Vetores em Múltiplas Direções

Vetores são quantidades com magnitude e direção - ao contrário dos escalares, que têm apenas uma magnitude e um sinal.

Força, aceleração e velocidade são exemplos de vetores. Enquanto massa, energia e tempo são exemplos de escalares.

Um vetor geralmente é representado por uma seta. O comprimento da seta corresponde à sua magnitude e o ângulo indica a direção.

Este vídeo mostrará um sistema de forças que pode ser analisado com adição e subtração vetorial e demonstrará como tais operações produzem resultados importantes para a compreensão de vários fenômenos físicos.

Descrever um vetor requer um sistema de coordenadas. Dentro deste quadro de referência escolhido, este exemplo de uma bola chutada para o ar tem um vetor de velocidade inicial. Como explicado anteriormente, o comprimento da seta representa a magnitude da velocidade. E a direção do vetor é seu ângulo em relação ao solo.

Qualquer vetor pode ser decomposto em componentes, que são vetores ao longo dos eixos x e y. Se a velocidade inicial da bola é de 20 metros por segundo a 60 graus, o componente horizontal é velocidade vezes cosseno de 60 graus e tem uma magnitude de 10 metros por segundo. O componente vertical é velocidade vezes seno de 60 graus e tem uma magnitude de cerca de 17,3 metros por segundo.

A adição vetorial de componentes horizontais e verticais reconstrói o vetor de velocidade original. Para adicionar vetores, imagine colocar a cabeça de um na cauda do outro. Neste exemplo, os vetores estão em um ângulo reto. A soma resulta quando se viaja diretamente da cauda do primeiro para a cabeça do segundo.

Esses componentes estão em ângulo reto, então a magnitude da soma é dada pelo teorema de Pitágoras. O ângulo é o arco tangente do componente vertical dividido pelo componente horizontal.

Ao adicionar dois vetores que não são perpendiculares, decomponha cada um em componentes x e y e, em seguida, adicione os componentes correspondentes. Finalmente, calcule a soma vetorial dos componentes horizontais e verticais conforme explicado anteriormente. Subtrair um vetor de outro é equivalente a negar o segundo vetor e adicioná-lo ao primeiro. Como antes, decomponha cada vetor em componentes x e y. Em seguida, subtraia o componente x menor do maior e faça o mesmo para os componentes y. Em seguida, como antes, calcule a soma vetorial dos componentes x e y resultantes.

Para demonstrar a adição e subtração de vetores em um laboratório de física, o equipamento comumente usado é uma tabela de forças. Este é um disco com ângulos marcados em todo o perímetro, um anel no centro preso a cordas com massas na outra extremidade suspensas por polias. As massas produzem forças, que são os vetores a serem estudados. A força ao longo de cada cordão é igual à força gravitacional, ou mg, com unidades de Newtons.

Agora, nesta configuração, se houver apenas duas massas iguais a 180 graus uma da outra, elas produzirão forças com uma soma vetorial de zero. Essa condição é chamada de equilíbrio, que resulta em aceleração zero e, portanto, o anel não se move.

Mas se as duas forças que puxam o anel não se cancelarem, por exemplo, devido à mudança no ângulo, a força resultante diferente de zero faria com que o anel se movesse. Nesses casos, se soubermos as magnitudes e direções dessas forças, podemos usar a adição e subtração vetorial para calcular a terceira força necessária para restabelecer o equilíbrio.

Na próxima seção, mostraremos como conduzir esses experimentos de tabela de forças que testam os princípios teóricos de adição e subtração vetorial

Se as duas forças forem iguais e opostas, o anel no centro da tabela não deve se mover. Nesse caso, cada vetor de força se opõe exatamente ao outro em magnitude e direção. A soma vetorial tem magnitude zero, que é a condição de força resultante zero, ou equilíbrio.

Para validar os princípios de adição e subtração vetorial, configure as massas e ângulos para as forças A e B conforme indicado na primeira linha desta tabela. Mantenha o ângulo de A em zero graus. Agora, configure a terceira força adicionando massas e alterando o ângulo até que o anel não se mova.

Depois de atingir o equilíbrio, calcule a força de C multiplicando sua massa pela aceleração da gravidade. Além disso, registre a magnitude e o ângulo da força C.

Repita este teste para os três casos diferentes e registre a magnitude e o ângulo da força C a cada vez.

Para as quatro configurações experimentais, esta tabela mostra as magnitudes calculadas das forças A e B e os ângulos de B em relação a A. Usando a primeira configuração como exemplo, podemos calcular a força C necessária para estabelecer o equilíbrio na tabela.

Aqui, a força A tem uma magnitude de 0,98 Newtons a 0?. A força B tem a mesma magnitude de 0,98 Newtons, mas um ângulo de 20?. Para determinar o vetor para C, decomponha as forças A e B em seus componentes x e y. Observe que a força A é direcionada apenas ao longo do eixo x e não tem componente y. Em seguida, adicione os componentes para produzir os vetores x e y, que são a soma dos vetores A e B.

Para alcançar o equilíbrio, os componentes x e y de C devem ser o oposto desses vetores. Para obter o vetor C, mova a cauda de seu componente y para a cabeça do componente x. Em seguida, adicione os dois vetores usando o teorema de Pitágoras para encontrar a magnitude do vetor C. E o ângulo para C é o arco tangente do componente vertical dividido pelo componente horizontal. Portanto, a magnitude calculada de C acaba sendo 1,93 Newtons em um ângulo de 10? em relação ao eixo x.

Agora, durante o experimento, calculamos C por meio de observação e tentativa e erro, ajustando os pesos e ângulos para evitar o movimento do anel na tabela de força.

E esta tabela mostra que os resultados experimentais e calculados para magnitude e ângulo correspondem de perto para todas as quatro configurações. Este acordo valida a representação das forças como vetores. A diferença pode ser atribuída a limitações na precisão dos pesos, precisão de medição do ângulo e forças não contabilizadas causadas pelo atrito na mesa de força e com as polias.

A adição e subtração de vetores são usadas em aplicações simples e complexas. Vamos dar uma olhada em alguns deles.

Ao visitar uma cidade como Nova York, a distância geralmente é medida em blocos e as direções são norte, sul, leste e oeste.

Uma pessoa andando quatro quarteirões a leste e três quarteirões ao norte sofre uma mudança de posição, que é uma quantidade vetorial. Portanto, aplicando as equações para adição de vetores, pode-se calcular a magnitude e a direção do vetor entre os pontos inicial e final da caminhada.

De caminhar a voar: um piloto está constantemente realizando adição e subtração de vetores mentais para manobrar o avião. Usando os flaps e ailerons das asas, um piloto pode ajustar a sustentação contra a gravidade. Se a sustentação for maior que a força gravitacional, o plano sobe. Se a sustentação for menor que a força gravitacional, ela desce.

Da mesma forma, um piloto usa os motores para ajustar o empuxo contra o arrasto. Se o empuxo for maior que o arrasto, o avião acelera. Se o empuxo for menor que o arrasto, ele desacelera.

Quando a soma dessas quatro forças é igual a zero, o avião está em equilíbrio e navega a velocidade e altitude constantes.

Você acabou de assistir à introdução de JoVE aos vetores. Agora você deve saber como adicionar e subtrair vetores e entender como certas quantidades físicas se comportam como vetores. Obrigado por assistir!