Regra de substituição aplicada a integrais indefinidas

Quando uma força é aplicada a uma mola linear, a força de restauração aumenta uniformemente com o deslocamento. Essa relação segue a lei de Hooke, que permite calcular o trabalho realizado a partir da curva força-deslocamento.

Para uma mola não linear, a lei de Hooke não se aplica. Sua força restauradora muda com a posição, então o gráfico força–deslocamento fica curvo.

O trabalho total realizado no esticamento da mola é determinado integrando essa força em relação ao deslocamento.

No entanto, a integral é difícil de resolver diretamente porque um termo de raiz quadrada complica o processo padrão de integração.

Para simplificar a integral, utiliza-se a regra de substituição. Ele introduz uma nova variável para o termo complexo. Diferenciar a variável e rearranjar a derivada nos ajuda a substituir os outros termos dentro da integral.

Aplicar a substituição transforma o termo dentro da raiz quadrada em uma expressão mais simples, convertendo a integral em uma única função de potência.

Após a integração, a nova variável é substituída pela variável de deslocamento original, preservando sua interpretação física.

A expressão final representa o trabalho necessário para esticar uma mola não linear.