Lei da Gravitação Universal de Newton

Newton’s Law of Universal Gravitation

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Physics I

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JoVE Science Education Physics I

Newton’s Law of Universal Gravitation

1.2: Force and Acceleration

1.13: Energy and Work

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07:32 min

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February 06, 2015

Overview

Fonte: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Department of Physics & Astronomy, School of Physical Sciences, University of California, Irvine, CA

A lenda diz que Isaac Newton viu uma maçã cair de uma árvore. Ele notou a aceleração da maçã e deduziu que deve ter havido uma força agindo sobre a maçã. Ele então supôs que se a gravidade pode agir no topo da árvore, ela também pode agir a distâncias ainda maiores. Ele observou o movimento da lua e as órbitas dos planetas e eventualmente formulou a lei universal da gravitação. A lei estabelece que cada partícula do universo atrai todas as outras partículas com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Esta força age ao longo da linha unindo as duas partículas.

Aceleração gravitacional g, que é a aceleração que um objeto na superfície da Terra experimenta devido à força gravitacional da Terra, será medida neste laboratório. Saber com precisão esse valor é extremamente importante, pois descreve a magnitude da força gravitacional em um objeto na superfície da Terra.

Principles

A força gravitacional F entre duas massas m₁e m₂, com seus centros de massa separados por uma distância r, pode ser escrita como:

F = Gm₁m₂_{/ r}²r^{^},(Equação 1)

onde estão^{^} denota que a direção da força é apontada radialmente para dentro. A descrição a seguir investigará a força gravitacional entre a Terra e um objeto de massa m em sua superfície. Usando a segunda lei de Newton, F = m a, a força na massa m devido à gravidade da Terra pode ser escrita como:

ma = Gm m_E/ r² r^{^}, (Equação 2)

onde G é uma constante universal de proporcionalidade que tem sido medida experimentalmente e m_E é a massa da Terra. Neste contexto, o vetor de aceleração é tipicamente denotado como um gescalar, com uma direção implícita apontando radialmente para dentro, em direção ao centro da Terra. Para as pessoas que estão no chão, essa direção é simplesmente referida como “para baixo”. Cancelando a massa m em ambos os lados da equação; substituição g por a; e observando que a distância entre os centros de massa dos objetos é apenas o raio da Terra, r_E, a magnitude da força descendente pode ser reescrita como:

g = G m_E / r²_E. (Equação 3)

No famoso exemplo da maçã caindo de uma árvore, a Terra está exercendo uma força na maçã para fazê-la cair, e a maçã está exercendo uma força igual e oposta na terra, dada pela Equação 1. A razão pela qual a Terra não é essencialmente afetada pela força da maçã na Terra é que a massa da Terra é muito maior do que a da maçã. Para objetos maiores, uma força maior é necessária para fazê-los acelerar. Assim, a maçã cai em direção à Terra, não à Terra em direção à maçã. Da mesma forma, para as pessoas que estão no chão, a Terra está exercendo uma força ainda maior sobre eles do que na maçã. As pessoas exercem uma força igual e oposta na Terra. Novamente, porque a Terra é muito mais massiva do que uma pessoa, a força gravitacional de uma pessoa, ou mesmo muitas pessoas, exercem sobre a Terra essencialmente passa despercebida.

Este laboratório demonstrará como medir a aceleração g,dada na Equação 3. Uma vez que todas as quantidades do lado direito desta equação são conhecidas, o valor medido de g pode ser comparado ao seu produto. Os valores para g e G são conhecidos por experimentos de 9,8 m/s² e 6,67 x 10^-11 Nm²/kg².

Para este laboratório, uma bola será lançada, e o tempo que a bola levar para percorrer uma distância conhecida será medido. Da cinemática, a distância y pode ser escrita como:

y = y₀ + v₀t + 1/2 a t². (Equação 4)

Se a bola é lançada do resto e a aceleração a é apenas a aceleração gravitacional, isso se torna:

y-y₀ = 1/2 g t². (Equação 5)

Equivalentemente:

g = 2d / t²,(Equação 6)

onde d = y – y₀ é a distância total percorrida. G será agora experimentalmente determinado.

