione w niniejszym badaniu, w charakterze reprezentatywnego materiału półprzewodnikowego wybrano krzem (Si) ze względu na jego szerokie zastosowanie w inżynierii półprzewodników i termoelastyczności. Właściwości fizyczne, termiczne, sprężyste, elektromagnetyczne oraz właściwości nośników materiału wykorzystane w obliczeniach zestawiono w tabeli 2. Stałe materiałowe zostały podstawione do bezwymiarowych równań rządzących w celu wygenerowania wyników numerycznych omówi...

Dostęp ograniczony. Zaloguj się lub rozpocznij wersję próbną, aby wyświetlić tę treść.

Dyskusja

Analiza dopuszczalności wartości własnych, stabilności i ograniczoności

Dopuszczalność otrzymanych wartości własnych jest określona przez wymóg fizyczny, zgodnie z którym wszystkie zmienne pola muszą pozostać ograniczone w obszarze półnieskończonym x ≥ 0. Ogólne rozwiązanie własne jest wyrażone za pomocą modów wykładniczych postaci

Dostęp ograniczony. Zaloguj się lub rozpocznij wersję próbną, aby wyświetlić tę treść.

Oświadczenia

Autorzy deklarują, że nie mają żadnych konkurencyjnych interesów.

Podziękowania

Autorzy dziękują Dziekanato Badań i Studiów Podyplomowych na Uniwersytecie King Khalid za finansowanie tej pracy w ramach Programu Dużych Grup Badawczych pod numerem grantu RGP2/230/47.

Dostęp ograniczony. Zaloguj się lub rozpocznij wersję próbną, aby wyświetlić tę treść.

Materiały

Lista materiałów użytych w tym artykule
Nazwa	Firma	Numer katalogowy	Komentarze
Oprogramowanie komputerowe (analiza symboliczna i numeryczna)	Wolfram Research	Zastosowano Wolfram Mathematica (wersja 12.0)	Wykorzystano do obliczeń wartości własnych, implementacji analitycznego rozwiązania i oceny numerycznej
Zestaw danych parametrów materiałowych (właściwości półprzewodników krzemu)	Różne źródła literackie	N/A	Stałe fizyczne (elastyczne, termiczne, związane z nośnikami) używane w obliczeniach (Tabela 1)
Komputer osobisty/stanowisko robocze	HP	N/A	Obliczenia przeprowadzano na standardowym komputerze osobistym z systemem operacyjnym Windows i wystarczającą pamięcią do symulacji numerycznych
Edytor równań	Microsoft Word i MathType	N/A	Wykorzystywano do formatowania i prezentacji wyrażeń matematycznych w manuskrypcie
Oprogramowanie do zarządzania odniesieniami	Elsevier	N/A	Wykorzystano do zarządzania odniesieniami i formatowania cytowań (stylu Vancouver)

