1.4: Kinematyka i ruch pocisku

1. Ruch w 1 wymiarze.

1. Zdobądź piłkę, wyrzutnię z tłokiem, dwie tyczki, wiadro, dwa zaciski, linkę bungee i kij o długości 2 m.
2. Przymocuj wyrzutnię do słupa, nad którym znajduje się słup o długości 2 m.
3. Użyj tłoka, aby umieścić kulę w wyrzutni przy maksymalnym napięciu sprężyny.
4. Ustaw wyrzutnię bezpośrednio w górę, aby θ = 0.
5. Wystrzel piłkę i użyj stopera, aby zmierzyć całkowity czas t, w którym piłka osiąga maksymalną wysokość. Pozycja początkowa to miejsce, w którym piłka wychodzi z wyrzutni.
6. Zwróć uwagę, że piłka osiąga maksymalną wysokość 2 metrów i zatrzymuje się natychmiast, gdy osiągnie tę wysokość.
7. Powtórz kroki 1,5-1,6 pięć razy i użyj średniego czasu do obliczeń.

2. Ruch w 2 wymiarach.

1. Ustaw wyrzutnię i drugi słup w odległości 4 m od siebie, na tej samej wysokości poziomej. Przymocuj wiadro do drugiego drążka za pomocą zacisku i linki bungee (Rysunek 2). Wysokość wiadra powinna być taka sama jak wysokość, na której kula wychodzi z wyrzutni.
2. Użyj tłoka, aby umieścić kulę w wyrzutni przy maksymalnym napięciu sprężyny.
3. Ustaw wyrzutnię pod kątem 45°, aby θ = π/4.
4. Użyj stopera, aby zmierzyć całkowity czas t, w którym piłka ląduje w wiadrze.
5. Zwróć uwagę na przybliżoną wysokość, na jaką osiąga piłka.
6. Powtórz kroki 2.4-2.5 pięć razy i użyj średniego czasu do obliczeń.

Rysunek 2. Konfiguracja eksperymentalna.

Kinematyka to opis ruchu, który często jest ważną konsekwencją wielu zdarzeń i zjawisk fizycznych.

Ruch może być jednowymiarowy, dwuwymiarowy lub trójwymiarowy. Równania, które mają zastosowanie do ruchu obiektu we wszystkich tych przypadkach, wykorzystują wielkości wektorowe położenia - czyli przemieszczenia względem początku, prędkości - czyli zmiany położenia w czasie i przyspieszenia - czyli zmiany prędkości w czasie.

Dzięki tym informacjom możliwe jest obliczenie torów swobodnie spadających ciał, trajektorii pocisków i orbit planet, by podać tylko kilka przykładów.

Tutaj skupimy się na równaniach kinematycznych związanych z jednowymiarowym wznoszeniem i opadaniem obiektu oraz dwuwymiarowym łukiem obiektu wystrzelonego pod kątem

Przed opisaniem ruchu konieczne jest posiadanie układu współrzędnych, czyli układu odniesienia. Zazwyczaj oś x jest pozioma, a oś y jest pionowa. Początek układu współrzędnych jest dowolny, ale często stanowi punkt początkowy obiektu.

Weźmy pod uwagę piłkę do koszykówki umieszczoną na początku i rzuconą prosto do góry. Pozycja piłki to jej odległość i kierunek od początku układu współrzędnych i wyrażona jest w metrach.

Prędkość średnia vy to zmiana położenia ?y podzielona przez zmianę w czasie ?t i ma jednostki metrów na sekundę. Jednak gdy ?t zbliża się do zera, równanie średniej prędkości staje się równaniem prędkości chwilowej .

Praktycznie rzecz biorąc, pomyśl o prędkości chwilowej jako o prędkości w tej chwili. Tak więc na początku prędkość chwilowa v0 jest prędkością startową, a następnie prędkość chwilowa maleje w sposób ciągły, aż osiągnie zero w szczycie.

Spadek prędkości spowodowany stałym przyspieszeniem zapewnianym przez grawitację Ziemi, która przeciwstawia się ruchowi piłki i jest ujemna w tym układzie współrzędnych.

