Name: checking stability with the routh table
Uploaded: 2024-11-21T14:54:10.000Z
Duration: 1 min 15 s
Channel: JoVE

Рассмотрим электросеть, стабильность которой имеет решающее значение для предотвращения отключений электроэнергии. Используя критерий Рута-Гурвица, можно оценить устойчивость системы при различных условиях нагрузки или неисправностях.
Рассмотрим передаточную функцию с обратной связью. Чтобы создать таблицу Рута, строки помечаются степенями s от наибольшей.
Первый ряд заполняется горизонтально всеми остальными коэффициентами знаменателя, начиная с наибольшей степени. Вторая строка следует за следующей по величине мощностью и перечисляет пропущенные коэффициенты.
Последующие записи вычисляются через отрицательные определители предыдущих строк, разделенные на запись первого столбца, находящуюся прямо над ней.
Для системы вычисляются строки таблицы Рута. Положительная константа масштабирует строки независимо друг от друга.
Критерий Рута-Гурвица гласит, что число корней многочлена в правой полуплоскости равно числу изменений знака в первом столбце таблицы Рута, что указывает на неустойчивую систему.
Система стабильна, если все полюса находятся в левой половине плоскости s, что соответствует отсутствию знаковых изменений в первом столбце таблицы Рута.

Критерий Рауса-Гурвица i

Рассмотрим электрическую сеть, где стабильность необходима для предотвращения отключений электроэнергии. Критерий Раута-Гурвица является ценным инструментом для оценки стабильности системы в условиях изменяющейся нагрузки или неисправностей. Анализируя передаточную функцию замкнутого контура, критерий Раута-Гурвица помогает определить, остается ли система стабильной.

Для применения критерия Рауса-Гурвица строится таблица Рауса. Строки таблицы помечены степенями комплексной частотной переменной s, начиная с самой высокой степени. Переменная s представляет собой комплексное число, обычно в форме

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16116/16116_PT%20Equation_1.svg" style="height: 14px;">

где σ — действительная часть, а jω — мнимая часть. Первая строка заполняется горизонтально каждым вторым коэффициентом многочлена знаменателя, начиная с наибольшей степени. Затем вторая строка заполняется пропущенными коэффициентами из первой строки.

Последующие записи в таблице Рауса вычисляются с использованием определителей предыдущих строк. В частности, каждая запись определяется путем взятия отрицательного определителя двух записей над ней и деления его на первую запись в столбце непосредственно над ней. Этот процесс продолжается до тех пор, пока вся таблица не будет заполнена.

Для иллюстрации рассмотрим систему, для которой вычисляются строки таблицы Рауса. При необходимости каждая строка масштабируется независимо на положительную константу для упрощения вычислений. Согласно критерию Рауса-Гурвица, количество корней многочлена в правой половине s-плоскости соответствует количеству изменений знака в первом столбце таблицы Рауса. Эти изменения знака указывают на нестабильность.

И наоборот, система стабильна, если все полюса находятся в левой половине s-плоскости, то есть в первом столбце таблицы Рауса нет изменений знака. Обеспечение отсутствия изменений знака подтверждает, что система останется стабильной в различных условиях использования.

Понимание и применение критерия Раута-Гурвица имеет решающее значение для поддержания стабильности сложных систем, таких как электросети. Проверяя, что все полюса расположены в левой половине s-плоскости, инженеры могут гарантировать, что система будет работать надежно, предотвращая такие проблемы, как отключения электроэнергии, и обеспечивая бесперебойную подачу электроэнергии. Этот метод обеспечивает системный подход к анализу стабильности, выявляя и смягчая потенциальную нестабильность в системе.

Критерий Рауса-Гурвица I

Рассмотрим электросеть, стабильность которой имеет решающее значение для предотвращения отключений электроэнергии. Используя критерий Рута-Гурвица, устойчивость системы при...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Электротехника

Unit 1

Раздел 1

Transient and Steady-state Response Analysis

Анализ переходных процессов и установившегося режима

transient-and-steady-state-response-analysis

KEY TERMS AND CONCEPTS

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ

Routh-Hurwitz Criterion I

checking stability with the routh table

Checking stability with the Routh table is a useful part of analyzing a closed-loop transfer function. It helps determine whether a system will remain stable when load conditions change or when a fault occurs. In a power grid, this kind of check is important because instability can lead to blackouts.

