Colapso de Colunas de Aço
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Visão Geral
Fonte: Roberto Leon, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Virginia Tech, Blacksburg, VA
No projeto de obras civis, é importante entregar estruturas que não só sejam seguras sob cargas inesperadas, mas também proporcionem um excelente desempenho sob cargas diárias a um custo econômico razoável. Este último é frequentemente vinculado ao uso mínimo de materiais, facilidade de fabricação e construção rápida no campo. Estruturas feitas de membros de aço podem ser muito econômicas devido à grande força do material e à extensa pré-fabricação de seus membros e conexões, que ajudam a maximizar a velocidade de construção no local. Geralmente, o esqueleto de uma estrutura de aço será muito fino em comparação com um concreto armado. Embora seu comportamento na tensão seja regido principalmente pela força do material, o aço na compressão é regido por outro modo de falha comum a todos os materiais- fivela. Este comportamento é facilmente demonstrado pressionando para baixo em uma régua de madeira esbelta, que sob uma carga compressiva de repente se moverá de lado e perderá a capacidade de carga. Este fenômeno ocorrerá em qualquer membro esguio de uma estrutura. Neste laboratório, vamos medir a capacidade de entortar de uma série de colunas de alumínio esbelto para ilustrar este modo de falha, que ao longo do tempo levou a muitas falhas catastróficas, incluindo a da Ponte do Rio Quebec, que foi erguida em 1918.
Princípios
Uma vez que o fenômeno da fivela é facilmente observável, era bem conhecido desde a antiguidade, mas insights analíticos sobre o problema da fivela não ganharam atenção até 1700, quando os fundamentos matemáticos da física se tornaram um assunto popular de estudo. Leonhard Euler, um famoso matemático suíço, foi o primeiro a fornecer a solução para a carga de fivela de uma coluna simplesmente apoiada em 1742. Euler formulou sua solução argumentando que uma coluna perfeitamente reta poderia estar em equilíbrio em duas configurações: uma não deformada e uma deformada (posição ligeiramente dobrada).
Para a coluna deformada, Euler postulou que o equilíbrio em uma configuração ligeiramente dobrada em que os momentos externos, dado pela carga P agindo em uma excentricidade y, são equilibrados pelos momentos internos (M):
(Eq. 1)
A quantidade y é o deslocamento lateral ao longo do comprimento z. A primeira derivada de y é a inclinação, e a segunda derivada de y é a curvatura do membro. A resistência interna é proporcional à curvatura, ou ao momento interno dividido pela rigidez de dobra (IE), de modo que:
(Eq. 2)
Nesta equação E está o módulo de elasticidade e eu sou o momento da inércia, uma propriedade geométrica da seção. Substituir (Eq. 2) em (Eq. 1) e defini-lo igual a zero dá a equação diferencial tradicional de fivela, onde y é a deformação horizontal, e k é uma variável de substituição usada para simplificar as equações.
(Eq. 3)
Se assumirmos que a deformação da coluna ao longo de seu comprimento z é dada por:
(Eq. 4)
e que a coluna tem extremidades fixadas, e que essas extremidades não se deslocam lateralmente em relação umas às outras, então a condição de limite em z = 0 e L, o deslocamento lateral, é zero. Assim
(Eq. 5)
onde N= 1,2, …. O menor valor para N é 1, que é a carga de fivela elástica (P crítico ou P cr). Para uma coluna com extremidades fixas, (ou seja, com extremidades livres para rodar, mas não traduzidas como as condições de limite acima) Pcr é dado pela carga de fivela euler:
(Eq. 6)
É importante notar que esta equação não contém termos relacionados à força do material, apenas ao seu módulo de elasticidade (E), dimensões e comprimento. O momento da inércia (I) de uma seção composta por partes retangulares é dado pela somatória sobre o centroide da seção de dois componentes: o momento da inércia do retângulo individual (bd3/12) mais sua área (A) vezes sua distância do centroide de toda a seção (d):
(Eq. 7)
Eq. 7 destaca que o valor de I pode ser aumentado significativamente colocando a maior parte do material o mais longe possível do centroide (ou seja, maximizando d). Por exemplo, para uma área total fixa de 13 polegadas.2, pode-se optar por duas distribuições: (a) um único retângulo de 13 in. x 1 in., resultando em um total I de 183 in.4, ou (b) uma seção em forma de W com duas flanges de 6,5 in. x 0,45 in. conectado com uma teia de 0,35 em x 19,1 em. resultando em um total de I de 761 em4. Claramente a forma W será um uso muito mais eficiente do material no que diz respeito à compressão, pois fornecerá mais de 4 vezes mais capacidade de fivela. A forma padrão AISC W real com uma área de 13 em2,um W21x44 (profundidade nominal de 21 polegadas e um peso de 44 lbs. por pé) fornece um I de 843 em4 ou mais de 4,5 vezes o da seção retangular.
