Пространственно-временной анализ связанных термофотоупругих полей в анизотропном волокнистом кремнии с использованием метода собственных значений

Краткое содержание

В данном исследовании анализируются связанные термофотоупругие поля в анизотропном кремнии, усиленном волокном, с использованием метода нормального режима и собственных значений. Результаты показывают пространственный распад и эволюцию поля, зависящую от времени, с высокой чувствительностью к анизотропии. Тепловые карты иллюстрируют распределение и локализацию полей.

Аннотация

В данном исследовании рассматривается связанная термофотоэластичная система в анизотропном кремниевом полупроводниковом среде, усиленном волокном, с целью зафиксировать взаимодействие между теплическими, носительными и механическими полями. Такие анизотропные материалы, усиленные волокном, играют ключевую роль в современных инженерных приложениях, включая микроэлектронные и оптоэлектронные устройства, лазерные технологии, датчики и передовые композитные конструкции, где требуются направленные свойства и улучшенные механические характеристики. Они особенно важны при проектировании полупроводниковых компонентов, подвергающихся тепловой и оптической нагрузке, где точное предсказание поведения связанных полей крайне важно для надежности и оптимизации производительности. Управляющие уравнения формулируются на основе связанной физической модели и затем преобразуются в безразмерную форму для упрощения анализа и выделения относительного влияния соответствующих параметров. Задача решается с помощью метода нормального режима и сводится к дифференциальной системе первого порядка векторно-матричной системы, за которой следует собственный подход для получения аналитических решений, удовлетворяющих наложным граничным условиям в пределах полубесконечной области. Проводится численный анализ для изучения влияния вариаций времени на все физические поля, выявляя сильное пространственное затухание и связанное поведение, регулируемое анизотропией и подкреплением волокон. Пространственно-временные тепловые представления используются для визуализации эволюции и локализации полей, предоставляя физическое понимание мультифизических взаимодействий и демонстрируя эффективность аналитического подхода.

Введение

Термофотоупругость стала важной междисциплинарной областью, описывающей взаимодействие тепловых, механических и оптических эффектов в полупроводниковых материалах под фототермическим возбуждением. Связь между этими полями особенно заметна в современных приложениях, связанных с лазерным нагревом и оптическим возбуждением. Например,^{Saeed 1} исследовал термофотоупругие взаимодействия в полупроводниках с помощью гиперболических двухтемпературных моделей, демонстрируя важность эффектов термической релаксации для точного прогнозирования поведения системы. Термомеханическая реакция композитов, укреплённых волокном, также привлекла значительное внимание благодаря их повышенной механической прочности и анизотропным свойствам. Ли и Ламброс² проанализировали динамическое термомеханическое поведение таких композитов, подчеркнув их пригодность для передовых инженерных применений. Аналогично, Калкал и ^др.3 изучали двумерные (2D) деформации в вращающихся функционально усиленных волокнистых средах под магнитными полями, показывая сильное влияние анизотропии и внешних эффектов на реакцию системы. Кроме того, Питаррези и ^др.4 изучили роль макроскопической гетерогенности в термоупругом поведении, подчеркнув необходимость точного моделирования композитных материалов. Недавние разработки распространили эти исследования на полупроводниковые среды с связанными мультифизическими эффектами. Мондал и ^др.5 исследовали распространение волн в усиленных полупроводниках, учитывая реакции памяти и магнитные поля, выявив сложные связанные взаимодействия. Экспериментальные исследования, такие как исследования Akai и ^др.6, оценивали повреждения от усталости в композитах, усиленных волокном, с использованием термоупругих колебаний температуры, подтверждая их практическую значимость. Кроме того, для оценки эффективных термоупругих свойств применялись микромеханические подходы, как показали Lu и ^др.7. Влияние внешней нагрузки и условий окружающей среды также широко изучено. Барак и^{Дханкхар 8} анализировали наклонную нагрузку в функционально усилённых волокнистыми средами, а Кунду и^{Калкал 9} изучали фототермические взаимодействия под действием гравитации и движущихся тепловых нагрузок. Чаудхари и др. ¹⁰ исследовали температурно-зависимые свойства с использованием моделей двойного фазового задержки, а Пандит и ^др.11 применяли модели деформации фракционного порядка для фиксации нелокального деформационного поведения. Эти исследования подчёркивают важность учёта реалистичных нагрузок и условий материалов в термоупругом анализе.

