Name: modeling voltage and current on transmission lines
Uploaded: 2024-11-21T14:54:26.000Z
Duration: 1 min 26 s
Channel: JoVE

Рассмотрим схему, представляющую собой отрезок линии.
Напряжение и ток измеряются от принимающей стороны с заданным последовательным импедансом и пропуском шунта на единицу длины.
Используя законы Кирхгофа и беря пределы, дельта x стремится к нулю, мы получаем два линейных дифференциальных уравнения. Дифференцирование напряжения и подстановка его в уравнение тока дает однородное уравнение второго порядка.
Решение включает в себя две константы интегрирования и константу распространения. Подставляя его в уравнение напряжения и переставляя знаменатель, получаем выражение тока с характеристическим импедансом.
После оценки констант интегрирования из граничных условий и выявления гиперболических функций получаются ABCD параметры распределенной линии. Они предоставляют ток и напряжение в любой точке относительно значений приема.
Параметры ABCD также оцениваются на отправляющей стороне. Постоянная распространения, комплексная величина, не имеет размеров при умножении на длину и помогает в определении гиперболических функций.
Эти параметры применяются к любой длине линии. Аппроксимация может быть использована для ручных вычислений с использованием линий короткой и средней длины.

Телеграфные уравнения

Линии передачи являются важными компонентами электроэнергетических систем. Они характеризуются распределенной природой сопротивления (R), индуктивности (L) и емкости (C) на единицу длины. Для анализа этих линий используются дифференциальные уравнения для моделирования изменений напряжения и тока вдоль линии, так называемые телеграфные уравнения.

Модель участка линии

Схема, представляющая участок линии длиной Δx, помогает понять параметры линии передачи. Напряжение V(x) и ток i(x) измеряются с приемного конца. Линия имеет последовательный импеданс z=R+jωL на единицу длины и шунтовую проводимость y=G+jωC на единицу длины. Применяя закон Кирхгофа для напряжения (KVL) и закон Кирхгофа для тока (KCL) к этой установке, выведем соотношения для изменений напряжения и тока вдоль линии.

Когда Δx приближается к нулю, эти соотношения преобразуются в линейные, однородные дифференциальные уравнения первого порядка

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%201.svg" style="height: 30px;">

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%202.svg" style="height: 30px;">

Эти дифференциальные уравнения, в свою очередь, описывают, как напряжение и ток изменяются по длине линии передачи.

Решение этих дифференциальных уравнений включает определение постоянной распространения γ, которая инкапсулирует эффекты как последовательного импеданса, так и шунтовой проводимости. Общие решения для напряжения и тока вдоль линии включают две константы интегрирования, оцененные с использованием граничных условий на приемном конце.

Характеристический импеданс Zc является ключевым параметром, отражающим собственное сопротивление линии передачи. Используя решения дифференциальных уравнений, напряжение и ток выражаются вдоль линии в терминах гиперболических функций, cosh (гиперболический косинус) и sinh (гиперболический синус), математических функций, используемых для моделирования распределения напряжения и тока.

<img alt="Equation3" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%203.svg" style="height: 14px;">

<img alt="Equation4" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%204.svg" style="height: 32px;">

Параметры ABCD

Параметры ABCD, или константы линии передачи, выводятся из этих гиперболических функций. Эти параметры обеспечивают матричное представление, которое связывает напряжение и ток в любой точке вдоль линии со значениями на приемном конце. Параметры ABCD имеют решающее значение для понимания того, как сигналы распространяются по линии передачи.

<img alt="Equation5" src="/files/ftp_upload/16146/16146_Equation%205.svg" style="height: 32px;">

Постоянная распространения

Постоянная распространения γ является комплексной величиной с действительной и мнимой частями, представляющими затухание и сдвиг фазы, соответственно. При умножении на длину линии эта константа становится безразмерной и имеет важное значение для оценки гиперболических функций, описывающих распределение напряжения и тока.

Точные параметры ABCD действительны для любой длины линии и предлагают точное решение для поведения линии передачи. Для практических ручных расчетов, относящихся к линиям короткой и средней длины, можно использовать приближения. Эти параметры всесторонне анализируют линии электропередачи в различных условиях эксплуатации, обеспечивая эффективную и надежную передачу электроэнергии.