A relação entre o momento da inércia(I) e a área (A)é definida pelo raio de giro(r):
(Eq. 8)
A capacidade de fivela às vezes é expressa como um estresse crítico (Fcr) dividindo a carga crítica pela área:
(Eq. 9)
É preciso ter em mente que existem algumas limitações inerentes à derivação de Eq. (6) e Eq. (9) na qual eles assumem:
- Comportamento puramente elástico e, portanto, são válidos apenas até o limite proporcional do material.
- A carga é aplicada no centroid da coluna, o que é difícil de conseguir na prática. Assim, excentricidades iniciais acidentais desempenharão um papel no design.
- A coluna é inicialmente perfeitamente reta. Uma vez que as formas de aço são produzidas por um processo de rolagem, eles terão um camber e varredura (ou seja, eles serão ligeiramente curvados ao longo de ambos os eixos principais). Essas imperfeições iniciais são pequenas, na ordem de L/1000, mas farão com que o comportamento real da coluna se desvie da de uma coluna idealizada.
- Uma forma desviada, que no nosso caso tomou a forma de uma função trigonométrica (ou seja, uma combinação de funções seno e cossina). Para este caso, usamos a solução analítica correta, mas isso nem sempre é possível. Em geral, qualquer função que se aproxime da solução correta dará uma aproximação satisfatória, mas não uma solução exata.
- Condições de fim idealizadas. A fim de resolver para a carga de fivela, as condições de limite para o problema matemático tem que ser estabelecida, e nós assumimos que a coluna tinha extremidades fixadas. Além disso, presumiu-se que as extremidades da coluna não se traduziam lateralmente em relação umas às outras (ou seja, este é o caso impedido de oscilação, que ocorre em quadros cintados, ao contrário do caso de oscilação permitido, que ocorre em quadros nãocidos). Na vida real, essas condições idealizadas só podem ser aproximadas.
- A ausência de quaisquer tensões residuais, que decorrem do resfriamento e rolamento das formas de aço durante a produção. Estes estresses resultam em rendimento mais cedo do que o esperado e a perda de momento de inércia, já que as seções que rendem têm um módulo de elasticidade de zero. À medida que a rigidez da coluna diminui, a capacidade da coluna tem que diminuir, já que o Eq. 1 tem IE no numerador.
As segundas, terceiras e últimas limitações são geralmente tratadas como imperfeições iniciais, e suas magnitudes são fundamentadas para a tolerância estabelecida à construção e à fabricação. Foram desenvolvidas curvas de design de colunas que abordam essas questões de forma satisfatória.
Diz-se que um sistema estrutural/mecânico é sensível à imperfeição se a capacidade de carga do sistema imperfeito for substancialmente menor do que a do sistema perfeito. Por outro lado, diz-se que um sistema é imperfeito insensível se não houver perda da capacidade de carga por causa das imperfeições. Diz-se que uma coluna é uma coluna perfeita se for reta, e a carga é concêntrica. Embora isso seja impossível na prática, somos afortunados porque as colunas são insensíveis de imperfeição e, portanto, não terão perda súbita da capacidade de carga sob cargas normais. Por outro lado, esferas e cilindros são sensíveis à imperfeição e, como resultado, muito cuidado deve ser dado durante a construção de conchas (cúpulas, torres de resfriamento e tanques de armazenamento) e outras estruturas para obter a geometria correta. O efeito das imperfeições é acelerar a taxa de deflexão lateral, pois tendem a aumentar os momentos de dobra na coluna.
As limitações relacionadas à quinta suposição, a das condições de limite, podem ser tratadas simplesmente pelo uso do conceito de comprimento efetivo(kL). O fator de comprimento efetivo k dá a proporção do comprimento entre os pontos de inflexão (ou seja, pontos de curvatura zero ou zero ao longo da coluna). Portanto, Eq. (9) pode ser reescrito como:
(Eq. 10)
O denominador (kL/r) é conhecido como a esbelta da coluna. Um valor baixo (por exemplo, kL/r 100) é sinônimo de uma coluna esbelta, que é muito suscetível a fivelas.