Динамические и вибрационные явления также исследованы в полупроводниковых системах. Сонг и ^{др. 12} изучали фототермические колебания в полупроводниковых структурах, а Мондал и^{Сур 13} анализировали распространение волн в ортотропных средах с эффектами памяти. Вязкоупругие и микроструктурные эффекты рассматривались Абуэлрегалем и ^др.14, а эффекты нагрева типа рампы исследовали Хобини и ^др.15. Кроме того, обобщённые термоупругие модели, такие как теория трёхфазного задержки, были разработаны^{Зенкуром 16} для повышения точности предсказания. Продвинутые мультифизические модели, включающие электромагнитные и микрополярные эффекты, ещё больше расширили понимание термофотоупругого поведения. Аль-Хазэм и ^др.17 изучали фотоэлектромагнито-термоупругое возбуждение в вращающихся полупроводниковых средах, а Назир и^{Кумар 18} анализировали микрополярные термоупругие взаимодействия. Сонг и ^др.19 также исследовали недиссипативные термоупругие взаимодействия, а Наср и Абуэлрегаль²⁰ исследовали процессы поглощения света в полупроводниках с кариозами. Нелокальные и модели дробного порядка сыграли ключевую роль в последних достижениях. Гупта и ^др.21 изучали фототермическое возбуждение в нелокальных пористых средах, а Хобини и^{Аббас 22} анализировали распространение волн фракционного порядка в полупроводниках. Хафед и^{Зенкур 23} исследовали наклонные нагрузочные эффекты, а Олииник и ^др.24 — нестационарные термофотоупругие эффекты. Функционально градуированное поведение полупроводников под лазерным возбуждением также исследовали Awwad и ^др.25, а Gupta и ^др.26 исследовали термо-пьезофотоэлектрическую связь с использованием моделей, зависящих от памяти. Классические экспериментальные подходы, сочетающие тепловые и оптические методы, были установлены Грином^{и Паттерсоном 27} и Бароне и^{Паттерсоном 28}, предоставляя надёжные методы анализа напряжений. Кроме того, Каур и^{Сингх 29} разработали нелокально зависящие от памяти модели для полупроводниковых резонаторов, а Аббас и ^др.30 проанализировали фототермические взаимодействия с переменной теплопроводностью. Экспериментальные и численные исследования армированных композитных мембран проводились Лу и ^др.31, а Пуркейт и^{Канори 32} изучали реакции памяти в вращающихся волокнистых средах. Або-Дахаб и ^др.33 дополнительно исследовали отражение волн в термоупругих средах, усиленных волокном, при условиях нагрузки. В последнее время были предложены передовые дробные и нелокальные термоупругие модели для описания сложных материалов. Абуэлрегаль и ^др.34 исследовали тепловые реакции в биологических тканях с помощью фракционных моделей, в то время как Селвамани и ^др.35,36 изучали нелокальное распространение волн и поведение вибраций в нанопучках. Кроме того, модели с двойным фазовым лагом и вязкоупругой были применены к микроструктурам Абуэлрегалем ^{и др.37}, а фракционные термоупругие формулы с ядрами памяти^{разработаны 38,39} для захвата сложных связанных явлений.

Несмотря на эти масштабные разработки, большинство существующих исследований в основном сосредоточены на аналитических или численных решениях без предоставления детальной пространственно-временной визуализации физических полей. Во многих практических приложениях, особенно в анизотропных полупроводниковых средах, отклик системы сильно зависит как от пространственных, так и от временных вариаций, что делает визуализацию необходимой для точной интерпретации. Кроме того, хотя численные и экспериментальные подходы дают ценные инсайты, аналитические методы, основанные на методах нормального режима и собственных значений, предлагают значительные преимущества в задачах, связанных с полубесконечными областями и связанными мультифизическими системами. Эти подходы позволяют разрабатывать закрытые решения, обеспечивая более глубокое физическое понимание механизмов распространения, ослабления и взаимодействия волн, а также служат надёжными ориентирами для проверки численных и экспериментальных результатов.

