Funções hiperbólicas inversas e suas derivadas

A forma de um cabo de ponte suspensa, quando suspensa sob seu próprio peso, segue uma curva catenária, modelada usando a função cosseno hiperbólico.

Quando a posição vertical y₁ é conhecida, a função inversa hiperbólica do cosseno ajuda a encontrar a posição horizontal correspondente x₁.

As funções hiperbólicas inversas incluem o seno hiperbólico inverso, cosseno e tangente, juntamente com seus equivalentes cosecant, secante e cotangente.

Para encontrar a derivada da função cosseno hiperbólica inversa, primeiro expresse-a em termos da função cosseno hiperbólica.

Diferenciar ambos os lados implicitamente fornece uma relação envolvendo a função seno hiperbólica.

Usando a identidade padrão que relaciona o seno hiperbólico e o cosseno, e substituindo a expressão pelo seno hiperbólico, obtém-se a derivada em termos do cosseno hiperbólico. Eliminar o cosseno hiperbólico fornece a expressão final em termos da posição vertical.

Essa expressão mostra que a taxa de variação da posição horizontal de uma curva de catenária de uma ponte suspensa depende da posição vertical.

A inclinação é maior perto dos suportes e menor no centro.