Trajetórias ortogonais

No eletromagnetismo, as linhas do campo elétrico — representando a direção da força elétrica — são sempre perpendiculares às linhas equipotenciais, ao longo das quais a energia potencial permanece constante.

Esses dois conjuntos de retas se cruzam em ângulos retos, formando trajetórias ortogonais.

Para entender o conceito matematicamente, considere uma família de parábolas que se abre ao longo do eixo x, escrita como x = ky², onde k é uma constante.

Diferenciar a equação em relação a x obtém a inclinação da tangente em qualquer ponto de uma parábola.

Para generalizar o resultado para todos os membros da família, eliminar k dá uma inclinação expressa em termos de x e y.

A direção perpendicular a essa inclinação é dada pelo recíproco negativo.

Substituindo y/2x na expressão de inclinação e rearranjando obtemos a equação para as trajetórias ortogonais das parábolas

Integrando essa equação, dá uma expressão geral que mostra uma família de elipses centrada na origem.

Essas elipses intersectam as parábolas em ângulo reto, espelhando a forma como as linhas de campo elétrico se cruzam com superfícies equipotenciais em sistemas físicos reais.