Name: finding a transfer function from state space
Uploaded: 2024-11-21T14:54:05.000Z
Duration: 1 min 21 s
Channel: JoVE

Представление в пространстве состояний также может быть преобразовано в передаточную функцию в системном анализе.
Преобразование начинается с заданного состояния и выходных уравнений.
Здесь применяется преобразование Лапласа, предполагающее нулевые начальные условия. Это преобразует уравнения из временной области в частотную.
Уравнение состояния решается для X(s), где I представляет матрицу тождества. Затем это решение подставляется в уравнение вывода.
Результирующая матрица, известная как матрица передаточной функции, связывает выходной вектор с входным вектором.
Когда эти векторы являются скалярными, становится возможным найти конечную передаточную функцию, тем самым завершив преобразование из представления в пространстве состояний в передаточную функцию.
Рассмотрим систему, определяемую матрицами различной размерности, которые формируют уравнения состояния и вывода.
В то время как все остальные члены в уравнении передаточной функции уже определены, один член остается неизвестным.
Чтобы найти этот член, используются известные значения матрицы из уравнения состояния. Далее вычисляется обратное.
При подстановке представление в пространстве состояний преобразуется в передаточную функцию.

Пространство состояний для функции передачи

State Space to Transfer Function

Преобразование представления пространства состояний в передаточную функцию является фундаментальным процессом в системном анализе. Он обеспечивает метод перехода от описания во временной области к представлению в частотной области, что имеет решающее значение для упрощения анализа и проектирования систем управления.

Процесс преобразования начинается с представления пространства состояний, характеризуемого уравнением состояния и выходным уравнением. Эти уравнения обычно представляются как:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16102/16102_PT_equation_001.svg" style="height: 14px;">
<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16102/16102_PT_equation_002.svg" style="height: 14px;">

Где x(t) — вектор состояния, u(t) — входной вектор, y(t) — выходной вектор, а A, B, C и D — матрицы, определяющие динамику системы.

Для преобразования этих уравнений в частотную область применяется преобразование Лапласа, предполагающее нулевые начальные условия. Затем уравнение состояния решается относительно X(s).

Рассмотрим систему с заданными матрицами A, B, C и D. Процесс преобразования включает вычисление обратной величины (SI−A), подстановку известных значений и упрощение выражения для получения передаточной функции. Это преобразование имеет решающее значение для анализа поведения системы, проектирования контроллеров и понимания частотной характеристики системы. 

В заключение следует отметить, что преобразование представления пространства состояний в передаточную функцию включает применение преобразования Лапласа, решение уравнения состояния в частотной области и вывод матрицы передаточной функции, которая упрощается до скалярной передаточной функции для систем с одним входом и одним выходом (SISO).

Представление в пространстве состояний также может быть преобразовано в передаточную функцию в системном анализе.
Преобразование начинается с заданного состояния и выхода...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Электротехника

Unit 1

Раздел 1

Modeling in Time and Frequency Domain

Моделирование во временной и частотной областях

KEY TERMS AND CONCEPTS

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ

finding a transfer function from state space

Finding a transfer function from state-space form is a key step in system analysis. It changes a time-domain model into a frequency-domain form. That makes it easier to study and design control systems.

The process starts with the state-space equations. These include the state equation and the output equation. In these equations, x(t) is the state vector, u(t) is the input vector, y(t) is the output vector, and A, B, C, and D are the matrices that define the system dynamics.

Next, the Laplace transform is applied. This step assumes zero initial conditions. The state equation is then solved for X(s), the state vector in the Laplace domain.

For a system with known A, B, C, and D matrices, the next step is to calculate the inverse of (sI−A). The known values are substituted into the expression, and the result is simplified to obtain the transfer function. This result is especially useful for studying system behavior and frequency response.

The same method gives a transfer function matrix for multi-input, multi-output systems. For single-input, single-output, or SISO systems, that matrix reduces to a scalar transfer function. This conversion is an important tool for control design and system analysis.

