Name: linearizing nonlinear state-space models
Uploaded: 2024-11-21T14:54:05.000Z
Duration: 1 min 21 s
Channel: JoVE

Нелинейные системы находят лучшее моделирование в представлении в пространстве состояний.
Рассмотрим простой маятник, представленный в пространстве состояний с центром масс в его половине длины. Вес и прилагаемый крутящий момент являются важными факторами.
Суммирование крутящих моментов приводит к дифференциальному уравнению. Выбираются переменные состояния и формулируются уравнения состояния.
Чтобы линеаризировать уравнение относительно точки равновесия, рассмотрим переменные состояния, возмущенные вокруг точки равновесия.
Используется приближение ряда Тейлора, которое решается, в результате чего получаются уравнения линейного состояния.
Рассмотрим нелинейную пружинную систему. Сформулируем дифференциальное уравнение и внесем небольшое возмущение.
Затем это уравнение линеаризуется. Подставляя его и проводя дифференцирование, получаем линеаризованное промежуточное дифференциальное уравнение.
Равновесная сила используется для вычисления xo, в конечном итоге формируя окончательное линеаризованное дифференциальное уравнение.
Переменные состояния выбираются, а уравнения состояния и вывода записываются, обеспечивая полную модель системы в пространстве состояний. Наконец, все уравнения преобразуются в векторно-матричную форму.

Линейное приближение во временной области

Linear Approximation in Time Domain

Нелинейные системы часто требуют сложных подходов для точного моделирования и анализа, причем представление в пространстве состояний является особенно эффективным. Этот метод особенно полезен для систем, где переменные и параметры изменяются со временем или в зависимости от условий эксплуатации, например, в простом маятнике или поступательной механической системе с нелинейными пружинами.

Для простого маятника с массой, равномерно распределенной по его длине, и центром масс, расположенным на половине длины маятника, динамическое поведение может быть зафиксировано путем суммирования крутящих моментов вокруг точки поворота. Полученное дифференциальное уравнение включает эффекты гравитационной силы и приложенного крутящего момента. Чтобы представить это в форме пространства состояний, выбираются переменные состояния для описания положения и скорости системы. Эти переменные состояния приводят к формулировке уравнений состояния, которые описывают эволюцию системы во времени.

Линеаризация этих нелинейных уравнений состояния вокруг точки равновесия включает рассмотрение малых возмущений. Возмущая переменные состояния вокруг их равновесных значений и применяя разложение в ряд Тейлора, нелинейные члены могут быть аппроксимированы(приближены) их линейными аналогами. Это приближение дает линейные уравнения состояния, которые можно проанализировать с помощью теории линейных систем.

В случае поступательной механической системы с нелинейной пружиной динамика системы аналогично управляется дифференциальным уравнением, которое учитывает нелинейную силу пружины. Введение малого возмущения вокруг положения равновесия позволяет линеаризовать дифференциальное уравнение. Сила равновесия в точке x_0 (положение равновесия) вычисляется, и возмущенное уравнение дифференцируется для получения линеаризованного дифференциального уравнения.

Окончательное линеаризованное представление пространства состояний включает выбор соответствующих переменных состояния, которые часто включают положение и скорость массы. Затем формулируются уравнения состояния и выходные уравнения. Преобразование этих уравнений в векторно-матричную форму обеспечивает комплексную линейную модель системы. Эту модель можно анализировать с использованием различных методов линейного управления и оценки, что облегчает проектирование и реализацию стратегий управления для систем, которые по своей сути нелинейны.

Нелинейные системы находят лучшее моделирование в представлении в пространстве состояний.
Рассмотрим простой маятник, представленный в пространстве состояний с центром масс в ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Электротехника

Unit 1

Раздел 1

Modeling in Time and Frequency Domain

Моделирование во временной и частотной областях

KEY TERMS AND CONCEPTS

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ

linearizing nonlinear state-space models

Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs.

A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its length. The resulting differential equation includes gravitational force and any applied torque. State variables are then chosen to represent position and velocity.

These state variables lead to state equations, which describe how the system changes over time. To study the system near an equilibrium point, small perturbations are added to the state variables. A Taylor series expansion is then used to approximate the nonlinear terms with linear ones. The result is a set of linear state equations that can be analyzed with linear system theory.