В настоящей работе представлено всестороннее исследование связанного термо-фотоупругого поведения в анизотропной волокнистой полупроводниковой среде. Новизна этого исследования заключается в интеграции аналитического подхода, основанного на собственных значениях, с визуализацией пространственно-временной тепловой карты для более глубокого понимания эволюции и локализации физических полей. Цель этой работы — проанализировать влияние анизотропии и арматуры волокна на взаимодействие между теплическими, механическими и носительными полями, а также продемонстрировать применимость предлагаемого метода для интерпретации сложных мультифизических явлений, актуальных для современных инженерных приложений, таких как полупроводниковые устройства, датчики и лазерные технологии.

Протокол

Это исследование полностью основано на теоретическом моделировании и численном моделировании и не включает участие людей, животных или биологических образцов. Поэтому этическое одобрение и информированное согласие не требовались.

Математическая формулировка фототермоупругости в анизотропных средах, армированных волокном
В настоящем исследовании рассматривался двумерный анизотропный полупроводник полупространства, усиленный волокном, подвергшийся поверхностному оптическому возбуждению. Среда занимала область x ≥ 0, где граница x = 0 обозначает открытую поверхность. Система координат была определена так, что ось x простиралась в средину, а ось y лежала вдоль поверхности и описывала поведение в плоскости. Материал считался однородным, но анизотропным из-за наличия выровненных арматурных волокон, что вводило направленную зависимость в упругости и сцеплении. Оптическое поглощение на поверхности создавало локализованное нагрев и избыточные носители заряда, что приводило к полностью связанному взаимодействию между тепловым, механическим и носительским полями. Соответственно, состояние системы описывалось температурой θ(x, y, t) (K), плотностью носителей N (x, y, t) (^m-3) и компонентами смещения u (x, y, t) и v (x, y, t)(m), при условии небольших деформаций. Схема физической области, системы координат, ориентации волокон и прикладной оптической возбуждения показана на рисунке 1. Все символические и числовые вычисления выполнялись с помощью Wolfram Mathematica (версия 12.0).

Рисунок 1. Схематическое представление полубесконечного полупроводникового среды, усиленного волокном, подвергшейся оптическому возбуждению на границе x = 0. Показана система координат (x, y), с ориентацией волокна, выровненной вдоль направления x (a = (1, 0)), что иллюстрирует геометрическую конфигурацию и ориентированную анизотропию среды. Пожалуйста, нажмите здесь, чтобы увидеть увеличенную версию этой фигуры.

Конститутивное соотношение тензора напряжений в волокнистом анизотропном термоупругом полупроводниковом среде было выражено в общем виде с помощью уравнения ^11,5. В этой формулировке θ обозначает прирост температуры относительно опорной температуры T₀, а T — абсолютную температуру, где это применимо.

.   (1)

Здесь C_ijkl — коэффициенты упругой жесткости, e_kl — тензор деформации, а β_ij и η_ij — соответственно термоупругие и тензоры несущей связи. При наличии арматуры волокна отклик материала становился зависимым от направления и определялся вектором ориентации волокна a = (_{a i}), который вносил анизотропные вклады как в упругую, так и в сцепляющуюся форму. Соответственно, конститутивное отношение было расширено для явного включения эффекта арматуры волокна как ^2,3:

. (2)

Здесь λ и μ_τ — это константы Ламе, а μ_L — продольный модуль сдвига вдоль направления волокна. Параметр α представляет эффекты арматуры волокна и отличается от α_ij, которые обозначают коэффициенты теплового расширения. Единичный вектор определял ориентацию волокна и ввёл направленную зависимость в ответе напряжение–деформация. Для нынешней двумерной формулировки предполагалось, что волокна выровнены вдоль оси x; следовательно, вектор ориентации явно принимался как a = (1, 0). Эта спецификация обеспечивала чёткую параметризацию направления волокна и обеспечивала последовательное включение анизотропных вкладов в управляющие уравнения, напрямую учитывая направленное поведение, вызванное арматурой волокна. Для текущей двумерной конфигурации управляющие компоненты напряжений сводятся до:

, (3)

, (4)

. (5)

Эти уравнения иллюстрируют совокупное влияние анизотропии, усиления волокон и многофизического взаимодействия. Коэффициенты β_ij и η_ij определялись с точки зрения параметров материала следующим образом:

,

,

,

.

