Equação de Poisson e de Laplace

Na notação vetorial, o campo elétrico é expresso como um gradiente negativo de potencial elétrico. Aqui, o gradiente do potencial sempre aponta para a diminuição mais acentuada do potencial, e sua solução fornece um vetor - um campo elétrico.

De acordo com a forma diferencial da lei de Gauss, o gradiente de um campo elétrico é igual à razão entre a densidade de carga do volume fechado e a permissividade do espaço livre.

Substituir o gradiente de potencial na lei de Gauss dá uma expressão para a equação de Poisson. Aqui, a divergência do gradiente do potencial escalar é o operador laplaciano, resultando em uma função escalar.

Laplaciano é análogo à diferenciação de segunda ordem das quantidades escalares. Para o potencial elétrico, é menor quando próximo aos mínimos locais e maior quando próximo aos máximos locais.

Quando a carga de volume incluída é zero, a equação de Poisson se reduz à equação de Laplace.

A equação de Laplace tem uma solução única em um determinado volume se o potencial no limite da superfície for especificado, dado pelo primeiro teorema da unicidade.