Name: modeling voltage and current on transmission lines
Uploaded: 2024-11-21T14:54:26.000Z
Duration: 1 min 26 s
Channel: JoVE

Considere um circuito que representa uma seção de linha.
A tensão e a corrente são medidas a partir da extremidade receptora, com impedância em série definida e admitância de derivação por unidade de comprimento.
Usando as leis de Kirchhoff e tomando limites delta x se aproxima de zero, duas equações diferenciais lineares são derivadas. Diferenciar a tensão e substituí-la na equação atual produz uma equação homogênea de segunda ordem.
A solução envolve duas constantes de integração e uma constante de propagação. Substituindo isso na equação de tensão e reorganizando o denominador, obtém-se a expressão da corrente com a impedância característica.
Após avaliar as constantes de integração das condições de contorno e identificar funções hiperbólicas, os parâmetros ABCD da reta distribuída são obtidos. Eles fornecem a corrente e a tensão em qualquer ponto em relação aos valores finais de recebimento.
Os parâmetros ABCD também são avaliados na extremidade de envio. A constante de propagação, uma quantidade complexa, é adimensional quando multiplicada pelo comprimento e auxilia na determinação de funções hiperbólicas.
Esses parâmetros se aplicam a qualquer comprimento de linha. A aproximação pode ser usada para cálculos manuais envolvendo linhas de comprimento curto e médio.

equações diferenciais de linha de transmissão

As linhas de transmissão são componentes essenciais dos sistemas de energia elétrica. Elas são caracterizadas pela natureza distribuída de resistência (R), indutância (L) e capacitância (C) por unidade de comprimento. Para analisar essas linhas, equações diferenciais são empregadas para modelar as variações de tensão e corrente ao longo da linha.


 Modelo de Seção de Linha


 Um circuito representando uma seção de linha de comprimento Δ_x ajuda a entender os parâmetros da linha de transmissão. A tensão V(x) e a corrente i(x) são medidas da extremidade receptora. A linha tem uma impedância em série z=R+jωL por unidade de comprimento e uma admitância de derivação y=G+jωC por unidade de comprimento. Aplicando a Lei de Tensão de Kirchhoff (KVL) e a Lei de Corrente de Kirchhoff (KCL) a essa configuração, derive relações para variações de tensão e corrente ao longo da linha.


 À medida que Δ_x se aproxima de zero, essas relações se transformam em equações diferenciais homogêneas, lineares e de primeira ordem

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<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%202.svg" style="height: 30px;">


 Essas equações diferenciais, por sua vez, descrevem como a tensão e a corrente mudam ao longo do comprimento da linha de transmissão.


 A resolução dessas equações diferenciais envolve a determinação da constante de propagação γ, que encapsula os efeitos da impedância em série e da admitância de derivação. As soluções gerais para tensão e corrente ao longo da linha incluem duas constantes de integração avaliadas usando condições de contorno na extremidade receptora.


 A impedância característica Z_c é um parâmetro-chave, refletindo a impedância intrínseca da linha de transmissão. Usando as soluções das equações diferenciais, a tensão e a corrente expressas ao longo da linha em termos de funções hiperbólicas, cosh (cosseno hiperbólico) e sinh (seno hiperbólico), funções matemáticas usadas para modelar a distribuição de tensão e corrente.

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 Parâmetros ABCD


 Os parâmetros ABCD, ou constantes da linha de transmissão, são derivados dessas funções hiperbólicas. Esses parâmetros fornecem uma representação matricial que relaciona a tensão e a corrente em qualquer ponto ao longo da linha aos valores na extremidade receptora. Os parâmetros ABCD são cruciais para entender como os sinais se propagam pela linha de transmissão.

<img alt="Equation5" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%205.svg" style="height: 32px;">

 Constante de Propagação


 A constante de propagação γ é uma quantidade complexa com partes reais e imaginárias representando atenuação e mudança de fase, respectivamente. Quando multiplicada pelo comprimento da linha, essa constante se torna adimensional e é essencial para avaliar as funções hiperbólicas que descrevem a distribuição de tensão e corrente.


 Os parâmetros ABCD precisos são válidos para qualquer comprimento de linha e oferecem uma solução exata para o comportamento da linha de transmissão. Para cálculos manuais práticos envolvendo linhas de comprimento curto e médio, aproximações podem ser usadas. Esses parâmetros analisam de forma abrangente as linhas de transmissão sob várias condições operacionais, garantindo uma transmissão de energia eficiente e confiável.

Equações Diferenciais de Linha de Transmissão

Considere um circuito que representa uma seção de linha.
A tensão e a corrente são medidas a partir da extremidade receptora, com impedância em série definida e ...

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Unit 1

Unidade 1

Steady-State Transmission Lines and Power Flows

Linhas de Transmissão em Regime Permanente e Fluxos de Potência

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KEY TERMS AND CONCEPTS

TERMOS-CHAVE E CONCEITOS

Transmission-Line Differential Equations

modeling voltage and current on transmission lines

Transmission lines carry electric power, and their resistance, inductance, and capacitance are spread out along the line. Because these properties are distributed per unit length, voltage and current change as they move from one end of the line to the other. Differential equations are used to describe that variation.

A line-section model helps show how this works. In the model, a small length, Δx, is used to represent the line. Voltage V(x) and current i(x) are measured from the receiving end. The line also includes a series impedance, z = R + jωL, and a shunt admittance, y = G + jωC, per unit length.

Kirchhoff’s Voltage Law and Kirchhoff’s Current Law are applied to the small line section. As Δx becomes very small, the results turn into linear, first-order, homogeneous differential equations. These equations describe how voltage and current change along the transmission line.

Solving the equations gives the propagation constant, γ. This complex value combines the effects of series impedance and shunt admittance. Its real part shows attenuation, and its imaginary part shows phase shift. The product of γ and the line length is dimensionless and is used in the hyperbolic functions that describe the line behavior.

The general solutions for voltage and current include two integration constants. These constants are found from boundary conditions at the receiving end. The solutions also define the characteristic impedance, Zc, which reflects the intrinsic impedance of the transmission line. Voltage and current can then be written with cosh and sinh functions.

From these hyperbolic expressions, the ABCD parameters, also called transmission line constants, are obtained. They give a matrix form that relates the voltage and current at any point on the line to the values at the receiving end. The exact ABCD parameters work for any line length, while short- and medium-length lines may use approximations for hand calculations.

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines

modeling-voltage-and-current-on-transmission-lines

transmission-line differential equations

Transmission lines carry electric power, and their resistance, inductance, and capacitance are spread out along the line. Because these properties are distributed per unit length, voltage and current change as they move from one end of the line to the other. Differential equations are used to describe that variation. A line-section model helps show how this works. In the model, a small length, Δx, is used to represent the line. Voltage V(x) and current i(x) are measured from the receiving end.

lossless lines

Lossless Lines and Voltage Behavior

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maximum power flow and line loadability

Transmission Line Power Limits and Loadability

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key terms and concepts

See how distributed R, L, and C lead to transmission-line differential equations, propagation constant γ, characteristic impedance Zc, and ABCD parameters.

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

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