Deve-se notar que o estresse crítico (σcr) para o design é limitado pela força de rendimento do material (σy). Esta restrição significa que para qualquer força de aço, digamos σy = Fy = 50 ksi , haverá uma esbelta abaixo da qual a fivela não ocorrerá. Se equipararmos σcr = 50 ksi em Eq. (10), o limite é kl/r < 75,6.
Outra ressalva importante é que a formulação acima indica que a fivela ocorrerá de repente à medida que a carga axial atinge seu valor crítico (Pcr). Matematicamente, este fato indica que a fivela é um problema de bifurcação. Devido às imperfeições iniciais, excentricidades acidentais e estresses residuais, entre outros fatores, haverá uma transição entre o estresse elástico e a carga de abóbora. O resultado dessas imperfeições iniciais é que na vida real haverá uma transição suave entre a curva de fivela elástica e os estados de limite de rendimento.
Neste ponto, é importante notar que a instabilidade ou o fenômeno em discussão é apenas um dos muitos que podem ocorrer. As instabilidades ocorrem tanto no nível local quanto global. Instabilidade de nível global é quando todos os elementos (um elemento é definido como qualquer seção retangular que compõe uma forma) se movem juntos durante a fivela. A dobra local ocorre quando apenas um dos elementos se move. Exemplos de fivela global são:
- A fivela flexural, que é o caso discutido acima.
- Dobra torcional, na qual a seção gira sobre seu centroide longitudinal. Seções que têm pequena rigidez torcional (J) são propensas a este tipo de falha.
- A dobra flexural-torcional ou torcional lateral, que é uma combinação dos dois primeiros tipos de fivela global e é o modo de instabilidade predominante para vigas.
- A fivela de tesoura, na qual o entortamento ocorre nas finas teias de vigas profundas devido à formação de um campo de tensão na direção diagonal.
As seções também podem ceder localmente. Isso é análogo a cada seção da coluna dobrando individualmente como uma placa. A fivela local é regida pela razão largura-espessura (b/t) ou razão de esbelta da seção e pela razão de aspecto da placa(b/a, onde a é o comprimento). A esbelta depende se ambas as bordas da placa estão conectadas a outra seção (estojo endurecido) ou se apenas uma borda está conectada (caso nãotiffened). A capacidade de fivela para uma placa de largura b e espessura t,análoga a Eq. (10) para uma coluna, é dada por:
(Eq. 11)
O coeficiente de fivela K reflete as condições de limite e a proporção (comprimento-a-largura) da placa. Os valores de K estão amplamente disponíveis em manuais de design estrutural.
Procedimento
- Obtenha várias peças longas de uma barra de alumínio de 1/4 por 1/4 (6061 ou similar), e corte-as em comprimentos de 72, 60, 48, 36, 24, 12 e 8 in., respectivamente. Rode as duas extremidades das barras para uma circunferência de 1/8 dentro.
- Meça as dimensões da barra (comprimento, largura e espessura) até os 0,02 in mais próximos.
- Máquina dois pequenos blocos de aço (2 in. x 2 in. x 2 in.) para ter uma penetração circular muito suave ao longo de um de seus lados para servir como suporte final da coluna. Forneça uma inserção no lado oposto, para que o bloco possa ser fixado na máquina de teste.
- Insira os blocos e uma amostra de teste na máquina de teste. Certifique-se de alinhar o espécime com o máximo de cuidado possível para eliminar excentricidades.
- Coloque a máquina de teste no controle de deflexão e programe-a lentamente para aplicar uma deformação de até 0,2 in. e registrar carga e deformação axial. O limite pode ser variado com o comprimento, mas o teste deve ser interrompido quando a carga tiver estabilizado ou quando atingir não mais do que uma redução de carga de 20% da capacidade máxima.
- Registo a carga máxima atingida e preencha a tabela de resultados.
- Repita as etapas 1.4 a 1.6 para todas as colunas.
O fenômeno de fivela é de importância crítica na concepção de estruturas seguras sob cargas inesperadas e também fornecem excelente desempenho sob cargas diárias a um custo razoável.
Devido à força do material, o esqueleto de uma estrutura de aço é muito fino quando comparado com tijolos ou concreto armado. A pré-fabricação de componentes de aço aumenta a velocidade de construção no local e torna as estruturas metálicas mais econômicas do que outros materiais de construção.
