7.7: O Comprimento de Onda de de Broglie

No mundo macroscópico, objetos que são suficientemente grandes para serem vistos a olho nu seguem as regras da física clássica. Uma bola de bilhar que se move em uma mesa comporta-se como uma partícula; continuará a viajar em linha reta, a menos que colida com outra bola, ou seja accionada por outra força, como a fricção. A esfera tem uma posição e velocidade bem definidas ou um momentum bem definido, p = mv, que é definido pela massa m e velocidade v em qualquer momento. Este é o comportamento típico de um objeto clássico.

Quando ondas interagem umas com as outras, elas mostram padrões de interferência que não são exibidos por partículas macroscópicas, como a bola de bilhar. No entanto, na década de 1920, tornou-se cada vez mais claro que partes muito pequenas da matéria seguem um conjunto diferente de regras do que grandes objetos. No mundo microscópico, as ondas e as partículas são inseparáveis. 

Uma das primeiras pessoas a prestar atenção ao comportamento especial do mundo microscópico foi Louis de Broglie. Ele questionou que se a radiação eletromagnética pode ter carácter semelhante a partículas, poderão os eletrões e outras partículas submicroscópicas apresentar carácter ondulatório? de Broglie ampliou a dualidade onda-partícula da luz que Einstein usou para resolver o paradoxo do efeito fotoelétrico às partículas materiais. Ele previu que uma partícula com massa m e velocidade v (isto é, com momentum linear p) também deveria apresentar o comportamento de uma onda com um valor de comprimento de onda λ, dado por esta expressão na qual h é a constante de Planck:

Isto é chamado de comprimento de onda de de Broglie. Onde Bohr postulou o eletrão como sendo uma partícula orbitando o núcleo em órbitas quantizadas, de Broglie argumentou que a suposição de Bohr de quantização poderia ser explicada se o eletrão fosse em vez disso considerado uma onda circular estacionária. Apenas um número inteiro de comprimentos de onda poderia caber exatamente dentro da órbita.

Se um eletrão for visto como uma onda que se circunda ao redor do núcleo, um número inteiro de comprimentos de onda deve caber na órbita para que este comportamento de onda estacionário seja possível.

Para uma órbita circular de raio r, a circunferência é 2πr, e a condição de de Broglie é:

onde n = 1, 2, 3, e assim por diante. Pouco depois de de Broglie ter proposto a natureza ondulatória da matéria, dois cientistas da Bell Laboratories, C. J. Davisson e L. H. Germer, demonstraram experimentalmente que os eletrões poderiam apresentar comportamento ondulatório. Isto foi demonstrado com a finalidade de direcionar um feixe de eletrões para um alvo de níquel cristalino. O espaçamento dos átomos dentro do retículo foi aproximadamente o mesmo que os comprimentos de onda de de Broglie dos eletrões que lhe foram dirigidos, e as camadas atómicas regularmente espaçadas do cristal serviram como ‘fendas’, o que é usado em outras experiências de interferência. 

Inicialmente, quando apenas alguns eletrões foram registados, observou-se um comportamento claro semelhante a partículas. À medida que mais eletrões chegaram e foram registados, surgiu um padrão de interferência claro, que é a marca do comportamento ondulatório. Assim, parece que, enquanto que os eletrões são pequenas partículas localizadas, o seu movimento não segue as equações de movimento implícitas pela mecânica clássica. Em vez disso, o seu movimento é governado por uma equação de onda. Assim, a dualidade onda-partícula observada pela primeira vez com fotões é um comportamento fundamental, intrínseco a todas as partículas quânticas.

Este texto é adaptado de Openstax, Chemistry 2e, Section 6.3: Development of Quantum Theory.

Se os elétrons são partículas, então quando um feixe de elétrons passa por duas aberturas bem espaçadas, espera-se que os dois feixes menores de elétrons surjam e produzam duas riscas brilhantes e escuras no meio. Inicialmente, com apenas alguns elétrons, os pontos localizados aparecem aleatoriamente no ecrã. Isto sugere um comportamento parecido com o das partículas.

No entanto, à medida que mais e mais elétrons passam pelas aberturas, um padrão de interferência a marca distintiva do comportamento ondulatório emerge. Como é que isto é possível, recordemos que o modelo Bohr propôs que o elétron é uma partícula que orbita o núcleo. O físico francês Louis de Broglie postulou que o elétron pode exibir propriedades das ondas.

Sugeriu que o elétron se comporta como uma onda circular de pé com um comprimento de onda, lambda. A circunferência de cada órbita contém um número inteiro de comprimentos de onda. Certos pontos da onda têm amplitude zero estes são os nodos.

De Broglie propôs a seguinte relação, na qual o comprimento de onda do elétron depende da sua massa e velocidade, sendo o h a constante de Planck. Quanto maior for a velocidade do elétron, mais curto é o comprimento da sua onda. A hipótese de Broglie estende-se a toda a matéria, e estas ondas são chamadas de ondas de matéria'No entanto, objetos grandes e macroscópicos, tal como uma bola de golfe, não aparecem como ondas.

Se aplicarmos a relação de Broglie, o pequeno valor da constante de Planck dividido pela massa e a velocidade da bola de golfe revela um comprimento de onda extremamente pequeno e que é demasiado pequeno para ser observado. No entanto, para partículas subatómicas com massas extremamente pequenas como os elétrons a sua natureza ondulatória não pode ser ignorada. Quando os raios X passam por um cristal, as ondas são difratadas, e é obtido um padrão de interferência distinta interferência distinta que revela a disposição dos átomos no cristal.

Esta é a técnica laboratorial conhecida como difração de raios X.Se uma experiência semelhante for realizada através da passagem de elétrons pelo cristal em vez dos raios X, é observado um comportamento semelhante. Esta é uma prova experimental de que os elétrons são partículas que demonstram um comportamento ondulatório.