A Regra do Quociente

Um reservatório de água enche e drena simultaneamente, fazendo com que o nível da água varie devido às taxas desiguais de entrada e saída. O objetivo é descobrir quanto tempo o tanque leva para drenar. Isso é expresso como a razão entre volume de água e taxa de drenagem, que muda ao longo do tempo, pois ambas são funções diferenciáveis do tempo.

À medida que a água entra no reservatório, o volume total aumenta ligeiramente, enquanto a taxa de drenagem também muda devido a ajustes do sistema. Essas pequenas mudanças influenciam o quociente volume para drenagem.

Para encontrar a taxa de variação do quociente, considere a variação do quociente em um pequeno intervalo de tempo e então divida essa mudança por esse intervalo.

Ao introduzir um limite à medida que o intervalo de tempo se aproxima de zero, delta R também tende a zero porque R varia continuamente com o tempo, simplificando o denominador. Usando a definição de derivadas, deriva-se a regra do quociente.

É igual à taxa de drenagem vezes a derivada do volume, menos o volume vezes a derivada da taxa de drenagem, tudo dividido pelo quadrado da taxa de drenagem.

Essa expressão final mostra como a razão entre o volume de água e a taxa de drenagem muda ao longo do tempo. Em geral, essa expressão também relaciona como a razão entre duas funções arbitrárias muda ao longo do tempo.