Convergência da Série de Fourier

A série de Fourier de um sinal é uma soma infinita de exponenciais complexos. A soma infinita é frequentemente truncada para uma soma parcial finita para torná-la prática.

Aumentar os termos em uma soma parcial deve fazer com que a aproximação convirja para o sinal. No entanto, perto de descontinuidades, ocorrem ondulações persistentes, sendo comprimidas em direção à descontinuidade - um fenômeno conhecido como fenômeno de Gibbs.

Gibbs observou essas ondulações e overshoots de alta frequência perto de descontinuidades em aproximações truncadas da série de Fourier.

Para mitigar isso, escolha um grande número de termos para que a energia total da ondulação seja insignificante.

Apesar das ondulações, a energia no erro de aproximação diminui com mais termos, permitindo que a série de Fourier represente sinais descontínuos.

Truncar a série de Fourier para um número desejado de termos fornece a melhor aproximação, minimizando o erro. O erro diminui com mais termos e, eventualmente, torna-se zero se o sinal puder ser representado por uma série de Fourier.

Por exemplo, no processamento de imagens, reduzir o erro é crucial ao aproximar um sinal de imagem usando uma série de Fourier truncada