Name: checking stability with the routh table
Uploaded: 2024-11-21T14:54:10.000Z
Duration: 1 min 15 s
Channel: JoVE

Considere uma rede de energia elétrica, onde a estabilidade é crucial para evitar apagões. Usando o critério de Routh-Hurwitz, a estabilidade do sistema sob diferentes condições de carga ou falhas pode ser avaliada.
Considere uma função de transferência de circuito fechado. Para criar uma tabela de Roteh, as linhas são rotuladas com potências de s da mais alta.
A primeira linha é preenchida horizontalmente com todos os outros coeficientes do denominador, começando com a maior potência. A segunda linha segue a próxima potência mais alta e lista os coeficientes ignorados.
As entradas subsequentes são calculadas por meio de determinantes negativos das linhas anteriores, divididos pela entrada diretamente acima da primeira coluna.
Para um sistema, as linhas da tabela de roteamento são calculadas. A constante positiva escala linhas independentemente.
O critério de Routh-Hurwitz afirma que o número de raízes do polinômio no semiplano direito é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh, indicando um sistema instável.
Um sistema é estável se todos os pólos estiverem na metade esquerda do plano s, o que equivale a nenhuma mudança de sinal na primeira coluna da tabela de Routh.

critério i de routh-hurwitz

Considere uma rede elétrica, onde a estabilidade é essencial para evitar apagões. O critério de Routh-Hurwitz é uma ferramenta valiosa para avaliar a estabilidade do sistema sob condições de carga variáveis ​​ou falhas. Ao analisar a função de transferência de malha fechada, o critério de Routh-Hurwitz ajuda a determinar se o sistema permanece estável.

Para aplicar o critério de Routh-Hurwitz, uma tabela de Routh é construída. As linhas da tabela são rotuladas com potências da variável de frequência complexa s, começando pela potência mais alta. A variável s representa um número complexo, normalmente na forma

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16116/16116_PT%20Equation_1.svg" style="height: 14px;">

onde σ é a parte real e jω é a parte imaginária. A primeira linha é preenchida horizontalmente com todos os outros coeficientes do polinômio denominador, começando pela potência mais alta. A segunda linha é então preenchida com os coeficientes ignorados da primeira linha.

As entradas subsequentes na tabela Routh são calculadas usando os determinantes das linhas anteriores. Especificamente, cada entrada é determinada pegando o determinante negativo das duas entradas acima dela e dividindo-o pela primeira entrada na coluna diretamente acima dela. Esse processo continua até que a tabela inteira seja preenchida.

Para ilustrar, considere um sistema para o qual as linhas da tabela Routh são computadas. Se necessário, cada linha é dimensionada independentemente por uma constante positiva para simplificar os cálculos. De acordo com o critério de Routh-Hurwitz, o número de raízes do polinômio no plano s da metade direita corresponde ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela Routh. Essas mudanças de sinal indicam instabilidade.

Por outro lado, um sistema é estável se todos os polos estiverem no plano s da metade esquerda, o que significa que não há mudanças de sinal na primeira coluna da tabela Routh. Garantir que nenhuma mudança de sinal ocorra confirma que o sistema permanecerá estável sob várias condições operacionais.

Entender e aplicar o critério de Routh-Hurwitz é crucial para manter a estabilidade de sistemas complexos, como redes de energia elétrica. Ao verificar se todos os polos estão localizados no plano s da metade esquerda, os engenheiros podem garantir que o sistema operará de forma confiável, prevenindo problemas como apagões e garantindo um fornecimento contínuo de energia. Este método fornece uma abordagem sistemática para análise de estabilidade, identificando e mitigando instabilidade potencial no sistema.

Critério I de Routh-Hurwitz

Considere uma rede de energia elétrica, onde a estabilidade é crucial para evitar apagões. Usando o critério de Routh-Hurwitz, a estabilidade do sistema sob ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Engenharia Elétrica

Unit 1

Unidade 1

Transient and Steady-state Response Analysis

Análise de Resposta Transitória e em Regime Permanente

transient-and-steady-state-response-analysis

KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMOS E CONCEITOS-CHAVE

Routh-Hurwitz Criterion I

checking stability with the routh table

Checking stability with the Routh table is a useful part of analyzing a closed-loop transfer function. It helps determine whether a system will remain stable when load conditions change or when a fault occurs. In a power grid, this kind of check is important because instability can lead to blackouts.