Bibliografia

Saeed T, Ali Khan M, Alzahrani ARR, Jahangir A. Rayleigh wave through half space semiconductor solid with temperature dependent properties. Phys Scr. 2024;99(2):025208. doi:10.1088/1402-4896/ad17fe
Abbas I, Hobiny A, Marin M. Photo-thermal interactions in a semi-conductor material with cylindrical cavities and variable thermal conductivity. J Taibah Univ Sci. 2020;14(1):1369–1376.
Ullah I, et al. Study on Impact of Variable Thermal Conductivity or Laser Pulse on Reflected Elastic Waves in a Semiconductor Medium. Acoust Phys. 2024;70(2):278–287.
Yadav AK. Reflection of magneto-photothermal plasma waves in a diffusion semiconductor in two-temperature with multi-phase-lag thermoelasticity. Mech Based Des Struct Mach. 2022;50(12):4117–4138.
Lute P, Khalsa L, Abouelregal A, Varghese V. Advanced thermoelastic modeling of photothermal-induced heat generation in nonsimple circular semiconductor plates. Mech Based Des Struct Mach. Published online 2025. doi:10.1080/15397734.2025.2524768
Lute P, Khalsa L, Chandel N, Varghese V. Photothermoelastic behavior of fractal semiconductor media in noninteger-dimensional space via memory and nonlocal effects. Acta Mech. 2025;236(7):4007–4024.
Alaofi ZM, El-Dali A. A multiphysics model for photo thermo hygroelastic responses in semiconductors with 2D heatmap representation. Int Commun Heat Mass Transf. 2026;175:110976. doi:10.1016/j.icheatmasstransfer.2026.110976
Li C, Zhou J. Photo-thermoelastic model based on mixed nonlocal dual-phase-lag heat conduction law and transient impact response for 1D semiconducting plate. Acta Mech. Published online April 2, 2026:1–19.
Nazir R, Kumar V. Photo-thermo-elastic interactions in micropolar generalized thermoelasticity theory in the framework of Green-Naghdi theory. J Therm Stress. 2024;47(4):537–552.
Zenkour AM. On Generalized Three-Phase-Lag Models in Photo-Thermoelasticity. Int J Appl Mech. 2022;14(2). doi:10.1142/S1758825122500053
Gupta S, Dutta R, Das S. Photothermal excitation of an initially stressed nonlocal semiconducting double porous thermoelastic material under fractional order triple-phase-lag theory. Int J Numer Methods Heat Fluid Flow. 2022;32(12):3697–3725.
Khan MA, Moussa S Ben, Jahangir A, Riaz U. Microstructure-driven wave energy control in temperature-dependent fiber-reinforced composites: A unified micropolar thermoelastic model and data-driven design. Results Eng. 2026;29:108811. doi:10.1016/j.rineng.2025.108811
Pitarresi G, Found MS, Patterson EA. An investigation of the influence of macroscopic heterogeneity on the thermoelastic response of fibre reinforced plastics. Compos Sci Technol. 2005;65(2):269–280.
Escalante-Solís MA, Valadez-González A, Herrera-Franco PJ. A note on the effect of the fiber curvature on the micromechanical behavior of natural fiber reinforced thermoplastic composites. Express Polym Lett. 2015;9(12):1119–1132.
Abo-Dahab SM, Jahangir A, Aamir M, Althobaiti S. Load Influence on Waves Reflection Through the Surface Fibre-Reinforced Thermoelastic Media. Mech Solids. 2025;60(5):3671–3685.
Purkait P, Kanoria M. Memory Response of Refined GN Models on a Rotating Fiber-Reinforced Magneto-Thermoelastic Medium Due to Pulsed Laser and Inclined Load. Int J Comput Methods. 2024;21(9). doi:10.1142/S0219876224500270
Akai A, Sato Y, Hamada Y, Mikuni A. Fatigue Damage Evaluation of Discontinuous Carbon Fiber-Reinforced Polymer Composites Using Thermoelastic Temperature Variations. Exp Tech. 2025;49(4):609–621.
Quinlan A, Dulieu-Barton JM, Castro O. Effect of backing fibers on the thermoelastic stress analysis of multi-directional glass/epoxy laminates during fatigue loading. IOP Conf Ser Mater Sci Eng. 2020;942:012040. doi:10.1088/1757-899X/942/1/012040
Yadav AK. Reflection of plane waves from the free surface of a rotating orthotropic magneto-thermoelastic solid half-space with diffusion. J Therm Stress. 2020;44(1):86–106.