Procedure

1. Meça a aceleração da gravidade na superfície da Terra.

Obtenha uma bola, uma vara de medidor, dois portões de cronometragem e três grampos.
Use um grampo para fixar a vara do medidor a uma mesa ou outra superfície resistente ligeiramente fora do solo.
Use os outros dois grampos para conectar os portões de cronometragem à parte superior e inferior da vara do medidor. Certifique-se de que cada sensor está alinhado com a extremidade da vara do medidor. Desta forma, d é conhecido por ser 1 m na Equação 6.
Uma vez verificado que os portões de cronometragem estão funcionando corretamente, solte a bola através dos dois portões de cronometragem e regise o tempo. Certifique-se de que a bola seja lançada do resto; caso contrário, a Equação 6 não é mais válida.
Repita o passo 1,4 cinco vezes e pegue o tempo médio.
Use o valor médio de t para calcular g. Compare isso com o valor obtido ao usar a massa e o raio da Terra na Equação 3.

A Lei da Gravitação Universal foi o ápice de anos de esforço de Isaac Newton para entender a força da atração entre as massas.

De acordo com a lenda, quando Newton viu uma maçã caindo de uma árvore ele deduziu que uma força deve atrair a maçã para a Terra. Se essa força pudesse agir no topo de uma árvore, poderia agir a distâncias ainda maiores. Na época, ele estava estudando as órbitas da lua e dos planetas e eventualmente formulou a lei da gravitação universal para explicar seu movimento.

A lei de Newton da gravitação universal afirma que cada partícula no universo atrai todas as outras partículas com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

Este vídeo mostrará como medir experimentalmente a aceleração devido à gravidade e compará-la com o valor teórico da equação que define a força gravitacional.

Antes de investigar o experimento, vamos examinar os princípios por trás da Lei da Gravitação Universal. A força gravitacional da Terra na Lua é igual em magnitude e oposta em direção à força da lua na Terra. Esta força FG age ao longo da linha unindo seus centros de massa.

De acordo com a lei da gravidade, FG é igual a G – a constante gravitacional universal– vezes o produto das duas massas, divididas pelo quadrado de r, que é a distância entre seus centros de massa.

Com esta expressão, é possível calcular a força gravitacional que a Terra exerce sobre um objeto a qualquer distância, inclusive perto ou em sua superfície. No caso da maçã cair de uma árvore, digamos que a massa da maçã é m, a massa da Terra é mE e o raio é rE.

A segunda lei de newton afirma que a força é igual a aceleração em massa. Se combinarmos esta equação, aplicada à maçã, com a lei da gravidade, podemos cancelar a massa m da maçã de ambos oslados. Neste contexto, a aceleração é tipicamente denotada pela letra g

Agora, a força gravitacional na maçã é dada pela Lei da Gravitação Universal, mas a partir da segunda lei de movimento, essa força também pode ser expressa como mg. Como vimos anteriormente com o exemplo da Terra e da Lua, a força da Terra na maçã é a mesma que a força da maçã na Terra. Mas por que só vemos a maçã cair em direção à Terra? Por que não vemos a Terra se mover em direção à maçã?

Se olharmos para trás na segunda lei de Newton, podemos reorganizá-la para mostrar que a aceleração é igual à força dividida por massa. Ou seja, para uma determinada aceleração da força é inversamente proporcional à massa. Como a Terra é muito mais massiva que a maçã, a aceleração da Terra em direção à maçã é insignificante e essencialmente indetectável. E é por isso que a maçã cai da árvore.

Voltando à equação gravitacional para g, já que todos os valores do lado direito – a constante gravitacional universal, a massa da Terra e o raio da Terra – são conhecidos por um objeto próximo à superfície da Terra, a magnitude de g também é valor padrão, que é de 9,8 metros por segundo ao quadrado.

No entanto, esse valor pode ser calculado experimentalmente simplesmente soltando uma bola de uma altura conhecida e aplicando as equações kinematicas. E vamos demonstrar como fazer isso nas seguintes seções.

Este experimento usa uma bola de metal, um bastão de medidor, um sensor do qual a bola será suspensa, outro sensor no qual a bola pousará, um temporizador conectado a ambos os sensores, um grampo e um suporte de vara. Primeiro, use o grampo para fixar o sensor de esfera à haste, pelo menos 0,5 metros acima da superfície da mesa. Em seguida, coloque o segundo sensor diretamente abaixo do primeiro sensor.

Em seguida, meça a distância entre os sensores superior e inferior. A distância deve ser medida em relação ao fundo da bola.

Agora, solte a bola do sensor para que ela caia sobre o sensor inferior e registe a hora.