Sob uma carga, os elementos estruturais são submetidos a forças de tensão ou compressão. Sob tensão, o comportamento do aço é regido principalmente pela força do material. Sob compressão, o aço é submetido a fivelas. Esse fenômeno ocorre em qualquer estrutura esbelta indiferente ao material.
Buckling consiste em uma súbita deflexão lateral da coluna. Um pequeno aumento na carga aplicada pode levar a um colapso repentino e catastrófico da estrutura. O colapso da ponte do rio Quebec devido à dobra dos membros do cordão inferior da estrutura é um exemplo de tal falha catastrófica. Este vídeo discutirá o modo de falha de fivela e mostrará como determinar a capacidade de fivela de colunas esbeltas.
Uma coluna sob uma carga compressiva axial irá dobrar, ou de repente se mover para o lado, e perder a capacidade de carga de carga. Euler, um matemático suíço, foi o primeiro a fornecer a solução para a carga de fivela, argumentando que uma coluna perfeitamente reta poderia ser um equilíbrio em duas configurações: uma não deformada e uma deformada.
Euler postulou que no equilíbrio em uma configuração ligeiramente deformada, os momentos internos M são equilibrados pelos momentos externos dados pela carga P agindo em uma excentricidade y. A segunda derivada do deslocamento lateral y é a curvatura do membro. Essa quantidade é proporcional à resistência interna ou ao momento interno dividido pela rigidez de dobra.
Nesta equação, E é o módulo da elasticidade, e eu sou o momento da inércia, uma propriedade geométrica da seção. Ao substituir a primeira equação na segunda equação, temos a equação diferencial de fivela, onde k é uma variável de substituição.
Vamos supor que a deformação da coluna seja dada pela seguinte função. Assumimos também que a coluna tem extremidades fixadas que não se deslocam lateralmente em relação umas às outras. Em seguida, a condição de limite em Z é igual a zero e Z é dado pelo deslocamento lateral e igual a zero. Como consequência, kL é igual a N pi. Aqui, N é um inteiro, e seu menor valor é aquele que é a carga de fivela elástica P crítica. Para uma coluna com extremidades fixas, P crítico é dado pela carga de fivela euler.
A carga crítica é a carga mínima que pode fazer com que a coluna aperte. Note que esta equação não contém termos relacionados à força do material, apenas à sua rigidez e dimensões. A fim de aumentar o valor da carga crítica para uma coluna, podemos maximizar o momento da inércia.
Vamos considerar uma seção em forma de W. Seu momento de inércia em relação ao centroide da seção é dado pela soma do momento de inércia para cada retângulo. Para cada retângulo, o momento total tem dois componentes. O momento de inércia do retângulo individual, mais sua área, vezes sua distância até o centroide de toda a seção. Em consequência, o valor de eu pode ser aumentado significativamente colocando a maior parte do material o mais longe possível do centroide.
A relação entre o momento da inércia I e a área A é definida pelo raio de gyration r. A capacidade de fivela às vezes é expressa como um estresse crítico, Fcr, dividindo a carga crítica pela área. Tenha em mente que existem algumas limitações inerentes à derivação da capacidade de fivela com a teoria de Euler, uma vez que assumimos: comportamento puramente elástico, carga aplicada no centroide da coluna, a coluna é inicialmente perfeitamente reta, uma forma desviada que dá uma solução exata, condições de limite idealizadas, a ausência de qualquer estresse residual.
Essas limitações são geralmente tratadas como imperfeições, e suas magnitudes são fundamentais para a tolerância à construção estabelecida. As limitações relacionadas às condições de fronteira podem ser tratadas introduzindo na expressão da capacidade de entortar Euler um fator de comprimento efetivo, k. O denominador é conhecido como a esbelta da coluna. Um baixo valor desse fator, por exemplo, menos de 20, é sinônimo de coluna estonteante. Enquanto um grande valor, por exemplo acima de 100, é sinônimo de uma coluna esbelta muito suscetível a fivelas.
Vamos traçar agora o estresse crítico em função da esbelta lambda eficaz. O estresse crítico é limitado pela força de rendimento do material. O que significa que para qualquer força de aço, haverá um valor da esbelta abaixo da qual a fivela não ocorrerá. A formulação de Euler indica que à medida que a carga axial atinge seu valor crítico, a fivela ocorrerá de repente. No entanto, devido às imperfeições estruturais, há uma transição entre o estresse elástico e a carga de abóbora. Como resultado, na vida real haverá uma transição suave entre a curva de fivela elástica e os estados de limite de rendimento.
