Name: fluid stress and flow equations
Uploaded: 2025-02-13T15:43:26.000Z
Duration: 1 min 28 s
Channel: JoVE

При движении жидкости в вязких условиях напряжение сдвига прямо пропорционально деформации жидкости. В несжимаемых ньютоновских жидкостях это напряжение изменяется линейно в зависимости от скорости деформации.
Нормальные напряжения зависят от давления и скорости деформации в определенных направлениях, определяя поведение потока жидкости при различных давлениях.
Напряжения сдвига действуют по касательной, описывая, как различные слои жидкости скользят друг мимо друга, связывая напряжение с изменениями скорости в слоях.
Подстановка этих соотношений напряжений в дифференциальные уравнения движений образует уравнения Навье-Стокса, которые уравновешивают такие силы, как инерция, давление и гравитация в вязкой жидкости.
Инерционный член фиксирует ускорение жидкости, показывая, как движущаяся жидкость сопротивляется резким изменениям своей скорости или направления.
Градиенты давления управляют движением жидкости из областей высокого давления в области низкого давления, в то время как вязкие члены представляют собой внутреннее трение внутри жидкости.
Каждое уравнение направления учитывает внутренние силы, такие как вязкость, и внешние силы, такие как гравитация, предсказывая реакцию жидкости в различных условиях.
Уравнения Навье-Стокса могут быть упрощены для сценариев стационарного или ламинарного течения, что позволяет упростить анализ в контролируемых сценариях, таких как пограничный слой и потоки Куэтта.

Уравнения Навье-Стокса

Navier&#8211;Stokes Equations

Для несжимаемых ньютоновских жидкостей, где плотность остается постоянной, напряжения показывают линейную зависимость от скорости деформации, определяемой нормальными и касательными напряжениями. Нормальные напряжения зависят от давления, оказываемого на жидкость, и от скорости деформации в определенных направлениях, что определяет, как жидкость течет под изменяющимся давлением. С другой стороны, касательные напряжения действуют по касательной через слои жидкости. Они объясняют, как соседние слои жидкости скользят относительно друг друга, связывая касательное напряжение с разницей скоростей между слоями. Нормальные и касательные напряжения определяют внутренние силы внутри жидкости, которые влияют на ее движение.

Уравнения Навье-Стокса выводятся путем включения этих соотношений напряжений в дифференциальные уравнения движения.

<img alt="Equation 1" src="/files/ftp_upload/18062/18062_Equation_1.svg" style="text-align: center; height: 106px;">

Эти уравнения уравновешивают инерционные, давления и гравитационные силы в вязкой жидкости и являются основополагающими для прогнозирования поведения жидкости в различных условиях. Член инерции в уравнениях Навье-Стокса учитывает ускорение жидкости, представляя сопротивление жидкости изменениям скорости. Этот член имеет решающее значение для захвата сохранения импульса движущейся жидкости, поскольку он демонстрирует, как жидкости сопротивляются резким изменениям скорости или направления.

Член градиента давления в уравнениях Навье-Стокса управляет движением жидкости, создавая чистую силу из областей высокого давления в области низкого давления. Между тем, вязкие члены представляют внутреннее трение, возникающее из-за молекулярных взаимодействий внутри жидкости. В зависимости от присутствующих градиентов скорости эти вязкие силы действуют, замедляя движение жидкости.

Каждое направленное уравнение Навье-Стокса охватывает внутренние силы, такие как вязкое напряжение, и внешние силы, такие как гравитация. Эти уравнения позволяют прогнозировать движение жидкости в различных условиях, от простых до сложных потоков. Для сценариев стационарного или ламинарного потока, где поток плавный и упорядоченный, уравнения становятся более управляемыми, что позволяет проводить более прямой анализ. Это упрощение полезно в контролируемых сценариях, таких как течение в пограничном слое, где поток вблизи поверхности имеет структурированный слой, и в случае течения Куэтта, описывающем жидкость между двумя параллельными поверхностями, движущимися с разными скоростями.

При движении жидкости в вязких условиях напряжение сдвига прямо пропорционально деформации жидкости. В несжимаемых ньютоновских жидкостях это напряжение ...

Education

JoVE Core

Civil Engineering

Unit 1

Раздел 1

Differential Analysis of Fluid Flow

Дифференциальный анализ потока жидкости

KEY TERMS AND CONCEPTS

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ

fluid stress and flow equations

Fluid stress and flow equations describe how incompressible Newtonian fluids move under pressure, shear, and gravity. In these fluids, density stays constant, and stress changes linearly with the rate of deformation. The main stress types are normal stress and shear stress.

Normal stress depends on pressure acting on the fluid and on deformation rate in specific directions. Shear stress acts along the surface of a fluid layer. It shows how neighboring layers slide past one another, so velocity differences between layers matter.

These normal and shear stresses create the internal forces that control fluid motion. The Navier-Stokes equations are formed by putting these stress relations into differential equations of motion. They balance inertial, pressure, and gravitational forces in a viscous fluid and help predict how the fluid will behave.

The inertia term describes fluid acceleration and its resistance to changes in velocity. It is important for momentum conservation in moving fluids. The pressure gradient term pushes fluid from regions of high pressure to regions of low pressure, while viscous terms come from internal friction between molecules and slow the flow when velocity changes across the fluid.

Each directional Navier-Stokes equation includes both internal forces, such as viscous stress, and external forces, such as gravity. This makes the equations useful for many flow conditions, from simple to complex. For steady or laminar flow, where motion is smooth and orderly, the equations are easier to work with.

