Name: continuity equation for a fixed control volume
Uploaded: 2025-02-13T15:43:21.000Z
Duration: 1 min 16 s
Channel: JoVE

Уравнение непрерывности выводится из принципа, согласно которому масса внутри системы остается постоянной.
Чтобы проанализировать движение жидкости, мы наблюдаем массу в пределах фиксированного контрольного объема, учитывая массу внутри и пересекая управляющую поверхность.
Общее изменение массы включает скорость, с которой масса накапливается внутри управляющего объема, и скорость, с которой масса проходит через управляющую поверхность.
При установившемся потоке все свойства поля, включая плотность, остаются постоянными с течением времени, а масса в пределах контрольного объема не изменяется.
Скорость и плотность жидкости на поверхности управления определяют чистый массовый расход, который должен уравновешивать массу, поступающую и выходящую из объема.
Путем интегрирования массы по управляющему объему и управляющей поверхности выводится общая форма уравнения непрерывности, которое применимо как к стационарным, так и к нестационарным потокам.
Инженеры используют взаимосвязь между скоростью и площадью поперечного сечения в трубопроводных системах, чтобы гарантировать, что скорость потока остается постоянной при изменении диаметра трубы.
Этот метод позволяет оптимально спроектировать дренаж, предотвращая городские наводнения и эффективно управляя переменным расходом.

Сохранение массы в конечном контрольном объеме

Принцип сохранения массы является фундаментальным законом в механике жидкости и применяется с использованием уравнения непрерывности. Мы применяем эту концепцию к конечному контрольному объему, чтобы вывести уравнение непрерывности.

 Система определяется как совокупность неизменных составляющих, а сохранение массы утверждает, что масса системы постоянна.

<img alt="Equation 1" src="/files/ftp_upload/18048/18048_Equation_1.svg" style="text-align: center; height: 30px;">


 Где Msys — масса системы. Массу системы можно записать как:

<img alt="Equation 2" src="/files/ftp_upload/18048/18048_Equation_2.svg" style="text-align: center; height: 30px;">


 Рассмотрим фиксированный, недеформирующийся контрольный объем, который совпадает с системой в определенный момент времени.

<img alt="Figure 1" src="/files/ftp_upload/18048/18048_Figure_1.jpg" style="text-align: center; height: 300px;">


 Используя теорему Рейнольдса о переносе, мы выражаем скорость изменения массы системы во времени:

<img alt="Equation 3" src="/files/ftp_upload/18048/18048_Equation_3.svg" style="text-align: center; height: 30px;">


 Это уравнение разбивает изменение массы на две части:

<ol style="display: flex; flex-direction: column; gap: 10px;">
 <li>Накопление массы внутри контрольного объема.</li>
 <li>Чистый поток массы через контрольную поверхность, окружающую контрольный объем.</li>
</ol>

 Для стационарного потока, где свойства жидкости (например, плотность) остаются постоянными с течением времени, производная по времени исчезает:

<img alt="Equation 4" src="/files/ftp_upload/18048/18048_Equation_4.svg" style="text-align: center; height: 30px;">

 Это соответствует утверждению, что чистый поток массы через контрольную поверхность должен быть равен нулю; то, что втекает в контрольный объем, должно вытекать. Уравнение непрерывности сохраняет оба члена для нестационарных потоков или таких потоков, где свойства, например, плотность, изменяются со временем. Эта форма используется для более сложных ситуаций, таких как переходный поток в трубопроводах или флуктуирующий поток в реках, проявляющийся из-за сбросов плотин.

 В реальных приложениях, таких как проектирование трубопроводных систем, инженеры используют уравнение непрерывности для поддержания постоянного расхода. При изменении диаметра трубы скорость жидкости соответствующим образом корректируется, чтобы обеспечить сохранение того же массового расхода. Этот принцип имеет решающее значение для проектирования систем, которые управляют переменными расходами, например, дренажных систем.

Уравнение непрерывности выводится из принципа, согласно которому масса внутри системы остается постоянной.
Чтобы проанализировать движение жидкости, мы наблюдаем за массой ...

conservation-of-mass-in-finite-cotrol-volume

Education

JoVE Core

Civil Engineering

Unit 1

Раздел 1

Finite Control Volume Analysis

Анализ методом конечных контрольных объемов

KEY TERMS AND CONCEPTS

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ

Conservation of Mass in Finite Cotrol Volume

continuity equation for a fixed control volume

The continuity equation describes conservation of mass for a fixed control volume. In fluid mechanics, a system is a collection of the same contents over time, and its mass stays constant. That idea is the starting point for deriving the equation.

To analyze flow, a fixed, non-deforming control volume is chosen so it matches the system at one instant. The Reynolds transport theorem then links the system to the control volume. It shows that the rate of change of system mass has two parts: mass accumulation inside the control volume and net mass flow through the control surface around it.

For steady-state flow, fluid properties such as density do not change with time. In that case, the time derivative term becomes zero. This means the net mass flow through the control surface must also be zero, so what flows into the control volume must flow out.

For unsteady flow, the continuity equation keeps both terms. It is also used when density changes with time. This form is useful for situations such as transient flow in pipelines or changing river flow after dam releases.

