Análise espaço-temporal de campos termoelásticos acoplados em silício reforçado com fibras anisotrópicas usando um método de autovalores

Resumo

Este estudo analisa campos termo-fotoelásticos acoplados em silício reforçado com fibras anisotrópicas, utilizando métodos de modo normal e autovalores. Os resultados mostram decaimento espacial e evolução do campo dependente do tempo, com forte sensibilidade à anisotropia. Mapas de calor ilustram a distribuição e localização dos campos.

Resumo

Este estudo investiga um sistema termo-fotoelástico acoplado em um meio semicondutor de silício reforçado com fibra anisotrópica, visando capturar a interação entre campos térmico, portador e mecânico. Esses materiais anisotrópicos reforçados com fibras desempenham um papel crucial em aplicações modernas de engenharia, incluindo dispositivos microeletrônicos e optoeletrônicos, tecnologias baseadas em laser, sensores e estruturas compósicas avançadas, onde propriedades direcionais e desempenho mecânico aprimorado são necessários. Eles são particularmente importantes no projeto de componentes semicondutores submetidos a cargas térmicas e ópticas, onde a previsão precisa do comportamento do campo acoplado é essencial para confiabilidade e otimização de desempenho. As equações governantes são formuladas com base no modelo físico acoplado e subsequentemente transformadas em uma forma adimensional para simplificar a análise e destacar a influência relativa dos parâmetros envolvidos. O problema é resolvido usando uma técnica de modo normal e reduzido a um sistema diferencial vetorial-matriz de primeira ordem, seguido por uma abordagem de autovalores para obter soluções analíticas que satisfazem as condições de contorno impostas dentro de um domínio semi-infinito. A análise numérica é realizada para examinar o efeito da variação temporal em todos os campos físicos, revelando forte atenuação espacial e comportamento acoplado governado por anisotropia e reforço de fibras. Representações de mapas de calor espaço-temporais são usadas para visualizar a evolução e localização dos campos, fornecendo insights físicos sobre as interações multifísicas e demonstrando a eficácia da abordagem analítica.

Introdução

A termo-fotoelasticidade emergiu como um importante campo multidisciplinar que descreve a interação entre efeitos térmicos, mecânicos e ópticos em materiais semicondutores sob excitação fototérmica. O acoplamento entre esses campos torna-se particularmente notável em aplicações modernas envolvendo aquecimento a laser e excitação óptica. Por exemplo, Saeed¹ investigou interações termo-fotoelásticas em semicondutores usando modelos hiperbólicos de duas temperaturas, demonstrando a importância dos efeitos de relaxamento térmico na previsão precisa do comportamento do sistema. A resposta termomecânica dos compósitos reforçados com fibras também atraiu considerável atenção devido à sua maior resistência mecânica e propriedades anisotrópicas. Li e Lambros² analisaram o comportamento termomecânico dinâmico desses compósitos, destacando sua adequação para aplicações avançadas de engenharia. De forma semelhante, Kalkal et ^al.3 estudaram deformações bidimensionais (2D) em meios reforçados com fibras graduadas funcionalmente em rotação sob campos magnéticos, mostrando a forte influência da anisotropia e efeitos externos na resposta do sistema. Além disso, Pitarresi et ^al.4 examinaram o papel da heterogeneidade macroscópica no comportamento termoelástico, enfatizando a necessidade de modelagem precisa dos materiais compósitos. Desenvolvimentos recentes estenderam esses estudos para meios semicondutores com efeitos multifísicos acoplados. Mondal et ^al.5 investigaram a propagação de ondas em semicondutores reforçados considerando respostas de memória e campos magnéticos, revelando interações complexas acopladas. Estudos experimentais, como os de Akai et ^al.6, avaliaram danos por fadiga em compósitos reforçados com fibras usando variações termoelásticas de temperatura, confirmando sua importância prática. Além disso, abordagens micromecânicas foram empregadas para estimar propriedades termoelásticas eficazes, como demonstrado por Lu et ^al.7. A influência da carga externa e das condições ambientais também tem sido amplamente estudada. Barak e Dhankhar⁸ analisaram cargas inclinadas em meios reforçados com fibras funcionalmente graduadas, enquanto Kundu e Kalkal⁹ examinaram as interações fototérmicas sob gravidade e cargas térmicas em movimento. Chaudhary et ^al.10 investigaram propriedades dependentes da temperatura usando modelos de atraso de fase dupla, e Pandit et ^al.11 aplicaram modelos de deformação em ordem fracionária para capturar o comportamento de deformação não local. Esses estudos destacam a importância de considerar condições realistas de carga e material na análise termoelástica.