Agora que você entende a Teoria de Euler Buckling, vamos usar isso para analisar a capacidade de fivela de colunas de metal fino.
Tenha um conjunto de amostras de teste fabricadas de uma polegada por quarto de polegada corte de barra de alumínio até comprimentos que variam de oito polegadas a 72 polegadas. Máquina ambas as extremidades de cada espécime para um raio de 1/8 de polegada. Meça as dimensões, comprimento, largura e espessura de cada espécime até as 0,02 polegadas mais próximas.
Fabricar um equipamento de teste para os espécimes a partir de dois pequenos blocos de aço aproximadamente duas polegadas de um lado. Máquina um sulco circular muito suave, de meia polegada ao longo de um lado para acasalar com os espécimes. Nas laterais opostas ao sulco, deve-se fornecer uma inserção para fixação na máquina de teste universal. Antes de começar a testar, familiarize-se com a máquina e todos os procedimentos de segurança. Insira os blocos de aço na máquina de teste com uma amostra e certifique-se de que tudo esteja cuidadosamente alinhado para eliminar excentricidades.
No software de teste, defina a máquina para o controle de deflexão e tenha deformações de carga e axial registradas. Programe a máquina para aplicar lentamente à deformação de até 0,2 polegadas e, em seguida, comece o teste. Esse limite pode ser variado com o comprimento da amostra, mas o teste deve ser interrompido quando a carga tiver estabilizado ou antes de cair mais de 20% da capacidade máxima.
Quando o teste estiver completo, regisse a carga máxima alcançada para este espécime. Em seguida, reinicie a máquina e repita o procedimento de teste para as amostras restantes. Depois que todas as amostras foram testadas, você está pronto para olhar os resultados.
Primeiro, calcule o parâmetro lambda, e depois usando a fórmula de Euler, calcule o estresse de fivela para cada espécime. Em seguida, use a força material para calcular a esbelta característica abaixo da qual a fivela não ocorrerá.
Plote a razão entre o estresse de fivela e a força material em função da razão de esbelta. No mesmo gráfico, também plote para todos os espécimes a carga de fivela medida normalizada com a força do material. Agora compare os valores medidos com os valores calculados.
Os resultados experimentais mostram duas regiões distintas. Quando as colunas são relativamente longas, os dados seguem a curva de fivela de Euler. À medida que as colunas começam a ficar mais curtas, a carga crítica começa a se aproximar da força do material. Neste ponto, o comportamento muda de um puramente elástico para um inelástico parcial que se aproxima assintóticamente da carga de abóbora da coluna.
A importância da fivela é bem reconhecida na indústria da construção civil, onde o desenho das estruturas metálicas se baseia em uma boa compreensão das questões de fivela.
Economia e design exigem que o volume de material seja minimizado, evitando também instabilidades de entortamento. Nas estruturas das pontes, isso é conseguido pelo uso generalizado de membros em forma de W, e adicionando endurecedores nas vigas da placa da ponte para reduzir os comprimentos de fivela nas placas.
Diz-se que um sistema estrutural é sensível à imperfeição se sua capacidade de carga é substancialmente menor do que a do sistema perfeito. Embora as colunas sejam insensíveis, esferas e cilindros são sensíveis às imperfeições e, como resultado, muito cuidado deve ser dado durante a construção de conchas; por exemplo, cúpulas, torres de resfriamento e tanques de armazenamento, e outras estruturas para obter a geometria correta.
Você acabou de assistir a introdução de JoVE a dobrar colunas de aço. Agora você deve entender como aplicar a Teoria de Buckling de Euler para determinar a capacidade de fivela de membros de metal fino.
Obrigado por assistir!
Resultados
Plote os resultados da tabela como estressamento vs. slenderness (kL/r), juntamente com a curva dada por Eq. 9. Compare seus resultados com os valores previstos. Os resultados experimentais mostram duas regiões distintas. Quando as colunas são relativamente longas, a carga crítica é dada multiplicando Eq. 9 pela área da coluna. À medida que as colunas começam a ficar mais curtas, a carga crítica começa a se aproximar da força do material. Neste ponto, o comportamento muda de um puramente elástico para um inelástico parcial que se aproxima assintóticamente da carga de abóbora da coluna. Quando uma coluna se dobra elástica, a deformação pode se tornar tão grande de repente e desencadear falhas no membro dobrado ou em adjacentes que ficam sobrecarregados à medida que o membro dobrado derrama suas cargas. Assim, no projeto é importante evitar falhas elásticas de fivelas em membros estruturais primários.