Здесь коэффициенты A_ij представляют собой эффективные упругие константы анизотропной среды, усиленной волокном, и были определены следующим образом:

. (6)

Здесь λ, μ_L и μ_T — упругие константы анизотропной волокнистой среды, а α_ij и ξ ij — соответственно коэффициенты теплового и носительского расширения. Распространение упругих волн в термо-фотоупругих полупроводниковых средах определялось принципом сохранения линейного импульса, который стал основой динамического термоупругого анализа. При отсутствии сил тела общее уравнение движения для деформируемого континуума выражается следующим образом на^{основе 1,15}:

. (7)

Здесь ρ — плотность массы, а_{σ ij} — тензор напряжения. В настоящем исследовании формулировка была ограничена двумерной конфигурацией в плоскости x - y , а поле смещения представлялось u(x, y, t) и v(x, y, t). Следуя стандартным формулировкам в термо-фотоупругих средах, управляющие уравнения движения в двух измерениях были записаны следующим образом:

, (8)

. (9)

Подставив анизотропные волокнистые конститутивные отношения в вышеуказанные уравнения, получилась связанная система уравнений с частными производными (DE) следующим образом:

, (10)

. (11)

Здесь индексы обозначают частичную дифференцировку по пространственным и временным переменным. Эти уравнения подчёркивают взаимосвязанное влияние анизотропии, арматуры волокон, температурных градиентов и диффузии носителей на динамическую реакцию среды. В присутствии оптического возбуждения тепловое поле внутри полупроводника сильно подвергалось влиянию взаимодействия с плотностью носителей и механической деформацией, что приводило к полностью связанному процессу переноса энергии. В отличие от классической теплопроводимости, эволюция температуры в таких средах определялась дополнительными источниками, возникающими в результате рекомбинации носителей и термоупругих эффектов, которые значительно изменяли характеристики распространения тепла. Уравнение теплопроводности в рамках обобщённой термоупругости было выражено следующим^{образом 16,20}:

. (12)

Здесь C_E — удельная теплоёмкость при постоянной деформации, отражающая теплоёмкость материала, а _{T 0} — эталонная абсолютная температура среды в её равновесном состоянии. Для текущей двумерной конфигурации это уравнение сократилось до^16,20:

. (13)

Это уравнение демонстрирует, что температурное поле подвергалось не только направленной теплопроводимости, но и рекомбинации носителей через член , а также временно-зависимой деформацией через термоупругие сцепления. Эта формулировка отражала важнейшие мультифизические взаимодействия, регулирующие теплопередачу в анизотропном волокном полупроводнике, и подчеркнула роль как динамики носителей, так и механического отклика в изменении теплового поведения системы. Когда полупроводниковая среда подвергалась оптическому возбуждению, из-за поглощения падающего излучения образуется значительное количество носителей заряда. Эти носители проходили через процессы транспорта, включающие пространственную диффузию, рекомбинацию и термическую генерацию, всё это было неразрывно связано с температурным полем внутри материала. В результате плотность носителей стала одной из ключевых переменных, определяющих связанный термофотоупругий отклик.

В настоящей формулировке эволюция концентрации носителей описывалась через баланс между механизмами диффузии, эффектами распада и процессами термической активации, что привело к следующему управляющему^{соотношению 1,5}"

. (14)

Здесь D_E представляет коэффициент диффузии несущей и является двумерным оператором лапласа в плоскости x - y. Этот термин учитывает эффекты рекомбинации с временем релаксации τ, тогда как k — коэффициент термонесущей связи, определяемый как , который характеризует чувствительность равновесной концентрации носителя N 0 к изменениям температуры. Эта связь подчёркивает роль температуры как движущего механизма генерации носителей и устанавливает прямую связь между тепловым и электронным полями в анизотропной волокнистой полупроводниковой среде.