Fenômenos dinâmicos e relacionados à vibração também foram explorados em sistemas semicondutores. Song et ^al.12 estudaram vibrações fototérmicas em estruturas semicondutoras, enquanto Mondal e Sur¹³ analisaram a propagação de ondas em meios ortotrópicos com efeitos de memória. Efeitos viscoelásticos e microestruturais foram considerados por Abouelregal et ^al.14, e efeitos de aquecimento do tipo rampa foram investigados por Hobiny et ^al.15. Além disso, modelos termoelásticos generalizados, como a teoria do atraso trifásico, foram desenvolvidos por Zenkour¹⁶ para melhorar a precisão da previsão. Modelos multifísicos avançados incorporando efeitos eletromagnéticos e micropolares aprimoraram ainda mais a compreensão do comportamento termo-fotoelástico. Al-Hazaemh et ^al.17 estudaram excitação foto-eletro-magneto-termoelástica em meios semicondutores rotativos, enquanto Nazir e Kumar¹⁸ analisaram interações termoelásticas micropolares. Song et ^al.19 também examinaram interações termoelásticas não dissipativas, e Nasr e^{Abouelregal 20} investigaram processos de absorção de luz em semicondutores com cavidades. Modelos não locais e de ordem fracionária desempenharam um papel crucial nos desenvolvimentos recentes. Gupta et ^al.21 estudaram excitação fototérmica em meios porosos não locais, enquanto Hobiny e^{Abbas 22} analisaram propagação de ondas de ordem fracionária em semicondutores. Hafed e^{Zenkour 23} investigaram os efeitos da carga inclinada, e Oliinyk et ^al.24 examinaram os efeitos termoelásticos não estacionários. O comportamento funcionalmente graduado de semicondutores sob excitação a laser também foi explorado por Awwad et ^al.25, enquanto Gupta et ^al.26 investigaram o acoplamento termo-piezo-fotoelétrico com modelos dependentes da memória. Abordagens experimentais clássicas que combinam técnicas térmicas e ópticas foram estabelecidas por Greene e^{Patterson 27} e Barone e^{Patterson 28}, fornecendo métodos confiáveis para análise de tensões. Além disso, Kaur e^{Singh 29} desenvolveram modelos não locais dependentes da memória para ressonadores semicondutores, e Abbas et ^al.30 analisaram interações fototérmicas com condutividade térmica variável. Investigações experimentais e numéricas de membranas compóitas reforçadas foram conduzidas por Lu et ^al.31, enquanto Purkait e^{Kanori 32} estudaram respostas de memória em meios rotativos reforçados com fibras. Abo-Dahab et ^al.33 examinaram ainda mais a reflexão de ondas em meios termoelásticos reforçados com fibras sob condições de carga. Mais recentemente, modelos avançados termoelásticos fracionários e não locais foram propostos para descrever materiais complexos. Abouelregal et ^al.34 investigaram respostas térmicas em tecidos biológicos usando modelos fracionários, enquanto Selvamani et ^al.35,36 estudaram propagação de ondas não locais e comportamento de vibração em nanobeams. Além disso, modelos de atraso de fase dupla e viscoelástico foram aplicados a microestruturas por Abouelregal et ^al.37, e formulações termoelásticas fracionárias com núcleos de memória foram^{desenvolvidas 38,39} para capturar fenômenos complexos acoplados.

Apesar desses desenvolvimentos extensos, a maioria dos estudos existentes foca principalmente em soluções analíticas ou numéricas sem fornecer visualização espaço-temporal detalhada dos campos físicos. Em muitas aplicações práticas, especialmente em meios semicondutores anisotrópicos reforçados com fibra, a resposta do sistema depende fortemente tanto de variações espaciais quanto temporais, tornando a visualização essencial para uma interpretação precisa. Além disso, embora abordagens numéricas e experimentais forneçam insights valiosos, métodos analíticos baseados em técnicas de modo normal e autovalores oferecem vantagens significativas em problemas envolvendo domínios semi-infinitos e sistemas multifísicos acoplados. Essas abordagens permitem soluções em formato fechado, proporcionando uma compreensão física mais profunda dos mecanismos de propagação, atenuação e acoplamento de ondas, e servem como referências confiáveis para validar resultados numéricos e experimentais.