Applications and Summary
Este experimento demonstrou a validade da abordagem Euler para calcular cargas locais de fivelas para colunas simples. Embora o problema se torne muito mais complicado se as condições de limite não forem bem conhecidas, o membro não é prismático, ou se o material não apresenta uma curva de tensão bi-linear, a solução do problema segue o mesmo processo geral. Em muitos casos práticos, não será possível resolver exatamente as equações diferenciais resultantes, mas existem muitas técnicas numéricas que podem ser aplicadas para aproximar a solução desses problemas. A importância do entortar é reconhecida no aforismo da indústria da construção que sustenta que o projeto bem sucedido das estruturas metálicas se baseia em uma boa compreensão das questões de fivela, enquanto o projeto bem sucedido de estruturas de concreto armado baseia-se em um bom detalhamento.
A economia em design exige que o volume do material seja minimizado. Este detalhe é particularmente verdadeiro para a construção de metais e estruturas de pontes, onde os custos dos materiais são uma parte significativa do custo estrutural total. Em geral, a minimização do custo se resume a obter o menor L/r. Para um L fixo, isso significa obter o maior r (ou maior I possível para um dado A), levando ao uso generalizado de membros em forma de W. Para um rfixo, isso significa diminuir L, o que implica o uso de membros bracing. Para uma forma de W, haverá um Ix e Iy, e correspondente (kL/r)x e (kL/r)y; para um design ideal, ambos os valores devem estar próximos um do outro, o que muitas vezes é obtido proporcionando mais bracing na direção y. Outra forma de evitar a fivela é adicionar endurecedores, que reduzem os comprimentos de fivela nas placas; exemplos destes incluem endurecedores em vigas de placas de ponte e lábios endurecidos em membros estruturais de forma fria.
Transcrição
Buckling phenomenon is of critical importance in designing structures that are safe under unexpected loads and also provide excellent performance under everyday loads at a reasonable cost.
Due to the material’s strength, the skeleton of a steel structure is very slender when compared to brick or reinforced concrete. The prefabrication of steel components increases the onsite construction speed and makes steel structures more economical than other building materials.
Under a load, the structural elements are subjected to tension or compression forces. Under tension, steel behavior is governed primarily by the strength of the material. Under compression, steel is subjected to buckling. This phenomenon occurs in any slender structure indifferent of material.
Buckling consists of a sudden sideway deflection of the column. A small increase in the applied load can lead to a sudden and catastrophic collapse of the structure. The collapse of the Quebec River Bridge due to the buckling of the lower cord members of the structure is an example of such catastrophic failure. This video will discuss the buckling failure mode and show how to determine the buckling capacity of slender columns.
A column under an axial compressive load will buckle, or suddenly move sideways, and lose load carrying capacity. Euler, a Swiss mathematician, was the first to provide the solution to the buckling load by reasoning that a perfectly straight column could be an equilibrium in two configurations: an undeformed one and a deformed one.
Euler postulated that at the equilibrium in a slightly deformed configuration, the internal moments M are balanced by the external moments given by the load P acting at an eccentricity y. The second derivative of the lateral displacement y is the curvature of the member. This quantity is proportional with the internal resistance or to the internal moment divided by the bending stiffness.
In this equation, E is the modulus of elasticity, and I is the moment of inertia, a geometrical property of the section. By substituting the first equation into the second equation, we get the differential equation of buckling, where k is a substitution variable.
Let’s assume that the column deformation is given by the following function. We also assume that the column has pinned ends that do not displace laterally with respect to one another. Then, the boundary condition at Z equals zero and Z equals L is given by the lateral displacement y equals zero. As a consequence, kL equals N pi. Here, N is an integer, and its lowest value is one which is the elastic buckling load P critical. For a column with pinned ends, P critical is given by the Euler buckling load.
The critical load is the minimum load that may cause the column to buckle. Note that this equation does not contain any terms related to the strength of the material, only to its stiffness and dimensions. In order to increase the value of the critical load for a column, we can maximize the moment of inertia.