Были установлены управляющие уравнения и математическая формулировка связанной фототермоупругой несущей системы. Физические и материальные параметры, соответствующие кремниевой (Si) среде, приведены в таблице 1 вместе с их числовыми значениями, единицами и соответствующими эталонами. Эти параметры впоследствии используются в численных вычислениях и в процессе безразмерности.

Символ	Ценность	Подразделение	Ссылка
λ	3.64 × 10¹⁰	Н/м²	12
μТ	5.46 × 10¹⁰	Н/м²	12
μL	3.20 × 10¹⁰	Н/м²	12
ρ	2330	кг/м³	13
CE	695	J/(кг· K)	30
K11	0,0921 × 10³	W/(m·K)	30
K22	0,0963 × 10³	W/(m·K)	30
ДЕ	2.5 × 10⁻³	м²/с	22
τ	5 × 10⁻⁵	s	15
T₀	300	K	15
Eg	1.11 × 10⁻¹⁹	J	12
α11	3.1 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
α22	3.5 × 10⁻⁶	K⁻¹	30
ξ11	−7 × 10⁻³¹	m³	21
ξ22	−9 × 10⁻³¹	m³	21
κ	2.16 × 10²¹	м⁻³·с⁻¹· K⁻¹	21
α	−1,28 × 10¹⁰	Н/м²	28
β	220,90 × 10¹⁰	Н/м²	28
ω	2,95 + 1i	s⁻¹	12
a	1	— (безразмерно)	13
y	0.6	m	13
θ₀	1	— (безразмерно)	15
N₀	1	— (безразмерно)	15

Таблица 1. Свойства и параметры материала, используемые в численном анализе анизотропной полупроводниковой среды, армированной волокном. Все величины выражаются в единицах СИ, если не указано иное. Безразмерные параметры обозначены соответственно. Перечисленные значения соответствуют свойствам материала на основе кремния и параметрам модели, используемым в текущих вычислениях, полученным из приведённых источников. Коэффициент термонесущей связи κ определяется как κ = (∂N₀/∂T)(1/τ), следуя стандартным формулировкам в термо-фотоупругих полупроводниковых моделях.

Безразмерная формулировка связанной анизотропной фото-термоупругой модели
Для упрощения управляющих уравнений и получения согласованного безразмерного представления связанной термофотоупругой системы были введены соответствующие характеристические масштабы для пространственных координат x,y, времени t, компонент смещения u, v, температуры T, плотности носителей N и напряжений σ. Эти параметры масштабирования были последовательно выбраны на основе внутренних физических свойств среды и механизмов взаимодействия между тепловым, механическим и несущими полями, согласно установленным формулировкам, описанным в^{литературе 16,21}. Соответственно, безразмерные переменные определялись следующим образом:

, , , , , , .

Это преобразование уменьшило количество независимых параметров материала и обеспечило нормированное представление связанной системы. Подставив вышеуказанные безразмерные переменные в ранее полученные управляющие уравнения, система была переписана в безразмерной форме. Для простоты простое обозначение, связанное с безразмерными переменными, впоследствии было опущено. Эта процедура давала компактное множество безразмерных частных DE, которые можно записать в следующей форме:

, (15)

, (16)

, (17)

. (18)

После применения безмерного преобразования компоненты напряжений системы записывались в следующей нормализованной форме:

, (19)

, (20)

. (21)