Selvamani R, et al. Fractional nonlocal couple stress waves in magnetoelastic nanobeam using homotopy perturbation technique. Acta Mech. 2025;236(9):5477–5494.
Abouelregal AE, et al. Modeling transient responses in magnetized porous structures: a coupled laser-thermomagnetic stimulation study with memory-dependent effects. Arch Appl Mech. 2026;96(4):76. doi:10.1007/S00419-026-03055-Y
Chandel N, Varghese V, Deotale N, Kotewar M. Spatio-temporal nonlocal magneto-thermoelastic framework via memory-dependent Gurtin–Pipkin–Moore–Gibson–Thompson heat conduction. Mech Adv Mater Struct. 2026;33(1). doi:10.1080/15376494.2026.2650116
Abouelregal AE. Modified Fractional Photo-Thermoelastic Model for a Rotating Semiconductor Half-Space Subjected to a Magnetic Field. Silicon. 2020;12(12):2837–2850.
Sur A. Magneto-photo-thermoelastic interaction in a slim strip characterized by hereditary features with two relaxation times. Mech Time-Dependent Mater. 2023;28(3):1465–1490.
Saidi A, Abouelregal AE, Yahya A, Zakria A. Magneto-Photo-Thermoelastic Disturbances in a Generalized Rotating Semiconductor Medium with Variable Thermal Properties. Iran J Sci Technol Trans Mech Eng. Published online 2026. doi:10.1007/s40997-026-00958-7
Rashid MM, Abd-Alla AM, Abo-Dahab SM, Alharbi FM. Study of internal heat source, rotation, magnetic field, and initial stress influence on p-waves propagation in a photothermal semiconducting medium. Sci Rep. 2024;14(1):14615. doi:10.1038/s41598-024-63568-w
Abouelregal AE, Alsaeed SS, Marin M. Advanced fractional photo-thermo-viscoelastic model for rotating semiconductor cylindrical structures under thermal and optical loads. Mech Based Des Struct Mach. Published online 2025. doi:10.1080/15397734.2025.2570391
Abouelregal AE, Ahmad H, Elagan SK, Alshehri NA. Modified Moore-Gibson-Thompson photo-thermoelastic model for a rotating semiconductor half-space subjected to a magnetic field. Int J Mod Phys C. 2021;32(12):2837–2850.
Zenkour AM, El-Shahrany HD, El-Mekawy HF. Magneto-photo-thermoelastic influences on a semiconductor hollow cylinder via a series-one-relaxation model. Commun Nonlinear Sci Numer Simul. 2024;139:108295. doi:10.1016/j.cnsns.2024.108295
Khan MA, et al. Global Sensitivity Analysis of Wave Behavior in Rotating Solids with Laser-Induced Thermal and Stress Effects. Mech Solids. 2025;60(4):3181–3204.
Yadav AK. Magnetothermoelastic Waves in a Rotating Orthotropic Medium with Diffusion. J Eng Phys Thermophys. 2021;94(6):1628–1637.
Abouelregal AE, Alsaeed SS, Uzun Yaylacı E, Yaylacı M. Fractional DPL Thermoelasticity With Rabotnov Kernel in a Rotating Stressed Medium With Spherical Cavity. Math Methods Appl Sci. 2025;48(18):16375–16390.
Khan MA, Jahangir A, Riaz U, Yaylacı M. Rayleigh wave propagation in a rotating porous thermoelastic half-space with nonlocal fractional three phase lag heat conduction under surface thermal loading. Results Eng. 2026;30:110378. doi:10.1016/j.rineng.2026.110378
Abo-Dahab SM, Jaradat EK, Gafel HS, Elidy ES. Rotational Influence on Wave Propagation in Semiconductor Nanostructure Thermoelastic Solid with Ramp-Type Heat Source and Two-Temperature Theory. Axioms. 2025;14(8):560. doi:10.3390/axioms14080560
Alaofi ZM, ElShershaby AA, Yusuf M, El-Dali A. Spatiotemporal Analysis of Coupled Thermo–Photoelastic Fields in Anisotropic Fiber-Reinforced Silicon Using an Eigenvalue Method. J Vis Exp. 2026;(231). doi:10.3791/71625

Dostęp ograniczony. Zaloguj się lub rozpocznij wersję próbną, aby wyświetlić tę treść.

Przedruki i uprawnienia

Tagi

In ynieria Wydanie 234 Wydanie 234 Warto pusta Wydanie Fototermiczne oddzia ywania p przewodnikowe Obracaj ce si anizotropowe o rodki magnetotermoelastyczne P przestrze p przewodnikowa wzmocniona w knami Dynamika transportu plazmy i no nik w Fale termoelastyczne z efektami rotacyjnymi Zjawiska wzbudzenia optycznego Obliczeniowa metoda warto ci w asnych