Let’s consider a W-shaped section. Its moment of inertia with respect to the centroid of the section is given by the summation of the moment of inertia for each rectangle. For each rectangle, the total moment has two components. The moment of inertia of the individual rectangle, plus its area, times its distance to the centroid of the entire section. In consequence, the value of I can be increased significantly by putting most of the material as far away from the centroid as possible.
The relationship between the moment of inertia I and area A is defined by the radius of gyration r. The buckling capacity is sometimes expressed as a critical stress, Fcr, by dividing the critical load by the area. Keep in mind that there are some limitations inherent in the derivation of buckling capacity with Euler theory, since we assume: purely elastic behavior, load applied at the centroid of the column, the column is initially perfectly straight, a deflected shape which gives an exact solution, idealized boundary conditions, the absence of any residual stresses.
These limitations are generally treated as imperfections, and their magnitudes are key to established construction tolerance. The limitations related to the boundary conditions can be treated by introducing in the expression of Euler buckling capacity an effective length factor, k. The denominator is known as the slenderness of the column. A low value of this factor, for example less than 20, is synonymous with a stocky column. While a large value, for example higher than 100, is synonymous with a slender column very susceptible to buckling.
Let’s plot now the critical stress as a function of the effective slenderness lambda. The critical stress is capped by the yield strength of the material. Meaning that for any given steel strength, there will be a value of the slenderness below which buckling will not occur. Euler formulation indicates that as the axial load reaches its critical value, buckling will occur suddenly. However, because of structural imperfections, there is a transition between the elastic buckling stress and the squash load. As a result, in real life there will be a smooth transition between the elastic buckling curve and the yield limit states.
Now that you understand Euler Buckling Theory, let’s use this to analyze the buckling capacity of slender metal columns.
Have a set of testing specimens manufactured from one inch by a quarter inch aluminum bar cut to lengths ranging from eight inches to 72 inches. Machine both ends of each specimen to a radius of 1/8 of an inch. Measure the dimensions, length, width, and thickness, of each specimen to the nearest 0.02 inches.
Manufacture a testing fixture for the specimens from two small blocks of steel approximately two inches on a side. Machine a very smooth, half-inch circular groove along one side to mate with the specimens. On the sides opposite the groove, an insert should be provided for fixing to the universal testing machine. Before you begin testing, familiarize yourself with the machine and all safety procedures. Insert the steel blocks into the testing machine with a specimen and ensure that everything is carefully aligned to eliminate eccentricities.
In the test software, set the machine to deflection control and have both load and axial deformations recorded. Program the machine to slowly apply to deformation of up to 0.2 inches and then begin the test. This limit can be varied with specimen length, but the test should be stopped when the load has stabilized or before it drops more than 20% from the maximum capacity.
When the test is complete, record the maximum load reached for this specimen. Then reset the machine and repeat the testing procedure for the remaining specimens. After all of the specimens have been tested, you are ready to look at the results.
First, calculate the slenderness parameter lambda, and then using Euler’s formula, calculate the buckling stress for each specimen. Next, use the material strength to calculate the characteristic slenderness below which buckling will not occur.
Plot the ratio between the buckling stress and the material strength as a function of the slenderness ratio. On the same graph, also plot for all specimens the measured buckling load normalized with the material strength. Now compare the measured values with the calculated values.
The experimental results show two distinct regions. When the columns are relatively long, the data follow the Euler buckling curve. As the columns begin to get shorter, the critical load begins to approach the strength of the material. At this point, the behavior shifts from a purely elastic one to a partial inelastic one that approaches asymptotically the squash load of the column.
The importance of buckling is well-recognized in the construction industry where the design of steel structures is predicated on a good grasp of buckling issues.
Economy and design requires that the volume of material be minimized while also preventing buckling instabilities. In bridge structures, this is achieved by the widespread use of W-shaped members, and by adding stiffeners in the bridge plate girders to reduce the buckling lengths in plates.
A structural system is said to be imperfection sensitive if its load carrying capacity is substantially less than that of the perfect system. While columns are imperfection insensitive, spheres and cylinders are sensitive to imperfections and, as a result, much care must be given during construction of shells; for example, domes, cooling towers, and storage tanks, and other such structures to obtain the correct geometry.
You have just watched JoVE’s introduction to buckling of steel columns. You should now understand how to apply Euler’s Theory of Buckling to determine the buckling capacity of slender metal members.
Thanks for watching!