Repita este procedimento cinco vezes e, em seguida, calcule o tempo médio de queda

A partir do vídeo cinemático desta coleção, sabemos que esta fórmula descreve a posição em movimento unidimensional de um objeto com aceleração constante.

Uma vez que estamos lidando com a gravitação da Terra, a aceleração neste caso é a aceleração devido à gravidade, ou g. E a velocidade inicial é zero, já que a bola estava em repouso antes da queda. Então, se movermos a posição inicial para o outro lado da equação, o lado esquerdo torna-se y menos y0, que não é nada além de d – a distância entre o ponto de medida inicial e final. Agora podemos reorganizar a equação para g.

Para este experimento, d foi de 0,72 metros e o tempo médio de queda livre foi de 0,382 segundos. A aceleração gravitacional experimental resultante é de 9,9 metros por segundo ao quadrado. Experimento e teoria diferem apenas em cerca de 1%, o que indica que a Lei da Gravitação Universal de Newton é uma descrição muito boa da atração gravitacional.

A Lei Universal da Gravitação está envolvida em cálculos realizados por diferentes ramos da engenharia.

O ramo da engenharia mecânica chamado estática está preocupado com as forças em objetos estacionários, como pontes. Engenheiros que projetam pontes usam estáticas, e especialmente a equação F = mg, ao longo de seu trabalho para analisar cargas estruturais.

Uma missão de mapeamento de gravidade da NASA usa dois satélites idênticos, um levando, outro em órbita da Terra juntos. Quando o satélite líder passa por cima de uma calota de gelo ou outra concentração de massa, ele acelera devido à força relativamente maior de atração. O satélite que segue experimenta aceleração semelhante quando passa sobre a mesma área.

Um sistema variado mede como e onde a distância muda entre eles, fornecendo informações sobre a distribuição de concentrações de massa ao redor da Terra.

Você acabou de assistir a introdução de JoVE à lei de newton de gravitação universal. Agora você deve saber como determinar a força gravitacional entre duas massas, e entender como calcular a aceleração devido à força da gravidade na superfície da Terra. Obrigado por assistir!

Results

O valor de g medido a partir do procedimento experimental é mostrado na Tabela 1. O tempo de queda livre da etapa 1.4 é registrado na primeira coluna da Tabela 1. O valor medido de g é então calculado usando a Equação 6. A precisão deste valor pode ser verificada comparando-o com o valor de g calculado a partir da Equação 3 usando os seguintes valores: G = 6,67 x 10^-11 m³kg^-1s^-2, m_E= 5,98 x 10²⁴ kg, e r_E = 6,38 x 10³ km. Essa comparação também é mostrada na Tabela 1 com uma diferença percentual. A diferença percentual é calculada como:

| valor medido – valor esperado | / valor esperado. (Equação 7)

Uma diferença de baixo percentual indica que a lei de Newton da gravitação universal é uma descrição muito boa da gravidade.

Mesa 1. Resultados.

Tempo livre de queda (s)	Medido g	Calculado g	% de diferença
0.45	9.88	9.79	0.9

Applications and Summary

O ramo de mecânica que se preocupa com a análise de forças em objetos que não se movem é chamado de estática. Engenheiros que constroem prédios e pontes usam estáticas para analisar as cargas nas estruturas. A equação F = mg é usada em todo este campo, de modo que uma medição precisa de g é extremamente importante neste caso. A lei de Newton da gravitação universal é usada pela NASA para explorar o sistema solar. Quando enviam sondas para Marte e além, eles usam a lei universal da gravitação para calcular trajetórias de naves espaciais a um nível muito alto de precisão. Alguns cientistas estão interessados em fazer experimentos em ambientes de gravidade zero. Para isso, os astronautas da Estação Espacial Internacional realizam experimentos para eles. A estação espacial está em uma órbita estável ao redor da Terra por causa da nossa compreensão da lei universal da gravitação.

Neste experimento, a aceleração gravitacional de um objeto na superfície da Terra foi medida. Usando uma bola com dois portões de cronometragem ligados a uma vara de medidor, o tempo que levou para a bola viajar 1 m de repouso foi medido. Utilizando equações cinemáticas, calculou-se a aceleração g e constatou-se estar muito próximo do valor aceito de 9,8 m/s².

Transcript

The Law of Universal Gravitation was the culmination of years of effort by Isaac Newton to understand the force of attraction between masses.

