18.12: Смешанные стратегии

В теории игр смешанные стратегии подразумевают, что игроки выбирают свои действия случайным образом из набора доступных вариантов. Этот подход контрастирует с чистыми стратегиями, где игроки выбирают определенное действие с уверенностью. Смешанные стратегии становятся актуальными в сценариях, где нет равновесия чистой стратегии.

Равновесие Нэша со смешанными стратегиями возникает, когда игроки принимают стратегии таким образом, что никто не может получить выгоду, односторонне изменив свою собственную стратегию, учитывая стратегии других. В этом равновесии стратегия каждого игрока является оптимальным ответом на другие.

Рассмотрим игру «камень-ножницы-бумага», где игроки могут выбирать между тремя вариантами: камень, бумага или ножницы. В этой игре камень побеждает ножницы, ножницы побеждают бумагу, а бумага побеждает камень. Ничья происходит, если оба игрока выбирают один и тот же предмет. Поскольку каждый выбор можно отразить, доминирующего хода нет, что приводит к отсутствию равновесия Нэша с чистой стратегией.

Однако существует равновесие Нэша со смешанными стратегиями, где каждый игрок выбирает камень, бумагу и ножницы с равной вероятностью (по одной трети каждый). Эта случайная стратегия обеспечивает непредсказуемость, поддерживая равновесие, поскольку ни один игрок не может предвидеть ход другого.

Это равновесие демонстрирует, как смешанные стратегии могут стабилизировать игру, нейтрализуя прямые контрдействия между игроками.

Игроки обычно выбирают чистую стратегию, в которой они с уверенностью выбирают конкретное действие. Тем не менее, не во всех играх есть чистые стратегии, что приводит к тому, что игроки выбирают смешанные стратегии, случайным образом выбирая из доступных действий.

Рассмотрим сценарий с пенальти. Кикер может бить как влево, так и вправо.

Вратарь может нырять влево или вправо. Если бьющий игрок и вратарь выбирают одно и то же направление, вратарь выигрывает. В противном случае выигрывает бьющий игрок.

Матрица выплат показывает исходы.

Этот сценарий не приводит к равновесию Нэша в соответствии с чистой стратегией. Это связано с тем, что не существует набора стратегий, в которых оба игрока одновременно выбирают наилучшую реакцию на выбор другого.

Здесь в игре царит равновесие Нэша по смешанным стратегиям, когда каждый игрок выбирает лево или вправо в 50% случаев.

Эта случайность гарантирует, что ни один из игроков не сможет предсказать или получить преимущество, поскольку оба варианта одинаково вероятны.

Выбирая случайным образом, и бьющий игрок, и вратарь сохраняют свои действия непредсказуемыми, а это означает, что ни у одного игрока нет причин переключаться с этой стратегии, поскольку она не дает сопернику преимущества.