31.13: Circuito RLC como um Oscilador Amortecido

Um circuito RLC combina um resistor, indutor e capacitor, conectados em uma combinação em série ou paralelo.

Considere um circuito RLC em série. Neste caso, a presença de resistência no circuito leva a perda de energia devido ao aquecimento Joule nessa resistência. Portanto, a energia eletromagnética total no circuito não é mais constante e diminui com o tempo. Assim como a magnitude da carga, a corrente e a diferença de potencial diminuem continuamente, e suas oscilações são chamadas de amortecidas. Isso é semelhante a um oscilador massa-mola amortecido, onde a amplitude do deslocamento do oscilador diminui com o tempo.

A equação diferencial para as oscilações amortecidas em um circuito RLC é dada por

Sabe-se que se a razão de R/L for menor que 1/LC, o circuito se torna um oscilador subamortecido. A solução da equação 1 no caso de um circuito RLC subamortecido é dada por

Isso mostra como a carga no capacitor oscila em um circuito RLC subamortecido. Essa solução é o equivalente eletromagnético da solução para um oscilador massa-mola subamortecido, que fornece o deslocamento de um oscilador massa-mola amortecido. Analogamente à diminuição na amplitude do deslocamento no oscilador massa-mola, a carga oscila sinusoidalmente com amplitude decrescente em um circuito RLC subamortecido. A frequência angular das oscilações amortecidas é sempre menor do que a frequência angular das oscilações subamortecidas.

O decaimento da energia em um circuito RLC subamortecido é obtido usando a relação de energia, e é dado por

Assim, a energia do campo elétrico varia de forma senoidal, e a amplitude dessa oscilação diminui exponencialmente com o tempo.

Considere a equação diferencial de um circuito RLC. Em analogia com o oscilador harmônico amortecido, a solução da equação do circuito RLC é dada por uma função exponencial.

Diferenciando a solução duas vezes com o tempo e substituindo o fator de resistência e a frequência de oscilação, obtém-se uma equação quadrática com duas soluções possíveis.

A soma destes dá a solução final para a equação do circuito RLC.

Considere o caso subamortecido, onde o fator de resistência é menor que a frequência de oscilação. Nesse caso, a solução se torna imaginária.

Ao substituir o termo imaginário, obtém-se a solução complexa do circuito RLC subamortecido. Usando a fórmula de Euler, a equação é simplificada.

Para que a equação seja real, A₁ e A₂ devem ser conjugados complexos um do outro, o que simplifica ainda mais a solução.

Expressando os coeficientes em termos de amplitude de carga e substituindo o fator de resistência, obtém-se a solução final para o oscilador RLC subamortecido.

Aqui, ω' e Φ representam a frequência angular e o ângulo de fase do circuito RLC subamortecido, respectivamente.