Equações diferenciais separáveis

Uma equação separável é uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser dividida em duas partes independentes — uma contendo apenas x e a outra apenas y.

Os termos y são colocados de um lado e os termos x do outro, permitindo integração separada.

Por exemplo, imagine uma xícara de chá quente resfriando em um cômodo.

A taxa de resfriamento do chá é proporcional à diferença entre sua temperatura e a temperatura ambiente. Um sinal negativo é adicionado à constante de proporcionalidade k para indicar que a temperatura diminui com o tempo.

A equação é separável porque pode ser reescrita com termos de temperatura de um lado e tempo do outro. Integrando ambos os lados se obtém uma equação logarítmica com constante de integração.

Quando ambos os lados são exponenciados, surge a solução geral, com uma constante que pode ser positiva, negativa ou zero. A constante é encontrada substituindo t igual a zero e a temperatura inicial.

A diferença de temperatura diminui exponencialmente, fazendo com que o chá esfrie rapidamente no início e depois mais lentamente com o tempo.