No presente trabalho, é apresentada uma investigação abrangente do comportamento termo-fotoelástico acoplado em um meio semicondutor anisotrópico reforçado com fibras. A novidade deste estudo está em integrar uma abordagem analítica baseada em autovalores com visualização de mapas de calor espaço-temporários para fornecer uma compreensão mais profunda da evolução e localização dos campos físicos. O objetivo deste trabalho é analisar a influência da anisotropia e do reforço de fibras na interação entre campos térmico, mecânico e de portadores, além de demonstrar a aplicabilidade do método proposto na interpretação de fenômenos multifísicos complexos relevantes para aplicações modernas de engenharia, como dispositivos semicondutores, sensores e tecnologias baseadas em laser.

Protocolo

Este estudo é baseado inteiramente em modelagem teórica e simulações numéricas e não envolve participantes humanos, sujeitos animais ou espécimes biológicos. Portanto, aprovação ética e consentimento informado não eram necessários.

Formulação matemática da fototermoelasticidade em meios anisotrópicos reforçados com fibras
O presente estudo considerou um semi-espaço semicondutor anisotrópico 2D reforçado por fibras submetido à excitação óptica superficial. O meio ocupava a região x ≥ 0, onde a fronteira em x = 0 representa a superfície exposta. O sistema de coordenadas foi definido de modo que o eixo x se estendesse para o meio, enquanto o eixo y ficasse ao longo da superfície e descrevesse o comportamento no plano. Assumiu-se que o material era homogêneo, mas anisotrópico devido à presença de fibras de reforço alinhadas, que introduziam dependência direcional nas propriedades elásticas e de acoplamento. A absorção óptica na superfície gerava aquecimento localizado e portadores de carga excedente, levando a uma interação totalmente acoplada entre campos térmico, mecânico e portador. Assim, o estado do sistema foi descrito pela temperatura θ(x, y, t) (K), densidade de portadores N (x, y, t) (^m-3) e componentes de deslocamento u (x, y, t) e v (x, y, t)(m), sob a suposição de pequenas deformações. Um esquema do domínio físico, sistema de coordenadas, orientação da fibra e excitação óptica aplicada é ilustrado na Figura 1. Todos os cálculos simbólicos e numéricos foram realizados usando o Wolfram Mathematica (Versão 12.0).

Figura 1. Representação esquemática do meio semi-infinito semi-infinito de semicondutores reforçados com fibras submetidos à excitação óptica na fronteira x = 0. O sistema de coordenadas (x, y) é mostrado, com a orientação da fibra alinhada ao longo da direção x (a = (1, 0)), ilustrando a configuração geométrica e a anisotropia dependente da direção do meio. Por favor, clique aqui para ver uma versão ampliada desta figura.

A relação constitutiva para o tensor de tensão em um meio semicondutor termoelástico anisotrópico reforçado com fibras foi expressa na forma geral usando a Equação 1 ^1,5. Nessa formulação, θ denota o incremento de temperatura relativo à temperatura de referência T₀, enquanto T representa a temperatura absoluta quando aplicável.

.   (1)

Aqui, C_ijkl são os coeficientes de rigidez elástica, e_kl é o tensor de deformação, e β_ij e η_ij representam, respectivamente, os tensores termoelásticos e de acoplamento de portadores. Na presença de reforço de fibra, a resposta do material tornava-se dependente da direção e era governada pelo vetor de orientação da fibra a = (a_i), que introduzia contribuições anisotrópicas tanto nos termos elásticos quanto nos termos de acoplamento. Assim, a relação constitutiva foi expandida para incorporar explicitamente o efeito do reforço de fibras como ^2,3:

. (2)

Aqui, λ e μ_τ são as constantes de Lamé, e μ_L é o módulo de cisalhamento longitudinal ao longo da direção da fibra. O parâmetro α representa os efeitos de reforço de fibras e é distinto de α_ij, que denotam coeficientes de expansão térmica. O vetor unitário definiu a orientação da fibra e introduziu dependência direcional na resposta tensão-deformação. Para a formulação 2D atual, assumiu-se que as fibras estavam alinhadas ao longo do eixo x; portanto, o vetor de orientação foi explicitamente tomado como a = (1, 0). Essa especificação forneceu uma parametrização clara da direção da fibra e garantiu que as contribuições anisotrópicas fossem consistentemente incorporadas nas equações governantes, abordando diretamente o comportamento direcional induzido pelo reforço da fibra. Para a configuração 2D atual, os componentes governantes da tensão foram reduzidos para:

, (3)

, (4)

. (5)

Essas equações ilustram a influência combinada da anisotropia, reforço de fibras e efeitos de acoplamento multifísico. Os coeficientes β_ij e η_ij foram definidos em termos dos parâmetros do material da seguinte forma:

,

,

,

.