Безразмерные параметры a_i были введены для представления компактных сочетаний физических и материальных свойств, регулирующих связанное анизотропное фототермоупругое поведение. Каждый коэффициент отражал специфический механизм взаимодействия внутри системы и давал представление о относительном влиянии лежащих в основе физических процессов. представляет собой отношение между нормальной жесткостью связи и главной упругой жёсткостью, отражая степень анизотропного взаимодействия между двумя компонентами смещения. характеризует относительный вклад поперечной деформации в компоненту нормального напряжения. Измеряет направленное изменение термоупругого взаимодействия, указывая на анизотропию в эффектах теплового расширения. описывает анизотропное влияние плотности носителей на индуцированную упругую деформацию. представляет нормализованную жёсткость сдвига и количественно оценивает вклад сдвиговой деформации относительно нормальной деформации. учитывает совокупную связь между нормальной и сдвиговой деформацией в управляющих уравнениях смещения. выражает отношение между поперечной жёсткостью и сдвигающей жесткостью, подчёркивая поведение анизотропной деформации. представляет нормализованный инерциальный параметр, связывающий эффекты распространения волн с жёсткостью сдвига. характеризует взаимодействие между градиентами смещений в разных пространственных направлениях. количественно определяет относительный вклад тепловых эффектов в поле смещения в поперечном направлении. измеряет влияние деформации, вызванной носителем, относительно сдвиговой жесткости. : представляет анизотропию в теплопроводности по разным пространственным направлениям. характеризует влияние рекомбинации носителей на генерацию тепла внутри среды. представляет собой взаимодействие между тепловыми эффектами и временно-зависящей упругой деформацией. учитывает совокупное влияние анизотропного теплового расширения в обоих пространственных направлениях. представляет нормализованный диффузионный параметр, контролирующий скорость переноса носителей. характеризует относительную силу эффектов рекомбинации носителей. описывает связь между тепловыми вариациями и процессами генерации носителей.

Аналитическое решение с использованием техники нормального режима
Для получения аналитических решений для связанной анизотропной термофотоупругой системы был использован метод нормального режима благодаря его эффективности в превращении управляющих частных ДЭ в более удобную систему обычных ДЭ. Этот подход широко используется для анализа явлений распространения волн, включая дисперсию и затухание. Соответственно, гармонические вариации переменных поля как во времени, так и в поперечном пространственном направлении^{предполагались как 1,12,23}. Таким образом, компоненты смещения, температура, плотность носителей и напряжения выражались экспоненциально следующим образом:

. (22)

Здесь ω обозначает комплексную частоту, управляющую временным поведением полей, а a — волновое число, связанное с пространственными изменениями вдоль y-направления. Эти параметры были выбраны для удовлетворения требований по стабильности и обеспечения физически допустимых ограниченных решений в пределах полубесконечной области. Подставив вышеуказанные формы в ранее полученные безразмерные управляющие уравнения и упрощая полученные выражения, исходная связанная система частных DE была сведена к системе обычных DE относительно пространственной координаты , которую можно записать следующим образом:

, (23)

, (24)

, (25)

. (26)

Кроме того, соответствующие компоненты напряжений в преобразованной области были записаны следующим образом:

, (27)

, (28)

. (29)

Здесь D обозначает дифференциальный оператор . Эти уравнения представляют собой редуцированную форму управляющей системы в области нормального режима и служат основой для вывода характеристического уравнения и построения общего аналитического решения на следующих этапах. Коэффициенты определялись следующим образом: , , , , , .

Формулировка матричного DE и анализ собственных значений
После применения преобразования нормальной моды управляющая система, приведённая в уравнениях 23–26, была сведена к набору обычных DE второго порядка относительно пространственной координаты . Для облегчения систематического решения эта система была преобразована в эквивалентную систему первого порядка путём введения вспомогательных переменных, соответствующих первым производным величин поля. В частности, были определены следующие переменные:

, . (30)

Используя эти определения, уравнения 23–26 были переписаны в следующую систему из восьми DE первого порядка:

, (31)

, (32)

, (33)

, (34)

. (35)

Вышеуказанная система была выражена в компактной матрице A следующим образом:

. (36)

Вектор состояния задаётся следующим образом:

. (37)

и системная матрица принимала явную форму:

. (38)

Эта формулировка преобразовала исходную систему в задачу собственных^{значений 1,15}. Характеристическое уравнение было получено из

. (39)

что даёт полином восьмого порядка, управляющий собственными значениями. В редуцированной форме характеристический многочлен можно записать как

. (40)

где Z_i коэффициенты являются функциями параметров системы и определены явно ниже. Полученные собственные значения определяют пространственное поведение раствора, включая характеристики затухания и распространения. Сохраняются только собственные значения, удовлетворяющие Re(m) > 0, чтобы обеспечить физически допустимые решения, которые экспоненциально затухают по мере x → ∞.