The Routh-Hurwitz criterion uses a table built from the denominator polynomial of the transfer function. The rows of the Routh table are labeled by powers of the complex variable s, starting with the highest power. Here, s is a complex number with a real part, σ, and an imaginary part, jω.

The first row is filled with every other coefficient from the denominator polynomial. It starts with the coefficient from the highest power term. The second row then uses the coefficients that were skipped in the first row.

The remaining entries are found from the rows above them. Each new value is calculated from the negative determinant of the two entries above it, divided by the first entry in the column directly above. If needed, each row can be scaled by a positive constant to make the calculations simpler.

Once the table is complete, the first column gives the stability result. The number of sign changes in that column matches the number of roots in the right-half s-plane. Sign changes show instability. If there are no sign changes, then all poles are in the left-half s-plane and the system is stable. This makes the Routh-Hurwitz criterion a systematic way to test whether a system can operate reliably under different conditions.

Checking Stability with the Routh Table

transient and steady-state response

Control System Test Signals and Stability

Control system test signals help measure how a system reacts to change, stability, and accuracy. A ramp function is useful when a system changes gradually. A step function is used when a system faces a sudden disturbance. An impulse function is the best test signal for a shock input. These signals are used to study two main performance features: transient response and steady-state response. Transient response is the short-term change from the initial state to the final state. It shows how fast...

first order systems

RC System Responses to Step Inputs

RC circuits and other first-order systems show how a simple input can shape system response over time. These systems are often studied through their transfer function, which links the input and output under zero initial conditions. That relationship makes it easier to analyze how the system behaves when the input changes. A unit-step input gives a response that starts at zero and rises toward one. The Laplace transform of the step input is applied to the transfer function, then the result is...

second order systems i

Servo System Response in Second-Order Models

A servo system is a second-order model that links an input position to an output position. It uses a proportional controller and load elements to keep the output aligned with the input. This behavior can be written as a second-order differential equation. When the equation is transformed with the Laplace transform under zero initial conditions, it becomes a transfer function. The transfer function shows how the input is converted into the output. It can also be rewritten as a closed-loop...

second order systems ii

Step Response of Second-Order Systems

Second-order systems react to a unit-step input in different ways depending on the damping ratio. When the damping ratio, zeta, is between 0 and 1, the system is underdamped. In this case, inverse Laplace methods give an output that oscillates with a decreasing amplitude. The error signal, which is the difference between the input and output, also shows damped oscillations before it goes to zero at steady state. When zeta equals 0, the system is undamped. The response keeps oscillating forever...

stability

System Response and Stability

System response and stability describe how a linear time-invariant (LTI) system reacts to a change in input. The time response has two parts: transient response and steady-state response. The transient response is the first reaction and it fades to zero over time. The steady-state response remains after the transient effects have disappeared. An LTI system is stable when it gives a bounded output for a bounded input. For these systems, stability depends on the roots of the characteristic...

routh-hurwitz criterion i

Checking stability with the Routh table is a useful part of analyzing a closed-loop transfer function. It helps determine whether a system will remain stable when load conditions change or when a fault occurs. In a power grid, this kind of check is important because instability can lead to blackouts. The Routh-Hurwitz criterion uses a table built from the denominator polynomial of the transfer function. The rows of the Routh table are labeled by powers of the complex variable s, starting with...

routh-hurwitz criterion ii

Routh Table Special Cases

Routh table special cases can make stability analysis harder when using the Routh-Hurwitz criterion. Two situations need extra care. One is a zero in the first column. The other is an entire row of zeros. When a single zero appears in the first column, division by zero would occur. The usual fix is to replace that zero with a very small number, epsilon (ε). The stability test then continues by assuming a sign for ε. If ε is positive, any sign change in the first column means the system is...

key terms and concepts

Learn how the Routh-Hurwitz criterion uses a Routh table to test system stability by tracking sign changes and pole locations in the s-plane.

Checking Stability with the Routh Table | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Checking Stability with the Routh Table

Description

Transcript

Tags