Aqui, os coeficientes A_ij representam as constantes elásticas efetivas do meio anisotrópico reforçado com fibra e foram definidos da seguinte forma:

. (6)

Aqui, λ, μ_L e μ_T são as constantes elásticas do meio anisotrópico reforçado com fibras, enquanto α_ij e ξ_ij representam, respectivamente, os coeficientes térmico e de expansão dos portadores. A propagação de ondas elásticas em meios semicondutores termo-fotoelásticos era regida pelo princípio da conservação do momento linear, que formou a base da análise termoelástica dinâmica. Na ausência de forças corporais, a equação geral de movimento para um contínuo deformável é expressa da seguinte forma, com base em ^1,15:

. (7)

Aqui, ρ é a densidade de massa e σ_ij é o tensor de tensão. No presente estudo, a formulação foi restrita a uma configuração 2D no plano x - y , e o campo de deslocamento foi representado por u(x, y, t) e v(x, y, t). Seguindo as formulações padrão em meios termo-fotoelásticos, as equações governantes do movimento em duas dimensões foram escritas da seguinte forma:

, (8)

. (9)

Substituindo as relações constitutivas anisotrópicas reforçadas com fibra nas equações acima, o sistema acoplado resultante de equações diferenciais parciais (EDs) foi obtido da seguinte forma:

, (10)

. (11)

Aqui, subscritos denotam diferenciação parcial em relação a variáveis espaciais e temporais. Essas equações destacam a influência acoplada da anisotropia, reforço de fibras, gradientes de temperatura e difusão de portadores na resposta dinâmica do meio. Na presença de excitação óptica, o campo térmico dentro do semicondutor foi fortemente influenciado pela interação com a densidade de portadores e a deformação mecânica, resultando em um processo de transporte de energia totalmente acoplado. Diferentemente da condução clássica de calor, a evolução da temperatura nesses meios foi governada por termos adicionais de fonte decorrentes da recombinação de portadores e efeitos termoelásticos, que alteraram significativamente as características de propagação do calor. A equação de condução de calor no âmbito da termoelasticidade generalizada foi expressa da seguinte^{forma: 16,20}:

. (12)

Aqui, C_E é o calor específico em deformação constante, representando a capacidade térmica do material, e T₀ denota a temperatura absoluta de referência do meio em seu estado de equilíbrio. Para a configuração 2D atual, esta equação foi reduzida para^16,20:

. (13)

Essa equação demonstra que o campo de temperatura foi afetado não apenas pela condutividade térmica direcional, mas também pela recombinação de portadores através do termo , bem como pela deformação dependente do tempo através dos termos de acoplamento termoelástico. Essa formulação capturou as interações multifísicas essenciais que regem a transferência de calor no semicondutor anisotrópico reforçado com fibra e destacou o papel tanto da dinâmica dos portadores quanto da resposta mecânica na modificação do comportamento térmico do sistema. Quando um meio semicondutor era submetido à excitação óptica, um número significativo de portadores de carga era gerado devido à absorção da radiação incidente. Esses transportadores passavam por processos de transporte que incluíam difusão espacial, recombinação e geração termicamente impulsionada, todos inerentemente ligados ao campo de temperatura dentro do material. Consequentemente, a densidade de portadores tornou-se uma das variáveis-chave que governam a resposta termo-fotoelástica acoplada.

Na formulação atual, a evolução da concentração de portadores foi descrita por meio de um equilíbrio entre mecanismos de difusão, efeitos de decaimento e processos de ativação térmica, levando à seguinte relação^{governante 1,5}"

. (14)

Aqui, D_E representa o coeficiente de difusão do portador e é o operador laplaciano 2D no plano x - y. O termo leva em conta os efeitos de recombinação com o tempo de relaxação τ, enquanto k é o coeficiente de acoplamento do termo-portador definido como , que caracteriza a sensibilidade da concentração de portadores de equilíbrio N₀ às variações de temperatura. Essa relação destaca o papel da temperatura como mecanismo motriz para a geração de portadores e estabelece um acoplamento direto entre os campos térmico e eletrônico no meio semicondutor anisotrópico reforçado com fibra.

