Teorema Fundamental do Cálculo I: Resolução de Problemas

Um sistema de abastecimento de água bombeia água para um reservatório de armazenamento, mas a vazão muda ao longo do tempo, modelada por uma função f(t).

O objetivo é calcular o volume total de água que entrou no tanque do tempo zero ao tempo t.

Esse cálculo é crucial na gestão da água, onde o monitoramento preciso de volume impacta o controle de pressão, o escalonamento e a segurança do sistema.

Graficamente, o volume requerido é igual à área sob a curva de f(t) de zero a t, e é calculado usando uma integral definida.

Para evitar confusão com o limite superior t, uma variável diferente, s, é usada dentro da integral. Essa variável fictícia serve como um marcador que muda ao longo do tempo.

Resolvendo essa integral até o tempo t, obtém-se o volume acumulado V(t). Agora, para descobrir como o volume total muda em um momento específico, pode-se usar a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo.

Ela afirma que a derivada de V(t) é igual à função original da taxa de fluxo.

Isso significa que a taxa instantânea de variação do volume total é igual à taxa de entrada naquele momento.