W takich warunkach stałego przyspieszenia zależności kinematyczne prowadzą do tych równań dla wielkości chwilowej prędkości i położenia w jednym wymiarze. Korzystając z nich, możemy obliczyć ruch obiektu w dowolnym momencie

Zastosujmy te wzory do przykładu koszykówki. Załóżmy, że prędkość startu piłki do koszykówki, v0, wynosi 20 metrów na sekundę. Wiemy, że końcowa chwilowa prędkość piłki w momencie szczytu wynosi zero. Przyspieszenie jest tutaj ujemne g, ponieważ przeciwstawia się ruchowi piłki. Tak więc, przestawiając to równanie kinematyczne, możemy otrzymać t -- czas narastania, który wynosi około dwóch sekund. Teraz, używając wzoru kinematycznego na pozycję i mówiąc, że pozycja początkowa y0 wynosi zero, możemy podłączyć wartości przyspieszenia prędkości startu spowodowanego grawitacją i czasem wznoszenia, aby obliczyć maksymalne przemieszczenie, które jest tutaj wysokością szczytu, wynoszącą około 20,4 metra. Po osiągnięciu szczytu piłka spada przez dwie sekundy ze zwiększającą się prędkością, aż uderzy w ziemię w miejscu, w którym się zaczęła, co daje całkowity czas lotu wynoszący około 4 sekundy.

W przypadku dwóch wymiarów ruchy pionowe i poziome obiektu są od siebie niezależne i mogą być traktowane oddzielnie, a wynikiem netto jest suma wektorów. Korzystając z tego wglądu, cały łuk ruchu pocisku może zostać rozłożony na dwa oddzielne, jednowymiarowe ruchy.

Przeanalizujmy to na przykładzie: miotacz rzuca piłką baseballową z początkową prędkością 20 metrów na sekundę pod kątem trzydziestu stopni od ziemi. Początkową składową pionową prędkości jest ta prędkość pomnożona przez sinus 30 stopni, czyli 10 metrów na sekundę. Początkowa składowa pozioma to prędkość pomnożona przez cosinus 30 stopni, czyli około 17 metrów na sekundę.

W czasie wznoszenia piłki baseballowej prędkość pionowa jest w górę, a prędkość maleje z powodu grawitacji. W szczycie, który jest punktem środkowym, prędkość pionowa wynosi przez chwilę zero. Następnie w okresie upadku jest w dół ze zwiększającą się prędkością.

Ignorując opór powietrza, ruch poziomy nie ma przyspieszenia, a zatem ma stałą prędkość.

Dodawanie wektorów pozycji pionowych i poziomych oraz prędkości pionowych i poziomych tworzy łuk ruchu pocisku. Suma czasów wznoszenia i opadania to całkowity czas lotu, który określa zasięg, czyli odległość poziomą.

Teraz, gdy już wiemy, jak obliczać ścieżki poruszających się obiektów, przetestujemy równania kinematyczne na piłce rzuconej prosto w górę i rzuconej pod kątem.

Eksperymenty te wykorzystują piłkę, wyrzutnię z tłokiem, dwie tyczki, wiadro, dwa zaciski, oraz dwumetrowy kij i stoper. Należy pamiętać, że prędkość wylotowa wyrzutni wynosi 6,3 metra na sekundę. W pierwszym eksperymencie, który demonstruje jednowymiarowy ruch pocisku, przymocuj wyrzutnię do słupa i umieść nad nim dwumetrowy drążek.

Ustaw wyrzutnię tak, aby była skierowana bezpośrednio do góry pod kątem zero stopni od pionu. Odpowiada to kątowi startu wynoszącemu 90 stopni od poziomu. Zwróć uwagę na pionowe położenie końcówki wyrzutni, z którego wyjdzie piłka, i oznacz ją jako y0. Użyj tłoka, aby umieścić kulę w wyrzutni przy maksymalnym napięciu sprężyny.

Wystrzel piłkę i uruchom stoper w tym samym momencie. Zmierz całkowity czas, w którym piłka powróci do punktu początkowego w pozycji pionowej y0 i zapisz wynik jako czas lotu. Zauważ, że piłka osiąga maksymalną wysokość około 2 metrów i w tym momencie zatrzymuje się na chwilę.

Powtórz tę procedurę pięć razy i użyj średniego całkowitego czasu do późniejszych obliczeń.