The same idea applies to a translational mechanical system with a nonlinear spring. Its motion is governed by a differential equation that includes the nonlinear spring force. A small perturbation around the equilibrium position allows the equation to be linearized. The equilibrium force at x0, the position of equilibrium, is calculated, and the perturbed equation is differentiated to obtain a linearized differential equation.

The final linearized state-space model uses appropriate state variables, often position and velocity of the mass. State equations and output equations are written in vector-matrix form. This linear model makes it easier to apply linear control and estimation methods to systems that are inherently nonlinear.

Linearizing Nonlinear State-Space Models

transfer function in control systems

Transfer Function from Input to Output

The transfer function describes how a linear time-invariant, or LTI, system maps an input to an output in the frequency domain. It gives a compact way to study system behavior without working only in the time domain. It also connects the differential equations of the system to a form that is easier to handle mathematically. For an nth-order LTI system, the behavior is written as a differential equation with constant coefficients. In that equation, r(t) is the input and c(t) is the output. The...

electrical systems

RLC Circuit Transfer Functions

RLC circuits use resistors, capacitors, and inductors to show how electrical signals change over time. In circuit analysis, these passive linear components are arranged so the link between an input and an output can be described with a transfer function. For this topic, the output is the voltage across the capacitor, compared with the input voltage. A series RLC circuit can be analyzed with Kirchhoff's Voltage Law, or KVL. KVL says that the sum of all voltages around a closed loop is zero.

mechanical systems

Transfer Functions in Mechanical Motion

Mechanical motion can be modeled with springs, masses, and viscous dampers. In these models, springs behave like inductors and masses act like capacitors in an electrical network. A viscous damper works like a resistor because it removes energy from the system. A force acts on the mass in the direction of motion. It is balanced by the spring force, the damping force, and the force from the mass’s acceleration. Newton’s second law is used to describe this balance, and the sum of the forces on...

electro-mechanical systems

DC Motor Modeling in Electromechanical Systems

DC motor modeling is a key part of electromechanical systems. These systems combine electrical parts and mechanical parts to produce a useful output. A DC motor is one common example because it turns electrical energy into mechanical motion. It is used in many places, from simple fans to complex robotic mechanisms. Inside the DC motor, the armature is a rotating circuit placed in a magnetic field. When current flows through the armature, it experiences a force from the magnetic field. That...

linear approximation in frequency domain

Linearizing Nonlinear RL Circuits

Linearizing nonlinear RL circuits helps turn a hard circuit problem into a simpler linear one. Linear systems follow superposition, which means the total response equals the sum of the responses to separate inputs. They also follow homogeneity, which means scaling the input scales the output by the same amount. Nonlinear systems do not automatically have those properties. For small changes around an operating point, though, a nonlinear system can often be treated as linear. This is done with a...

state space representation

RLC Circuit State Equations

RLC circuit state equations show how a circuit changes over time using state variables. This time-domain method is useful for linear, time-invariant systems, but it also helps when frequency-domain analysis is not enough. It is especially useful for nonlinear systems, time-varying systems, and multiple-input multiple-output systems. The state-space approach turns an nth-order system into a set of simultaneous first-order differential equations called state equations. For a common second-order...

transfer function to state space

Phase-Variable State Equations from Transfer Functions

Phase-variable state equations show how a transfer function can be rewritten for computer simulation. In state-space form, the system is described with state variables, which are the output and its first several derivatives. This makes it easier to model a physical system on a digital computer. The starting point is an nth-order linear differential equation with constant coefficients. Systems like an RLC circuit can be written this way. To build the state equations, the transfer function is...

state space to transfer function

Finding a Transfer Function from State Space

Finding a transfer function from state-space form is a key step in system analysis. It changes a time-domain model into a frequency-domain form. That makes it easier to study and design control systems. The process starts with the state-space equations. These include the state equation and the output equation. In these equations, x(t) is the state vector, u(t) is the input vector, y(t) is the output vector, and A, B, C, and D are the matrices that define the system dynamics. Next, the Laplace...

linear approximation in time domain

Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs. A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its...

key terms and concepts

Learn how nonlinear systems like a pendulum or spring-mass setup are linearized with small perturbations, Taylor series, and state-space equations.

Linearizing Nonlinear State-Space Models | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Linearizing Nonlinear State-Space Models

Description

Transcript