Derivadas das Funções Trigonométricas

Considere uma roda-gigante girando em velocidade constante. A altura vertical de um ponto em sua borda muda suavemente ao longo do tempo, seguindo uma onda senoidal.

A taxa de mudança de altura do cavaleiro também varia de forma suave e cíclica, como outra onda. Essa taxa variável corresponde à derivada da função seno.

Para encontrar a derivada do seno x, comece pela definição limite de uma derivada e aplique-a ao seno x.

Primeiro, expanda o seno de (x + h) usando a fórmula de adição. Depois, reorganize os termos e fatorize seno x e cosseno x.

À medida que h se aproxima de zero, o cosseno h menos 1 sobre h tende a zero, e o seno h sobre h aproxima-se de 1.

Substituindo esses limites, mostra que a derivada do seno x é o cosseno x.

A mesma abordagem mostra que a derivada do cosseno x é seno negativo x.

Como a função tangente é a razão entre seno e cosseno, para encontrar a derivada, aplique a regra quociente. Agora, substituindo os valores das derivadas das funções seno e cosseno e simplificando usando identidades trigonométricas, obtém-se a derivada da tangente como secante ao quadrado.