. (41)

Корни характеристического многочлена определяют собственные значения m, которые определяют пространственное поведение решения. Эти собственные значения вычислялись численно с помощью Mathematica путём построения характеристического многочлена с помощью функции CharacteristicPolynom и решения итогового алгебраического уравнения с помощью NSolve. Поскольку задача формулируется в полубесконечной области (x ≥ 0), рассматриваются только физически допустимые решения, которые остаются ограниченными как x → ∞. Соответственно, сохранялись только собственные значения, удовлетворяющие Re(m) > 0, что обеспечивало экспоненциально затухающие решения вида exp(−mx) как x → ∞. Оставшиеся корни были отброшены, так как они соответствуют нераспадающимся или неограниченным решениям, не соответствующим физическим требованиям модели.

Для каждого сохраняемого собственного значения m соответствующий собственный вектор получался из соответствующей алгебраической системы

, (42)

и выражался в следующей форме:

. (43)

Расширяя вышеуказанное матричное уравнение, была получена следующая система линейных уравнений:

, (44)

, (45)

, (46)

, (47)

. (48)

Из-за однородности задачи собственных значений собственные векторы были определены с точностью до произвольной мультипликативной константы. Для получения уникального и согласованного представления налагалось условие нормализации путём фиксации одной компоненты собственного вектора. В настоящей работе первая компонента была выбрана так, что q₁ = 1, а остальные компоненты определялись последовательно из вышеуказанной системы уравнений. С вычислительной точки зрения эта нормализация реализовывалась путём присвоения единичного значения одной компоненте и решения системы линейных уравнений для оценки оставшихся компонентов. Эта процедура обеспечивала систематический и воспроизводимый способ вычисления собственных векторов, связанных с каждым допустимым собственным значением.

. (49)

Остальные компоненты соответственно следуют из системных отношений. Эти собственные векторы описывают относительные вклады температуры, плотности носителей и полей смещений внутри каждой моды. В результате общее решение задачи было построено как линейная комбинация допустимых собственных мод, каждая из которых ассоциируется с собственным значением и соответствующим вектором, что дало полное аналитическое описание связанного анизотропного фототермоупругого поведения в среде полупространства. Общее решение системы было записано следующим образом:

. (50)

Здесь C_i — это константы, определяемые из граничных условий. Разложив вышеуказанное векторное выражение, переменные поля получались следующим образом:

, (51)

, (52)

, (53)

. (54)

Это представление показывает, что решение состоит из суперпозиции экспоненциальных режимов, где каждая пара собственное значение-собственный вектор независимо вносит вклад в общий физический отклик. Допустимые собственные значения выбираются так, чтобы их вещественные части были положительными, обеспечивая ограниченные и физически значимые решения как x → ∞.

Граничные условия и физические ограничения
Подставив общее решение в заданные граничные условия при x = 0, была получена система линейных алгебраических уравнений по константам C_i. В частности, каждое граничное условие (температура, плотность носителей и ограничения смещения) выражалось через разложения собственных мод, что приводило к набору уравнений, связывающих коэффициенты C_i. Эта процедура привела к появлению линейной системы, которую можно записать в матричной форме как BC = D, где B — матрица коэффициентов, построенная из компонент собственных векторов, вычисленных на границе, C = (_{C 1},_{C 2}, C_{3,C 4})^T — вектор неизвестных констант, определяемый из установленных граничных значений, таких как θ₀, N₀ и ограничения по перемещению. Полученная линейная система была решена вычислительно с помощью Mathematica, где матрица коэффициентов и вектор правой стороны собирались явно, а неизвестные константы получались с помощью процедуры LinearSolve. Эти константы затем возвращались в общее решение для построения полных выражений физических полей, которые впоследствии использовались при численной оценке и графическом представлении результатов.

Установленные граничные условия были заданными следующим образом:

Температурное ограничение:

. (55)

Это условие представляет собой гармонически изменяющуюся температуру поверхности, вызванную периодическим оптическим нагревом. Он действует как основное тепловое возбуждение, управляющее процессами связанного термоупругого и переноса носителей внутри среды. Амплитуда θ₀ характеризует интенсивность приложенной тепловой нагрузки.

