Segundas derivadas de funções implícitas

Estruturas elípticas, como arcos em pontes, são frequentemente representadas por equações implícitas, já que a altura não pode ser facilmente expressa em função da dimensão horizontal.

Nessas situações, a diferenciação implícita ajuda a determinar como a inclinação muda ao longo do arco.

Como y depende de x, a regra da cadeia é aplicada para diferenciar a equação da elipse. Isso fornece a primeira derivada, mostrando que a inclinação depende de ambas as coordenadas.

Para encontrar a segunda derivada, diferencie novamente a primeira derivada usando a regra do quociente, pois o numerador e o denominador dependem de x.

Isso dá uma nova expressão que ainda contém a primeira derivada em si. Em seguida, substitua a expressão completa da primeira derivada de volta à equação não simplificada.

Simplifique o numerador complexo encontrando um denominador comum para combinar termos.

Rearranjando a equação original da elipse fornece uma identidade para esse termo combinado no numerador. Substituindo essa identidade, obtém-se a expressão final para a segunda derivada.

Uma segunda derivada positiva mostra curvatura côncava para cima, enquanto uma negativa apresenta curvatura côncava para baixo — mostrando como a inclinação e a curvatura mudam, o que ajuda a avaliar a estabilidade dos arcos.