That simplification is helpful in boundary layer flow near a surface, where the fluid forms a structured layer. It is also useful for Couette flow, which describes fluid between two parallel surfaces moving at different velocities. These cases show how the same equations can describe controlled fluid motion in practical settings.

Fluid Stress and Flow Equations

euler&#39;s equations of motion

Pressure and Velocity in Inviscid Flow

Pressure and velocity in inviscid flow are linked by Euler's equations of motion. In fluid mechanics, viscosity creates shear stress, which is a force that acts along a surface. For low-viscosity fluids like water, these shear stresses are very small. That lets the fluid be treated as inviscid, or frictionless. In an inviscid fluid, shear stresses are absent. Only normal stresses remain, and these act perpendicular to a fluid element. Pressure is the negative of the normal stress. It stays the...

stream function

Stream Function for Incompressible Flow

The stream function helps describe two-dimensional incompressible flow. In this type of flow, the continuity equation keeps mass conserved. That means fluid entering a region must be balanced by fluid leaving it. For incompressible flow, the density stays constant. The continuity requirement then becomes a zero-divergence condition for the velocity field. In two dimensions, the horizontal and vertical velocity components are usually written as u and v. A stream function, written as ψ, is used...

irrotational flow

Irrotational Flow Near Boundaries

Irrotational flow is fluid motion in which particles do not spin around their own axes. It has zero vorticity, which means the curl of the velocity field is zero. That condition places limits on the velocity gradients in the flow. A simple example is uniform flow. In this case, the velocity u stays constant, while v and w are both zero. This satisfies the irrotational conditions and gives a basic model of non-rotating flow. When a solid object is added, irrotational flow usually remains only...

velocity potential

Velocity Potential in Pipe Flow

Velocity potential in pipe flow describes the motion of fluid in the central region of a long, straight pipe with a uniform cross-section. In this region, the flow is steady, incompressible, and irrotational. Irrotational means the fluid particles do not spin around their own axes. A scalar function called the velocity potential, written as φ, is used to describe this motion. The velocity field V is defined as the gradient of φ. Because the curl of a gradient is always zero, this form of V...

plane potential flows

Plane Potential Flow Patterns and Models

Plane potential flows describe fluid motion using simple flow patterns and models. They assume the fluid is irrotational and incompressible. These assumptions let the flow be written with a velocity potential function, φ, which gives the flow speed in a direction, and a stream function, ψ, which shows the flow path. Both are governed by Laplace's equation and are useful for estimating flow patterns, velocity distributions, and pressure fields around hydraulic structures. Uniform flow is the...

navier&#8211;stokes equations

Fluid stress and flow equations describe how incompressible Newtonian fluids move under pressure, shear, and gravity. In these fluids, density stays constant, and stress changes linearly with the rate of deformation. The main stress types are normal stress and shear stress. Normal stress depends on pressure acting on the fluid and on deformation rate in specific directions. Shear stress acts along the surface of a fluid layer. It shows how neighboring layers slide past one another, so velocity...

steady, laminar flow between parallel plates

steady-laminar-flow-between-parallel-plates

Laminar Flow Profile Between Parallel Plates

Laminar flow between parallel plates shows how fluid moves through a narrow, flat channel. This model helps describe flow in water conveyance and drainage systems, where the space is limited and the motion stays orderly. It is also useful for analyzing flow in rectangular channels used in many engineering settings. The flow is studied with the Navier-Stokes equations, which govern fluid motion. These equations are often difficult to solve because they are nonlinear. In this case, the problem...

couette flow

Linear Shear Between Moving Plates

Linear shear between moving plates describes fluid motion in a simple channel with two parallel plates. One plate stays fixed, and the other moves at a constant speed. This setup helps show how viscosity and incompressible flow shape fluid motion under the Navier-Stokes equations. The model uses a steady, laminar, incompressible flow with no pressure gradient in the flow direction. The x-axis points along the moving direction of the upper plate, and the y-axis is perpendicular to both plates.

steady, laminar flow in circular tubes

Parabolic Flow in Circular Tubes

Parabolic flow in circular tubes describes the steady, incompressible motion of a viscous fluid through a tube with a constant radius. This Hagen-Poiseuille flow is a classic example of laminar flow. It is often used to study fluid transport in narrow channels, including capillaries. Cylindrical coordinates are used to describe the tube. The radial direction is r, the angular direction is θ, and the axial direction is z. In this flow, the velocity is purely axial. That means the fluid moves...

design example: flow of oil through circular pipes

design-example-flow-of-oil-through-circular-pipes

Pressure Drop in Oil Pipe Design

Pressure drop in oil pipe design depends on pipe size, oil properties, and the flow rate needed through a circular pipe. For steady, incompressible, laminar flow, Hagen-Poiseuille's law gives an exact solution from the Navier-Stokes equations. It is used to find the pressure difference needed to keep oil moving through a pipeline section. The pressure drop equation uses the oil's dynamic viscosity, the pipeline length, the desired volumetric flow rate, and the pipe's inner radius. This...

key terms and concepts

Learn how normal stress, shear stress, and the Navier-Stokes equations explain fluid motion, pressure forces, viscosity, boundary layers, and Couette flow.

Fluid Stress and Flow Equations | JoVE K12

JoVE Core Civil Engineering provides a foundational exploration of essential construction materials in civil engineering, focusing on bricks, stones, steel, wood, and concrete through easy-to-understand animated videos. This collection covers the properties, manufacturing processes, and practical applications of these materials. Additionally, the accompanied science-in-action videos demonstrate the research experiments performed in laboratories.

civil engineering

Fluid Stress and Flow Equations

Description

Transcript