Teorema de Pappus

O Teorema de Pappus para volume conecta a geometria de uma região plana com o volume de seu sólido de revolução, sem usar técnicas de integração como o método do disco.

O teorema afirma que, quando uma região plana com um centróide conhecido gira em torno de um eixo, o volume resultante é igual à área da região multiplicada pela distância percorrida pelo centróide ao longo do caminho circular.

Por exemplo, considere uma forma tridimensional que se parece com uma rosquinha, chamada toro. Ele é formado ao girar um círculo de raio r ao redor de uma linha em seu plano que não intersecta o círculo.

Essa seção transversal circular gera o sólido durante a rotação.

O centróide do círculo está a uma distância R do eixo de rotação.

À medida que o círculo gira, seu centróide segue um caminho circular com comprimento igual à sua circunferência.

Usando o teorema, o volume do toro é encontrado multiplicando a área da seção transversal pela distância percorrida pelo centroide.

Um exemplo prático é o uso de tanques toroidais para armazenar combustível em espaços apertados. O Teorema de Papp usa a área e o comprimento do caminho do centroide para encontrar o volume, o que ajuda a mostrar a capacidade de combustível disponível.