31.3: Cálculo da Autoindutância

A autoindutância de um circuito, frequentemente chamada simplesmente de indutância, é um fator puramente geométrico, que depende apenas da estrutura dos componentes do circuito. Mais especificamente, depende da forma e do tamanho do componente que permite a passagem do fluxo, e que assim induz um campo elétrico que se opõe a qualquer corrente que o percorra.

Uma vez que o efeito do campo elétrico induzido e da força eletromotriz contrária gerada depende da taxa de variação da corrente e da autoindutância, é necessário calcular a indutância para geometrias específicas.

A estratégia é começar a partir do campo magnético, integrá-lo sobre a área por onde ele passa para obter o fluxo e, em seguida, somar todos os fluxos independentes para obter o fluxo total. Uma vez que a indutância é definida como a razão do fluxo total e a corrente, sua fórmula é derivada avaliando essa razão.

Para um solenoide ideal, um toroide cilíndrico e um toroide retangular, o campo magnético é derivado assumindo que não há efeitos de borda; assume-se que o campo é uniforme dentro deles. Na prática, essa suposição não é válida. No entanto, se o comprimento total do solenoide ou toroide for muito maior que seu raio e área de seção transversal, a correção introduzida é pequena e negligenciável.

Também se pressupõe que não ocorre vazamento de campo magnético fora da geometria do sistema. Isso também não é estritamente válido, mas é aproximadamente correto se o comprimento total for muito maior que a respectiva área de seção transversal.

A autoindutância de um solenoide, um toroide cilíndrico e um toroide retangular são avaliadas sob essas suposições. Observa-se que, como cada laço/loop tem o mesmo fluxo passando por ele, e os laços diferentes são independentes, cada laço contribui com a mesma quantidade para o fluxo total. Essa observação revela um fator de N2 na fórmula da autoindutância. Os outros fatores dependem das dimensões.

Como resultado, observa-se que, independentemente das dimensões, a autoindutância de uma bobina de fios enrolados pode ser aumentada simplesmente aumentando o número de espiras.

Uma consequência dessa observação é que a autoindutância de um laço de fio regular percorrido por uma corrente é muito menor do que a dos sistemas em forma de bobina. Portanto, a indutância de um fio padrão percorrido por corrente é insignificante em comparação com indutores utilizados como componentes de circuitos.

Dentro de um solenóide cilíndrico ideal com N número de voltas, comprimento l e área da seção transversal A, o campo magnético uniforme é conhecido. O fluxo magnético através de qualquer volta é derivado e o fluxo total é calculado. A definição de auto-indutância então dá sua fórmula.

Quando o solenóide é enrolado em um círculo, ele se torna um toróide de raio r. Então, l é a circunferência, que dá sua indutância.

Se sua seção transversal for um retângulo, é chamado de toróide retangular de altura h.

O campo magnético é o mesmo. O fluxo através de qualquer loop é o fluxo diferencial integrado de seu raio interno ao seu raio externo. Observando que a altura é constante, a integral é avaliada. Assim, o fluxo total é derivado, o que dá sua auto-indutância.

Lembre-se da auto-indutância de um fio condutor de corrente de raio R. Compare-o com a auto-indutância do solenóide.

A razão depende de termos geométricos e do fator N², também para toróides.

Esse fator torna a autoindutância de qualquer sistema enrolado muito maior do que a autoindutância de um fio condutor de corrente, que é negligenciada.