As equações governantes e a formulação matemática do sistema acoplado de portadores fototermoelásticos foram estabelecidas. Os parâmetros físicos e materiais correspondentes ao meio de silício (Si) são resumidos na Tabela 1, juntamente com seus valores numéricos, unidades e referências correspondentes. Esses parâmetros são posteriormente usados nos cálculos numéricos e no processo de não dimensionalização.

Símbolo	Valor	Unidade	Referência
λ	3,64 × 10¹⁰	N/m²	12
μT	5,46 × 10¹⁰	N/m²	12
μL	3,20 × 10¹⁰	N/m²	12
ρ	2330	kg/m³	13
CE	695	J/(kg· K)	30
K11	0,0921 × 10³	W/(m·K)	30
K22	0,0963 × 10³	W/(m·K)	30
DE	2,5 × 10⁻³	m²/s	22
τ	5 × 10⁻⁵	s	15
T₀	300	K	15
Eg	1.11 × 10⁻¹⁹	J	12
11 α	3.1 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
22 α	3,5 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
ξ11	−7 × 10⁻³¹	m³	21
ξ22	−9 × 10⁻³¹	m³	21
κ	2,16 × 10²¹	m⁻³·s⁻¹· K⁻¹	21
α	−1,28 × 10¹⁰	N/m²	28
β	220,90 × 10¹⁰	N/m²	28
ω	2,95 + 1i	s⁻¹	12
a	1	— (sem dimensões)	13
y	0.6	m	13
θ₀	1	— (sem dimensões)	15
N₀	1	— (sem dimensões)	15

Tabela 1. Propriedades e parâmetros do material usados na análise numérica do meio semicondutor anisotrópico reforçado com fibra. Todas as quantidades são expressas em unidades SI, salvo especificação em contrário. Parâmetros adimensionais são indicados de acordo. Os valores listados correspondem às propriedades do material à base de silício e aos parâmetros do modelo empregados nos cálculos presentes, conforme obtido a partir das referências citadas. O coeficiente de acoplamento termo-portador κ é definido como κ = (∂N₀/∂T)(1/τ), seguindo as formulações padrão em modelos de semicondutores termofotoelásticos.

Formulação Adimensional do Modelo Foto-Termoelástico Anisotrópico Acoplado
Para simplificar as equações governantes e obter uma representação não dimensional consistente do sistema termo-fotoelástico acoplado, foram introduzidas escalas características apropriadas para as coordenadas espaciais x, y, tempo t, componentes de deslocamento u, v, temperatura T, densidade de portadores N e tensão σ. Esses parâmetros de escala foram selecionados consistentemente com base nas propriedades físicas intrínsecas do meio e nos mecanismos de acoplamento entre campos térmico, mecânico e de portadores, seguindo formulações estabelecidas relatadas na^{literatura 16,21}. Assim, as variáveis adimensionais foram definidas da seguinte forma:

, , , , , , .

Essa transformação reduziu o número de parâmetros independentes do material e forneceu uma representação normalizada do sistema acoplado. Ao substituir as variáveis adimensionais acima pelas equações governantes previamente derivadas, o sistema foi reescrito em forma não dimensional. Para simplificar, a notação primária associada às variáveis adimensionais foi posteriormente omitida. Esse procedimento resultou em um conjunto compacto de EDs parciais adimensionais, que podem ser escritos na seguinte forma:

, (15)

, (16)

, (17)

. (18)

Após aplicar a transformação não dimensional, os componentes de tensão do sistema foram escritos na seguinte forma normalizada:

, (19)

, (20)

. (21)