According to legend, when Newton saw an apple dropping from a tree he deduced that a force must draw the apple to the Earth. If this force could act at the top of a tree, it could act at even greater distances. At the time, he was studying the orbits of the moon and planets and eventually formulated the law of universal gravitation to explain their motion.

Newton’s law of universal gravitation states that every particle in the universe attracts every other particle with a force proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of the distance between them.

This video will show how to experimentally measure the acceleration due to gravity and compare it to the theoretical value from the equation defining gravitational force.

Before delving into the experiment, let’s examine the principles behind the Law of Universal Gravitation. The gravitational force of the Earth on the moon is equal in magnitude and opposite in direction to the force of the moon on the Earth. This force FG acts along the line joining their centers of mass.

According to the law of gravity, FG equals G – the universal gravitational constant, times the product of the two masses, divided by the square of r, which is the distance between their centers of mass.

With this expression, it is possible to calculate the gravitational force Earth exerts on an object at any distance, including near or at its surface. In the case of the apple falling from a tree, let’s say that the apple’s mass is m, the Earth’s mass is mE and the radius is rE.

Newton’s second law of motion states that force equals mass times acceleration. If we combine this equation, applied to the apple, with the law of gravity, we can cancel the apple’s mass m from both sides. In this context, acceleration is typically denoted by the letter g

Now, the gravitational force on the apple is given by the Law of Universal Gravitation, but from the second law of motion, this force may also be expressed as mg. As we saw earlier with the Earth and moon example, the force of the Earth on the apple is the same as the force of the apple on the Earth. But why do we only see the apple fall toward the Earth? Why do we not see the Earth move toward the apple?

If we look back at Newton’s second law of motion, we can rearrange it to show that acceleration is equal to force divided by mass. That is, for a given force acceleration is inversely proportional to mass. Because the Earth is so much more massive than the apple, the acceleration of the Earth toward the apple is insignificant and essentially undetectable. And that’s why the apple falls from the tree.

Going back to the gravitation equation for g, since all the values on the right hand side – the universal gravitational constant, the mass of the earth and the radius of the earth — are known for an object close to earth’s surface, the magnitude of g is also standard value, which is 9.8 meters per second squared.

However, this value can be calculated experimentally simply by dropping a ball from a known height and applying the kinematical equations. And we will demonstrate how to do that in the following sections.

This experiment uses a metal ball, a meter stick, one sensor from which the ball will be suspended, another sensor on which the ball will land, one timer connected to both sensors, one clamp, and one rod-stand. First, use the clamp to attach the ball sensor to the rod, at least 0.5 meters above the surface of the table. Then, place the second sensor directly below the first sensor.

Next, measure the distance between the top and bottom sensors. The distance should be measured with respect to the bottom of the ball.

Now, release the ball from the sensor so it falls onto the lower sensor and record the time.

Repeat this procedure five times and then calculate the average fall time

From the kinematics video in this collection, we know that this formula describes position in one-dimensional motion of an object with constant acceleration.

Since we are dealing with Earth’s gravitation, the acceleration in this case is the acceleration due to gravity, or g. And the initial velocity is zero, since the ball was at rest before the drop. So if we move the initial position to other side of the equation, the left side becomes y minus y0, which is nothing but d – the distance between the initial and final measure point. Now we can rearrange the equation for g.

For this experiment, d was 0.72 meters and the average free fall time was 0.382 seconds. The resulting experimental gravitational acceleration is 9.9 meters per second squared. Experiment and theory differ only by about 1%, which indicates that Newton’s Law of Universal Gravitation is a very good description of gravitational attraction.

The Universal Law of Gravitation is involved in calculations performed by different branches of engineering.

The branch of mechanical engineering called statics is concerned with the forces on stationary objects, like bridges. Engineers designing bridges use statics, and especially the equation F = mg, throughout their work to analyze structural loads.

A NASA gravity-mapping mission uses two identical satellites-one leading, another trailing-orbiting Earth together. When the leading satellite passes over an ice cap or other mass concentration, it accelerates due to relatively larger force of attraction. The trailing satellite experiences similar acceleration when it passes over the same area.

A ranging system measures how and where the distance changes between them, providing information about the distribution of mass concentrations around the Earth.

You’ve just watched JoVE’s introduction to Newton’s law of universal gravitation. You should now know how to determine the gravitational force between two masses, and understand how to calculate the acceleration due to the force of gravity at the Earth’s surface. Thanks for watching!