Рассмотрим схему, представляющую собой отрезок линии.
Напряжение и ток измеряются с приемной стороны, с определенным последовательным импедансом и шунтом ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Электротехника

Unit 1

Раздел 1

Steady-State Transmission Lines and Power Flows

Линии электропередачи в установившемся режиме и потоки мощности

steady-state-transmission-lines-and-power-flows

KEY TERMS AND CONCEPTS

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ

Transmission-Line Differential Equations

modeling voltage and current on transmission lines

Transmission lines carry electric power, and their resistance, inductance, and capacitance are spread out along the line. Because these properties are distributed per unit length, voltage and current change as they move from one end of the line to the other. Differential equations are used to describe that variation.

A line-section model helps show how this works. In the model, a small length, Δx, is used to represent the line. Voltage V(x) and current i(x) are measured from the receiving end. The line also includes a series impedance, z = R + jωL, and a shunt admittance, y = G + jωC, per unit length.

Kirchhoff’s Voltage Law and Kirchhoff’s Current Law are applied to the small line section. As Δx becomes very small, the results turn into linear, first-order, homogeneous differential equations. These equations describe how voltage and current change along the transmission line.

Solving the equations gives the propagation constant, γ. This complex value combines the effects of series impedance and shunt admittance. Its real part shows attenuation, and its imaginary part shows phase shift. The product of γ and the line length is dimensionless and is used in the hyperbolic functions that describe the line behavior.

The general solutions for voltage and current include two integration constants. These constants are found from boundary conditions at the receiving end. The solutions also define the characteristic impedance, Zc, which reflects the intrinsic impedance of the transmission line. Voltage and current can then be written with cosh and sinh functions.

From these hyperbolic expressions, the ABCD parameters, also called transmission line constants, are obtained. They give a matrix form that relates the voltage and current at any point on the line to the values at the receiving end. The exact ABCD parameters work for any line length, while short- and medium-length lines may use approximations for hand calculations.

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines

modeling-voltage-and-current-on-transmission-lines

transmission-line differential equations

Transmission lines carry electric power, and their resistance, inductance, and capacitance are spread out along the line. Because these properties are distributed per unit length, voltage and current change as they move from one end of the line to the other. Differential equations are used to describe that variation. A line-section model helps show how this works. In the model, a small length, Δx, is used to represent the line. Voltage V(x) and current i(x) are measured from the receiving end.

lossless lines

Lossless Lines and Voltage Behavior

Lossless transmission lines in electrical engineering are described by a purely imaginary propagation constant and a resistive characteristic impedance. Their ABCD parameters show an equivalent pi circuit with an imaginary series impedance and a shunt admittance. When the product of beta and line length is less than pi, the line has inductive series impedance and capacitive shunt admittance, which keeps it lossless. Wavelength is the physical length over which voltage or current phase changes...

maximum power flow and line loadability

Transmission Line Power Limits and Loadability

Transmission line power limits and loadability depend on voltage, angle, and line impedance. For lossy transmission lines, ABCD parameters in phasor form are used to relate sending-end and receiving-end voltages and currents. This matrix relation makes it possible to find the receiving-end current and then calculate the complex power delivered to the load. From the complex power, the real and reactive power components can be determined. For a lossless line, the equations become simpler, and...

the power flow problem and solution

Power Flow Analysis in Electric Networks

Power flow analysis helps determine how real and reactive power move through an electric network. It uses the system’s single-line diagram, which shows the buses, transmission lines, transformers, and loads. The analysis focuses on balanced three-phase steady-state operation. Each bus in the system has four key variables: voltage magnitude V k, phase angle δ k, real power P k, and reactive power Q k. Two of these four variables are treated as inputs. The power flow program solves for the...

control of power flow

Voltage and Reactive Power Control

Voltage and reactive power control help keep a power system stable and efficient. In this topic, generator settings, switched equipment, and transformer taps work together to guide how power moves through the network. A generator can be modeled with a Thevenin equivalent circuit under balanced steady-state conditions. The main terms are terminal voltage Vt, excitation voltage Eg, power angle δ, and positive-sequence synchronous reactance Xg. From this model, the generator current and the...

fast decoupled and dc powerflow

Power Flow Shortcuts for Grid Contingencies

Fast decoupled power flow and DC power flow give engineers faster ways to study a power system during contingencies such as generator outages or transmission line failures. These methods help operators get quick power flow solutions, which is important for real-time system adjustments. Fast decoupled power flow simplifies the Jacobian matrix, the set of equations used in power flow calculations, by neglecting some elements. The method drops J2 and J3 and assumes voltage magnitudes stay close...

key terms and concepts

See how distributed R, L, and C lead to transmission-line differential equations, propagation constant γ, characteristic impedance Zc, and ABCD parameters.

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

Modeling Voltage and Current on Transmission Lines

Description

Transcript

Tags