Substituição trigonométrica

Satélites Molniya, conhecidos por suas órbitas altamente elípticas, traçam regiões distintas do espaço durante cada revolução ao redor da Terra.

Para estimar a área defechada, a órbita é modelada como uma elipse em sua forma padrão, que é então rearranjada para uma expressão envolvendo um termo raiz quadrada.

Como a elipse é simétrica em relação a ambos os eixos, a área no primeiro quadrante é calculada usando integração e depois multiplicada por quatro para obter a área total.

Aqui, a integração direta é difícil devido à raiz quadrada. Para resolver isso, a substituição trigonométrica é usada substituindo x em termos da função seno. Essa substituição converte o termo da raiz quadrada em uma função cosseno simples, e o diferencial muda de acordo.

Os limites de integração são então atualizados para corresponder ao domínio angular, variando de zero a pi ao longo de dois. O integrando é reescrito usando uma identidade trigonométrica para simplificar o processo de integração. Essa integral definida é avaliada sobre os novos limites.

A expressão final fornece a área total varrida pelo satélite durante uma órbita completa.