Finding a Transfer Function from State Space

finding-a-transfer-function-from-state-space

transfer function in control systems

Transfer Function from Input to Output

The transfer function describes how a linear time-invariant, or LTI, system maps an input to an output in the frequency domain. It gives a compact way to study system behavior without working only in the time domain. It also connects the differential equations of the system to a form that is easier to handle mathematically. For an nth-order LTI system, the behavior is written as a differential equation with constant coefficients. In that equation, r(t) is the input and c(t) is the output. The...

electrical systems

RLC Circuit Transfer Functions

RLC circuits use resistors, capacitors, and inductors to show how electrical signals change over time. In circuit analysis, these passive linear components are arranged so the link between an input and an output can be described with a transfer function. For this topic, the output is the voltage across the capacitor, compared with the input voltage. A series RLC circuit can be analyzed with Kirchhoff's Voltage Law, or KVL. KVL says that the sum of all voltages around a closed loop is zero.

mechanical systems

Transfer Functions in Mechanical Motion

Mechanical motion can be modeled with springs, masses, and viscous dampers. In these models, springs behave like inductors and masses act like capacitors in an electrical network. A viscous damper works like a resistor because it removes energy from the system. A force acts on the mass in the direction of motion. It is balanced by the spring force, the damping force, and the force from the mass’s acceleration. Newton’s second law is used to describe this balance, and the sum of the forces on...

electro-mechanical systems

DC Motor Modeling in Electromechanical Systems

DC motor modeling is a key part of electromechanical systems. These systems combine electrical parts and mechanical parts to produce a useful output. A DC motor is one common example because it turns electrical energy into mechanical motion. It is used in many places, from simple fans to complex robotic mechanisms. Inside the DC motor, the armature is a rotating circuit placed in a magnetic field. When current flows through the armature, it experiences a force from the magnetic field. That...

linear approximation in frequency domain

Linearizing Nonlinear RL Circuits

Linearizing nonlinear RL circuits helps turn a hard circuit problem into a simpler linear one. Linear systems follow superposition, which means the total response equals the sum of the responses to separate inputs. They also follow homogeneity, which means scaling the input scales the output by the same amount. Nonlinear systems do not automatically have those properties. For small changes around an operating point, though, a nonlinear system can often be treated as linear. This is done with a...

state space representation

RLC Circuit State Equations

RLC circuit state equations show how a circuit changes over time using state variables. This time-domain method is useful for linear, time-invariant systems, but it also helps when frequency-domain analysis is not enough. It is especially useful for nonlinear systems, time-varying systems, and multiple-input multiple-output systems. The state-space approach turns an nth-order system into a set of simultaneous first-order differential equations called state equations. For a common second-order...

transfer function to state space

Phase-Variable State Equations from Transfer Functions

Phase-variable state equations show how a transfer function can be rewritten for computer simulation. In state-space form, the system is described with state variables, which are the output and its first several derivatives. This makes it easier to model a physical system on a digital computer. The starting point is an nth-order linear differential equation with constant coefficients. Systems like an RLC circuit can be written this way. To build the state equations, the transfer function is...

state space to transfer function

Finding a transfer function from state-space form is a key step in system analysis. It changes a time-domain model into a frequency-domain form. That makes it easier to study and design control systems. The process starts with the state-space equations. These include the state equation and the output equation. In these equations, x(t) is the state vector, u(t) is the input vector, y(t) is the output vector, and A, B, C, and D are the matrices that define the system dynamics. Next, the Laplace...

linear approximation in time domain

Linearizing Nonlinear State-Space Models

Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs. A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its...

key terms and concepts

Learn how state-space equations are converted into a transfer function using the Laplace transform, zero initial conditions, and the inverse of (sI−A).

Finding a Transfer Function from State Space | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Finding a Transfer Function from State Space

Description

Transcript

Tags