Engineers use the continuity equation in real pipe systems to keep flow rates consistent. When a pipe diameter changes, the fluid velocity changes so the same mass flow rate is preserved. That principle is important in designs like drainage systems that must handle variable flow rates.

Continuity Equation for a Fixed Control Volume

continuity-equation-for-a-fixed-control-volume

conservation of mass in finite cotrol volume

The continuity equation describes conservation of mass for a fixed control volume. In fluid mechanics, a system is a collection of the same contents over time, and its mass stays constant. That idea is the starting point for deriving the equation. To analyze flow, a fixed, non-deforming control volume is chosen so it matches the system at one instant. The Reynolds transport theorem then links the system to the control volume. It shows that the rate of change of system mass has two parts: mass...

conservation of mass in fixed, nondeforming control volume

conservation-of-mass-in-fixed-nondeforming-control-volume

Continuity and Velocity in Pipe Flow

Conservation of mass explains how fluid moves through a fixed control volume such as a pipe or duct. In a fixed, nondeforming control volume, the total mass stays constant unless mass enters or leaves through the control surfaces. For steady, incompressible flow, the mass entering the system equals the mass leaving it. A sewer pipe is a useful example of this idea. It can be treated as a fixed control volume with inlet and outlet control surfaces around the flow region. Because the fluid is...

conservation of mass in moving, nondeforming control volume

conservation-of-mass-in-moving-nondeforming-control-volume

Stormwater Detention Basin Mass Balance

Stormwater detention basins use mass balance to manage runoff during heavy rainfall. These basins are especially important in urban areas, where impervious surfaces can increase flooding risk. Engineers use the conservation of mass to track how water enters, is stored in, and leaves the basin. In a detention basin, the control volume is the water inside the basin. Its boundaries are the basin walls, the inflow pipes, and the outflow structures. During a rain event, water comes in through the...

linear momentum in control volume

Momentum Balance for Fluid Control Volumes

Linear momentum balance for a fluid control volume links Newton’s second law to moving fluid. The law says that the rate of change of linear momentum equals the sum of the external forces acting on the system. In a fluid system, this idea helps explain how motion and force are related. A control volume can match the fluid system at a specific moment. When that happens, the forces on the control volume and the system are the same. Reynolds transport theorem explains this connection by splitting...

application of the linear momentum equation

application-of-the-linear-momentum-equation

Forces in a 180° Pipe Bend

Forces in a 180-degree pipe bend can be found by applying the linear momentum equation to flowing water. The pipe has a constant cross-sectional area of 0.01 square meters, and the water moves at 15 meters per second. The pressure at the inlet is 0.2 megapascals, and the pressure at the outlet is 0.16 megapascals. The goal is to find the force components in the x and y directions that hold the bend in place. In this case, the flow is only in the y direction at both the entrance and the exit.

moment-of-momentum equation

Wind Turbine Torque and Angular Momentum

The moment-of-momentum equation helps explain how wind turbine blades create torque. Torque is the turning effect of a force around an axis. In rotating systems, this equation links the motion of the wind with the force acting on it. The equation begins with Newton's second law for a fluid particle. That law says the rate of change of linear momentum equals the external force on the particle. To find torque, the position of the particle relative to the rotation axis is combined with that force.

conservation of energy in control volume

Turbine Work from Energy Changes

A turbine can turn fluid energy into shaft work when flow passes through a control volume. The fluid enters the turbine at one point and leaves at another. Under steady-flow conditions, there is no energy buildup inside the control volume, so the stored energy does not change with time. This steady-flow setup makes the energy equation simpler. The turbine is treated as doing mechanical work, and heat transfer is taken as negligible, so Q̇ is approximately zero. The flow at the inlet and outlet...

application of the energy equation

Centrifugal Pump Flow Rate Calculation

Centrifugal pump flow rate can be calculated with the energy equation. In this problem, water moves between two reservoirs at different elevations, and the pump provides the energy needed for the transfer. The pump input is 7500 joules per second, the elevation difference is 10 meters, and the head loss from friction and other resistances is 5 meters. Both reservoirs are open to the atmosphere, so the pressure at the inlet and outlet is the same. That means the pressure terms in the energy...

design example: forces in sluice gate

Sluice Gate Water Pressure and Reaction Force

Sluice gates control water flow in channels, reservoirs, and irrigation systems. They work as vertical barriers with an opening that can be raised or lowered. Changing the opening height changes the water velocity and pressure below the gate. The forces on a sluice gate depend on the water depths upstream and downstream, written as z1 and z2. When the gate is closed, the upstream water depth is greater. That creates a strong pressure difference across the gate and a net force toward the...

key terms and concepts

Learn how conservation of mass leads to the continuity equation for a fixed control volume, including steady and unsteady flow in pipes and rivers.

Continuity Equation for a Fixed Control Volume | JoVE K12

JoVE Core Civil Engineering provides a foundational exploration of essential construction materials in civil engineering, focusing on bricks, stones, steel, wood, and concrete through easy-to-understand animated videos. This collection covers the properties, manufacturing processes, and practical applications of these materials. Additionally, the accompanied science-in-action videos demonstrate the research experiments performed in laboratories.

Continuity Equation for a Fixed Control Volume

Description

Transcript

Tags