Os parâmetros adimensionais a_i foram introduzidos para representar combinações compactas das propriedades físicas e materiais que regem o comportamento anisotrópico acoplado foto-termoelástico. Cada coeficiente refletia um mecanismo de interação específico dentro do sistema e fornecia insights sobre a influência relativa dos processos físicos subjacentes. representa a razão entre a rigidez normal do acoplamento e a rigidez elástica principal, refletindo o grau de interação anisotrópica entre os dois componentes de deslocamento. caracteriza a contribuição relativa da deformação transversal para o componente normal de tensões. mede a variação direcional do acoplamento termoelástico, indicando anisotropia nos efeitos de expansão térmica. descreve a influência anisotrópica da densidade de portadores na deformação elástica induzida. representa a rigidez de cisalhamento normalizada e quantifica a contribuição da deformação por cisalhamento em relação à deformação normal. leva em conta o acoplamento combinado entre a deformação normal e a de cisalhamento nas equações governantes de deslocamento. expressa a razão entre rigidez transversal e rigidez de cisalhamento, destacando o comportamento de deformação anisotrópica. representa o parâmetro inercial normalizado, relacionando os efeitos de propagação da onda à rigidez do cisalhamento. caracteriza o acoplamento entre gradientes de deslocamento em diferentes direções espaciais. quantifica a contribuição relativa dos efeitos térmicos para o campo de deslocamento na direção transversal. mede o efeito da deformação induzida por portadores em relação à rigidez do cisalhamento. : representa a anisotropia na condutividade térmica ao longo de diferentes direções espaciais. caracteriza a influência da recombinação de portadores na geração de calor dentro do meio. representa o acoplamento entre efeitos térmicos e deformação elástica dependente do tempo. explica a influência combinada da expansão térmica anisotrópica em ambas as direções espaciais. representa o parâmetro de difusão normalizado que controla a taxa de transporte do portador. caracteriza a força relativa dos efeitos de recombinação de portadores. descreve o acoplamento entre variações térmicas e processos de geração de portadores.

Solução analítica usando a técnica do modo normal
Para obter soluções analíticas para o sistema termo-fotoelástico anisotrópico acoplado, a técnica do modo normal foi empregada devido à sua eficácia em reduzir os ED parciais governantes em um sistema mais tratável de EDs comuns. Essa abordagem é amplamente utilizada na análise de fenômenos de propagação de ondas, incluindo dispersão e atenuação. Assim, as variações harmônicas das variáveis de campo tanto no tempo quanto na direção espacial transversal foram^{assumidas como 1,12,23}. Assim, os componentes de deslocamento, temperatura, densidade de portadores e tensão foram expressos de forma exponencial da seguinte forma:

. (22)

Aqui, ω denota a frequência complexa que governa o comportamento temporal dos campos, enquanto a representa o número de onda associado à variação espacial ao longo da direção y. Esses parâmetros foram selecionados para satisfazer os requisitos de estabilidade e garantir soluções limitadas fisicamente admissíveis dentro do domínio semi-infinito. Ao substituir as formas assumidas acima nas equações governantes não dimensionais previamente derivadas e simplificar as expressões resultantes, o sistema original acoplado de EDs parciais foi reduzido a um sistema de EDs ordinários em relação à coordenada espacial , que pode ser escrita da seguinte forma:

, (23)

, (24)

, (25)

. (26)

Além disso, os componentes correspondentes de tensão no domínio transformado foram escritos da seguinte forma:

, (27)

, (28)

. (29)

Aqui, D denota o operador diferencial . Essas equações representam a forma reduzida do sistema governante no domínio dos modos normais e fornecem a base para derivar a equação característica e construir a solução analítica geral em etapas subsequentes. Os coeficientes foram definidos da seguinte forma: , , , , , , , .

Formulação de DE Matricial e Análise de Valores Próprios
Após a aplicação da transformação do modo normal, o sistema governante dado nas Equações 23–26 foi reduzido a um conjunto de ED ordinários de segunda ordem em relação à coordenada espacial . Para facilitar uma solução sistemática, esse sistema foi convertido em um sistema equivalente de primeira ordem ao introduzir variáveis auxiliares correspondentes às primeiras derivadas das quantidades de campo. Especificamente, as seguintes variáveis foram definidas:

, . (30)

Usando essas definições, as Equações 23–26 foram reescritas como o seguinte sistema de oito DE de primeira ordem:

, (31)

, (32)

, (33)

, (34)

. (35)

O sistema acima foi expresso em forma compacta de matriz A da seguinte forma:

. (36)

O vetor de estado era dado pelo seguinte:

. (37)

e a matriz do sistema assumiu a forma explícita:

. (38)

Essa formulação transformou o sistema original em um problema de^{autovalores 1,15}. A equação característica foi obtida a partir de

. (39)

o que resulta em um polinômio de oitava ordem que governa os autovalores. Em uma forma reduzida, o polinômio característico pode ser escrito como

. (40)

onde Z_i os coeficientes são funções dos parâmetros do sistema e são definidos explicitamente abaixo. Os autovalores resultantes determinam o comportamento espacial da solução, incluindo características de atenuação e propagação. Apenas autovalores que satisfazem Re(m) > 0 são mantidos para garantir soluções fisicamente admissíveis que decaem exponencialmente à medida que x → ∞.