Ten drugi eksperyment demonstruje dwuwymiarowy ruch pocisku. Ustaw wyrzutnię tak jak w pierwszym eksperymencie i umieść drugi słup cztery metry dalej na tej samej wysokości. Przymocuj wiadro do tego drugiego drążka za pomocą zacisku i wyreguluj wiadro tak, aby znajdowało się na tej samej wysokości co końcówka wyrzutni.

Przymocuj 2-metrowy drążek w środku konfiguracji i ustaw go tak, aby znajdował się co najmniej jeden metr nad wysokością wyrzutni, czyli y0. Dostosuj wyrzutnię tak, aby znajdowała się pod kątem 45 stopni od pionu, co odpowiada kątowi startu 45 stopni od poziomu. Użyj tłoka, aby umieścić kulę w wyrzutni przy maksymalnym napięciu sprężyny.

Teraz wystrzel piłkę i uruchom stoper w tym samym momencie. Zmierz całkowity czas lotu, w którym piłka ląduje w wiadrze. Zanotuj i zapisz maksymalną wysokość, na jaką osiąga piłka. Powtórz ten eksperyment pięć razy i użyj średniego całkowitego czasu do późniejszych obliczeń.

W eksperymencie demonstrującym ruch w jednym wymiarze, prędkość początkowa piłki wychodzącej z mechanizmu startowego wynosiła 6,3 metra na sekundę. Przypomnij sobie, że kiedy piłka jest rzucona prosto w górę, jej prędkość wynosi 0 w szczytowym momencie. Dzięki tym informacjom i wzorowi kinematyki na prędkość możemy obliczyć teoretyczny czas narastania piłki na 0,64 sekundy. Pomnożenie tego przez 2 daje nam obliczony czas lotu. Następnie, korzystając ze wzoru na pozycję, możemy obliczyć wysokość szczytu na 2,02 metra.

Wyniki teoretyczne i zmierzone są porównywalne, w granicach błędu doświadczalnego, walidując równania kinematyczne dla ruchu jednowymiarowego

W eksperymencie demonstrującym ruch w dwóch wymiarach piłka została wystrzelona z prędkością 6,3 metra/sekundę pod kątem 45 stopni. Aby obliczyć ruch pocisku, należy najpierw określić składową x prędkości początkowej - v?cos?- i składową y prędkości początkowej - v?sin?. Następnie użyj początkowej prędkości pionowej i przyspieszenia, aby określić czas osiągnięcia wysokości szczytu, który wynosi 0,45 sekundy. W związku z tym całkowity czas lotu jest dwukrotnie większy niż ta wartość, czyli 0,9 sekundy.

Aby obliczyć maksymalne przemieszczenie pionowe, użyj początkowej prędkości pionowej, przyspieszenia ziemskiego i czasu narastania. Daje nam to teoretyczne maksymalne przemieszczenie y wynoszące 1 metr. Aby obliczyć maksymalne przemieszczenie poziome, należy użyć początkowej prędkości poziomej i całkowitego czasu lotu, co daje teoretyczne maksymalne x przemieszczenie wynoszące 4 metry.

Ponownie, teoria dobrze zgadza się z eksperymentem, potwierdzając równania kinematyki dla ruchu dwuwymiarowego.

Wykorzystanie kinematyki i zrozumienie ruchu pocisków są ważne, a często niewidoczne w wielu codziennych zastosowaniach.

Inżynierowie samochodowi często używają kinematyki do obliczania różnych specyfikacji samochodów.

Jednym z nich jest droga hamowania lub hamowania, która jest ważnym parametrem bezpieczeństwa, który można obliczyć za pomocą jednowymiarowych równań kinematycznych

Nie wiedząc o tym, golfista wykonuje obliczenia mentalne za pomocą kinematyki przy każdym zamachu kijem. Mając nadzieję na hole-in-one, golfista zamachuje się, uderza piłkę i wystrzeliwuje ją z określoną prędkością i kątem, aby przelecieć przez pole. Idealna dwuwymiarowa ścieżka piłki golfowej jest zgodna z równaniami rządzącymi ruchem pocisku.

Właśnie obejrzeliście wprowadzenie JoVE do kinematyki i ruchu pocisków. Powinieneś teraz wiedzieć, jak używać równań kinematycznych do obliczania trajektorii obiektu poruszającego się w jednym lub dwóch wymiarach. Jak zawsze, dziękujemy za oglądanie!