Ограничение плотности носителей:

. (56)

Это граничное условие описывает плотность носителей, созданную на фото, возникающую в результате оптического освещения. Он отражает электронное возбуждение, вызванное поглощением фотонов, и его гармоническая модуляция, согласованная с падающим оптическим полем.

Ограничение перемещения:

. (57)

Это условие указывает на механическую ограниченность границы в поперечном направлении. Таким образом, смещения вдоль v-направления на поверхности не происходит.

Ограничение сдвиговых напряжений:

. (58)

Это условие соответствует границе без тяги относительно сдвигового напряжения. Она гарантирует, что на поверхность не действуют касательные силы, что соответствует механически свободной границе в касательном направлении. В дополнение к граничным условиям при x = 0, физическое требование на бесконечности было наложено как: обеспечение ограниченных физических решений в пределах полубесконечной области. Перед представлением числовых результатов общая вычислительная процедура, использованная в данном исследовании, резюмирована на рисунке 2. Числовые значения параметров возбуждения θ₀, N₀, комплексной частоты ω и волнового числа a, используемых в вычислениях, приведены в таблице 1. Параметры, перечисленные в Таблице 1 , включают как размерные материальные константы, так и безразмерные параметры, используемые в нормированной формулировке. Для численной оценки пространственная область определялась как , поперечная координата фиксировалась в y = 0,6, а временная область рассматривалась в пределах . Эти диапазоны использовались для всех численных вычислений и графических представлений.

Рисунок 2. Вычислительный рабочий процесс предлагаемого метода. На рисунке показана последовательность шагов от формулировки к числовым результатам: управляющие уравнения, безразмерность, применение метода нормального режима, преобразование в систему первого порядка, формулировка матрицы, анализ собственных значений и собственных векторов, применение граничных условий, определение констант и генерация численных графиков. Пожалуйста, нажмите здесь, чтобы увидеть увеличенную версию этой фигуры.

Результаты

Численные результаты
В этом разделе были проведены численные вычисления для анализа поведения связанной термо-фотоупругой системы носителей в анизотропной волоконно-армированной полупроводниковой среде. Рассматриваемый материал — кремний (Si), а его физические и материальные параметры приведены в Таблице 1. Эти материальные константы были непосредственно заменены в управляющие уравнения и реализованы в численных вычислениях для оценки переменных поля....

Обсуждение

Полученные результаты дают четкое физическое представление о связанном термофотоупругом поведении в анизотропных полупроводниковых средах, усиленных волокном. В данном исследовании предлагается аналитическая основа на собственных значениях для изучения взаимодействия между тепловой нагрузкой, генерацией носителей и упругой деформацией в таких средах. Наблюдаемая реакция в своей основе определяется сильной связью между этими физическими процессами. Поглощение оптической энергии на границе...

Материалы

Список материалов, использованных в этой статье

Имя	Компания	Каталожный номер	Комментарии
Вычислительное программное обеспечение (символьный и численный анализ)	Wolfram Research	Использовалась Wolfram Mathematica (версия 12.0)	Используется для вычисления собственных значений, реализации аналитических решений и численной оценки
Инструменты визуализации данных (генерация контуров и тепловых карт)	Wolfram Research	Wolfram Mathematica (версия 12.0) использовалась для генерации двумерных контурных графиков и пространственно-временных тепловых карт	Используется для генерации двумерных контурных графиков и пространственно-временных тепловых карт
Набор данных по параметрам материала (свойства кремниевых полупроводников)	Различные источники литературы	Н/Д	Физические константы (упругие, тепловые и связанные с носителями), используемые в вычислениях (Таблица 1)
Персональный компьютер/рабочая станция	HP	Н/Д	Вычисления выполнялись на стандартном персональном компьютере с Windows OS с достаточной памятью для численных моделей
Редактор уравнений	Microsoft  Word и MathType	Н/Д	Используется для форматирования и представления математических выражений в рукописи
Программное обеспечение для управления ссылками	Elsevier	Н/Д	Используется для управления ссылками и форматирования цитат (в стиле Ванкувера)