. (41)

As raízes do polinômio característico definem os autovalores m, que governam o comportamento espacial da solução. Esses autovalores foram calculados numericamente usando o Mathematica, construindo o polinômio característico via a função CharacteristicPolynomial e resolvendo a equação algébrica resultante usando NSolve. Como o problema é formulado em um domínio semi-infinito (x ≥ 0), apenas soluções fisicamente admissíveis que permanecem limitadas como x → ∞ são consideradas. Assim, apenas autovalores que satisfaz Re(m) > 0 foram mantidos, garantindo soluções exponencialmente decrecidas da forma exp(−mx) como x → ∞. As raízes restantes foram descartadas por corresponder a soluções não decaentes ou ilimitadas que não são consistentes com os requisitos físicos do modelo.

Para cada autovalor retido m, o autovetor correspondente foi obtido a partir do sistema algébrico associado

, (42)

e foi expressa na seguinte forma:

. (43)

Expandindo a equação matricial acima, foi obtido o seguinte sistema de equações lineares:

, (44)

, (45)

, (46)

, (47)

. (48)

Devido à homogeneidade do problema dos autovalores, os autovetores foram definidos até uma constante multiplicativa arbitrária. Para obter uma representação única e consistente, uma condição de normalização foi imposta fixando um componente do autovetor. No presente trabalho, o primeiro componente foi selecionado de modo que q₁ = 1, e os demais componentes foram determinados sequencialmente a partir do sistema de equações acima. Do ponto de vista computacional, essa normalização foi implementada atribuindo um valor unitário a um componente e resolvendo o sistema resultante de equações lineares para avaliar os componentes restantes. Esse procedimento forneceu uma forma sistemática e reprodutível de calcular os autovetores associados a cada autovalor admissível.

. (49)

E os demais componentes seguem conforme as relações do sistema. Esses autovetores descrevem as contribuições relativas da temperatura, densidade de portadores e campos de deslocamento dentro de cada modo. Consequentemente, a solução geral do problema foi construída como uma combinação linear dos automodos admissíveis, cada um associado a um autovalor e seu autovetor correspondente, fornecendo assim uma descrição analítica completa do comportamento anisotrópico fototermoelástico acoplado no meio de espaço parcial. A solução geral do sistema, portanto, foi escrita da seguinte forma:

. (50)

Aqui, C_i são constantes determinadas pelas condições de contorno. Ao expandir a expressão vetorial acima, as variáveis de campo foram obtidas da seguinte forma:

, (51)

, (52)

, (53)

. (54)

Essa representação mostra que a solução consiste em uma superposição de modos exponenciais, onde cada par autovalor-autovetor contribui independentemente para a resposta física geral. Os autovalores admissíveis são selecionados de modo que suas partes reais sejam positivas, garantindo soluções limitadas e fisicamente significativas como x → ∞.

Condições de Contorno e Restrições Físicas
Ao substituir a solução geral pelas condições de contorno prescritas em x = 0, obteve-se um sistema de equações algébricas lineares em termos das constantes C_i. Especificamente, cada condição de contorno (temperatura, densidade de portadores e restrições de deslocamento) foi expressa em termos das expansões autoditas, resultando em um conjunto de equações relacionando os coeficientes C_i. Esse procedimento levou a um sistema linear que pode ser escrito em forma matricial como BC = D, onde B é a matriz de coeficientes construída a partir dos componentes dos autovetores avaliados na fronteira, C = (C₁, C₂, C₃, C₄)^T é o vetor de constantes desconhecidas, e é determinado a partir dos valores de fronteira impostos como θ₀, N₀, e as restrições de deslocamento. O sistema linear resultante foi resolvido computacionalmente usando o Mathematica, onde a matriz de coeficientes e o vetor do lado direito foram montados explicitamente, e as constantes desconhecidas foram obtidas usando a rotina LinearSolve. Essas constantes foram então substituídas de volta na solução geral para construir as expressões completas dos campos físicos, que foram posteriormente usadas na avaliação numérica e representação gráfica dos resultados.

As condições de contorno impostas foram dadas da seguinte forma:

Restrição de temperatura:

. (55)

Essa condição representa uma temperatura superficial harmonicamente variável induzida por aquecimento óptico periódico. Ele atua como a excitação térmica primária que impulsiona os processos termoelásticos acoplados e de transporte de portadores dentro do meio. A amplitude θ₀ caracteriza a intensidade da carga térmica aplicada.