The Routh-Hurwitz criterion uses a table built from the denominator polynomial of the transfer function. The rows of the Routh table are labeled by powers of the complex variable s, starting with the highest power. Here, s is a complex number with a real part, σ, and an imaginary part, jω.

The first row is filled with every other coefficient from the denominator polynomial. It starts with the coefficient from the highest power term. The second row then uses the coefficients that were skipped in the first row.

The remaining entries are found from the rows above them. Each new value is calculated from the negative determinant of the two entries above it, divided by the first entry in the column directly above. If needed, each row can be scaled by a positive constant to make the calculations simpler.

Once the table is complete, the first column gives the stability result. The number of sign changes in that column matches the number of roots in the right-half s-plane. Sign changes show instability. If there are no sign changes, then all poles are in the left-half s-plane and the system is stable. This makes the Routh-Hurwitz criterion a systematic way to test whether a system can operate reliably under different conditions.

Checking Stability with the Routh Table

transient and steady-state response

Control System Test Signals and Stability

Control system test signals help measure how a system reacts to change, stability, and accuracy. A ramp function is useful when a system changes gradually. A step function is used when a system faces a sudden disturbance. An impulse function is the best test signal for a shock input. These signals are used to study two main performance features: transient response and steady-state response. Transient response is the short-term change from the initial state to the final state. It shows how fast...

first order systems

RC System Responses to Step Inputs

RC circuits and other first-order systems show how a simple input can shape system response over time. These systems are often studied through their transfer function, which links the input and output under zero initial conditions. That relationship makes it easier to analyze how the system behaves when the input changes. A unit-step input gives a response that starts at zero and rises toward one. The Laplace transform of the step input is applied to the transfer function, then the result is...

second order systems i

Servo System Response in Second-Order Models

A servo system is a second-order model that links an input position to an output position. It uses a proportional controller and load elements to keep the output aligned with the input. This behavior can be written as a second-order differential equation. When the equation is transformed with the Laplace transform under zero initial conditions, it becomes a transfer function. The transfer function shows how the input is converted into the output. It can also be rewritten as a closed-loop...

second order systems ii

Step Response of Second-Order Systems

Second-order systems react to a unit-step input in different ways depending on the damping ratio. When the damping ratio, zeta, is between 0 and 1, the system is underdamped. In this case, inverse Laplace methods give an output that oscillates with a decreasing amplitude. The error signal, which is the difference between the input and output, also shows damped oscillations before it goes to zero at steady state. When zeta equals 0, the system is undamped. The response keeps oscillating forever...

stability

System Response and Stability

System response and stability describe how a linear time-invariant (LTI) system reacts to a change in input. The time response has two parts: transient response and steady-state response. The transient response is the first reaction and it fades to zero over time. The steady-state response remains after the transient effects have disappeared. An LTI system is stable when it gives a bounded output for a bounded input. For these systems, stability depends on the roots of the characteristic...

routh-hurwitz criterion i

Checking stability with the Routh table is a useful part of analyzing a closed-loop transfer function. It helps determine whether a system will remain stable when load conditions change or when a fault occurs. In a power grid, this kind of check is important because instability can lead to blackouts. The Routh-Hurwitz criterion uses a table built from the denominator polynomial of the transfer function. The rows of the Routh table are labeled by powers of the complex variable s, starting with...

routh-hurwitz criterion ii

Routh Table Special Cases

Routh table special cases can make stability analysis harder when using the Routh-Hurwitz criterion. Two situations need extra care. One is a zero in the first column. The other is an entire row of zeros. When a single zero appears in the first column, division by zero would occur. The usual fix is to replace that zero with a very small number, epsilon (ε). The stability test then continues by assuming a sign for ε. If ε is positive, any sign change in the first column means the system is...

key terms and concepts

Learn how the Routh-Hurwitz criterion uses a Routh table to test system stability by tracking sign changes and pole locations in the s-plane.

Checking Stability with the Routh Table | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Checking Stability with the Routh Table

Description

Transcript