Restrição de densidade de portadoras:

. (56)

Essa condição de contorno descreve a densidade de portadoras gerada foto-gerada resultante da iluminação óptica. Ele reflete a excitação eletrônica devido à absorção de fótons e sua modulação harmônica é consistente com o campo óptico incidente.

Restrição de deslocamento:

. (57)

Essa condição indica que a fronteira está mecanicamente restrita na direção transversal. Portanto, não ocorre deslocamento ao longo da direção v na superfície.

Restrição de tensão de cisalhamento:

. (58)

Essa condição corresponde a uma fronteira livre de tração em relação à tensão de cisalhamento. Ela garante que nenhuma força tangencial atue na superfície, o que é consistente com uma fronteira mecanicamente livre na direção tangencial. Além das condições de contorno em x = 0, o requisito físico no infinito era imposto como: garantir soluções físicas limitadas dentro do domínio semi-infinito. Antes de apresentar os resultados numéricos, o procedimento computacional geral adotado neste estudo é resumido na Figura 2. Os valores numéricos dos parâmetros de excitação θ₀, N₀, frequência complexa ω e número de onda a usados nos cálculos estão listados na Tabela 1. Os parâmetros listados na Tabela 1 incluem tanto constantes de material dimensionais quanto parâmetros não dimensionais usados na formulação normalizada. Para avaliação numérica, o domínio espacial foi definido como , a coordenada transversal foi fixada em y = 0,6, e o domínio temporal foi considerado dentro de . Esses intervalos eram usados para todos os cálculos numéricos e representações gráficas.

Figura 2. Fluxo de trabalho computacional do método proposto. A figura ilustra a sequência de etapas desde a formulação até os resultados numéricos: equações governantes, não dimensionalização, aplicação da técnica do modo normal, conversão para um sistema de primeira ordem, formulação matricial, análise de autovalores e autovetores, aplicação de condições de contorno, determinação de constantes e geração de gráficos numéricos. Por favor, clique aqui para ver uma versão ampliada desta figura.

Resultados

Resultados Numéricos
Nesta seção, foram realizados cálculos numéricos para analisar o comportamento do sistema termo–fotoelástico acoplado de portadores em um meio semicondutor anisotrópico reforçado com fibras. O material considerado era o silício (Si), e seus parâmetros físicos e materiais estão listados na Tabela 1. Essas constantes materiais foram diretamente substituídas nas equações governantes e implementadas nos cálculos numéricos para avaliar...

Discussão

Os resultados obtidos fornecem uma compreensão física clara sobre o comportamento termoelástico acoplado em meios semicondutores anisotrópicos reforçados com fibra. O presente estudo propõe uma estrutura analítica baseada em autovalores para investigar a interação entre carga térmica, geração de portadores e deformação elástica nesses meios. A resposta observada é fundamentalmente governada pelo forte acoplamento entre esses processos físicos. A absorção de energia óptica na fronteira le...

Materiais

Lista de materiais utilizados neste artigo

Nome	Empresa	Número de catálogo	Comentários
Software computacional (análise simbólica e numérica)	Wolfram Research	Wolfram Mathematica (Versão 12.0) foi utilizado	Usado para cálculo de autovalores, implementação de soluções analíticas e avaliação numérica
Ferramentas de visualização de dados (geração de contornos e mapas de calor)	Wolfram Research	O Wolfram Mathematica (Versão 12.0) foi usado para gerar gráficos de contorno 2D e mapas de calor espaço-temporais	Usado para gerar gráficos de contorno 2D e mapas de calor espaço-temporais
Conjunto de dados de parâmetros de material (propriedades dos semicondutores de silício)	Diversas fontes bibliográficas	N/A	Constantes físicas (elásticas, térmicas, relacionadas a portadores) usadas em computações (Tabela 1)
Computador pessoal/estação de trabalho	HP	N/A	Os cálculos eram realizados em um computador pessoal padrão rodando Windows OS com memória suficiente para simulações numéricas
Editor de equações	Microsoft  Word e MathType	N/A	Usado para formatação e apresentação de expressões matemáticas no manuscrito
Software de gerenciamento de referências	Elsevier	N/A	Usado para gerenciar referências e formatação de citações (estilo Vancouver)