Вращательные эффекты на распространение магнито-фото-термоупругих волн в полупространстве анизотропного полупроводника, усиленного волокном, при оптическом возбуждении

Краткое содержание

Мы представляем аналитическую модель для изучения распространения вращающихся магнито-фототермоупругих волн в анизотропных волокнистых полупроводниках под оптическим возбуждением. Метод может использоваться для анализа температуры, плотности носителей, смещений и распределения напряжений в современных полупроводниковых материалах.

Аннотация

В данном исследовании изучается связанное вращающееся магнито-фото-термоупругое поведение полупространства анизотропного волокна, подверженного оптическому возбуждению и приложенному магнитному полю. Управляющие уравнения, включающие термальные, упругие, носительные, электромагнитные и вращательные эффекты, формулируются в единой мультифизической структуре. Метод нормального режима используется для преобразования связанных уравнений с частными производными в систему обычных дифференциальных уравнений, которая впоследствии переписывается в матричную дифференциальную систему первого порядка. Затем разрабатывается формулировка на основе собственных значений для построения аналитического решения связанной задачи. Полученная задача собственных значений, система граничных условий и величины поля оцениваются численно. Представлены численные результаты для температуры, плотности носителей, компонентов смещения и распределения напряжений для изучения влияния параметра вращения и интенсивности магнитного поля на связанные физические поля. Результаты демонстрируют важную роль вращательных и электромагнитных взаимодействий в изменении распространения волн, характеристик ослабления и распределения полей в анизотропной полупроводниковой среде. Численные вычисления проводились для кремниевой полупроводниковой среды.

Введение

Фототермоупругость стала активной областью исследований благодаря своей способности описывать взаимосвязанные взаимодействия между тепловым, механическими, оптическими и носительными полями в полупроводниковых материалах, подвергающихся лазерному излучению и фототермическому возбуждению. Эти взаимосвязанные явления играют важную роль в современных оптоэлектронных устройствах, полупроводниковых технологиях, лазерных системах и микроэлектронных приложениях. Саид и ^{др. 1} исследовали распространение волн в полупроводниковых твердых телах с температурно-зависимыми свойствами, в то время как Аббас и др. ^{исследовали} фототермические взаимодействия в полупроводниках с цилиндрическими полостями и переменной теплопроводностью. Впоследствии Ихтишам Улла и др. проанализировали влияние переменной теплопроводности и лазерных импульсов на отражённые упругие волны в полупроводниковых средах. Кроме того, Ядав⁴ изучал распространение магнито-фототермальных плазменных волн в диффузионных полупроводниках в двухтемпературном многофазном термоупругом каркасе. В последнее время Лют и ^др.5, а также Люте и ^др.6 разработали передовые фототермоупругие полупроводниковые модели, включающие фототермальную генерацию тепла, эффекты памяти и нелокальные взаимодействия, тогда как Алаофи и^{Эль-Дали предложили} мультифизическую фото-термо-гигроупругую формулировку для полупроводниковых материалов. Кроме того, несколько обобщённых фототермоупругих моделей, основанных на теориях фазового задержки и нелокальных формулировок, улучшили описание связанных тепловых и переносных явлений в^{полупроводниках} 8,9,10,11.

Растущий спрос на лёгкие и высокопроизводительные инженерные конструкции стимулировал масштабные исследования анизотропных и волокнистых материалов. Благодаря своим превосходным механическим характеристикам и повышенной термической устойчивости, композиты, армированные волокном, широко применяются в аэрокосмической, гражданской и электронной инженерии. Хан и ^др.12 разработали единую микрополярную термоэластичную модель для композитов, укреплённых волокном, зависящих от температуры, и продемонстрировали значительное влияние микроструктурных параметров на характеристики распространения волн. Питаррези и ^{др. 13} исследовали термоупругий отклик пластиков, армированных волокнами, и подчеркнули роль гетерогенности материалов в распределении тепловых напряжений. Эскаланте-Солис и ^др.14 изучали влияние кривизны волокон на микромеханическое поведение армированных композитов, в то время как Або-Дахаб и ^др.15 изучали явления волнового отражения в термоэластичных средах, укреплённых волокном. В более недавнее время Пуркейт и^{Канория 16} проанализировали вращающуюся магнито-термоэластичную среду, усиленную волокном, подвергнувшуюся импульсному возбуждению лазера, тогда как Акай и ^др.17 и Куинлан и ^др.18 исследовали термоупругие реакции в композитных структурах, усиленных волокном, при различных условиях нагрузки. Эти исследования подтвердили, что характеристики усиления и анизотропия существенно влияют на тепловой транспорт, концентрации напряжений и поведение при распространении волн. Тем не менее, большинство доступных исследований были посвящены термоупругим композитным материалам и не учитывали одновременно взаимодействие фототермоупругих полупроводников с механизмами переноса носителей.

Взаимодействие магнитных полей с термоупругими полупроводниковыми средами также привлекло значительное внимание благодаря своему значению в электромагнитных устройствах и проводящих материалах. ^{Ядав 19} исследовал отражение волн в вращающемся ортотропном магнито-термоупругом полупространстве с диффузионными эффектами, в то время как Селвамани и ^др.20 изучали распространение магнитоупругих волн в нелокальных фракционных нанопучках. Абуэлрегаль и ^др.21 исследовали связанную лазерно-термомагнитную стимуляцию в намагниченных пористых структурах с эффектами, зависящими от памяти, тогда как Чандел и ^др.22 предложили нелокальную магнито-термоупругую структуру на основе теплопроводности Мура-Гибсона-Томпсона. В контексте полупроводников Абуэлрегаль²³ разработал модифицированную фракционную фототермоупругую модель для вращающегося полупроводникового полупространства, подверженного воздействию магнитного поля, а Sur²⁴ исследовал магнито-фото-термоупругие взаимодействия в средах с наследственными характеристиками. В более недавнее время Саиди и ^др.25, а также Рашид и ^др.26 проанализировали магнито-фото-термоупругие возмущения в обобщённых вращающихся полупроводниковых средах и продемонстрировали значительное влияние магнитной интенсивности на распространение связанных волн. Аналогичные наблюдения были зафиксированы в продвинутых фототермо-вязкоупругих и полупроводниковых моделях Moore-Gibson-Thompson 27,28,29.

Вращательные эффекты — ещё один важный аспект обобщённой термоэластичности, поскольку вращение вводит дополнительные силы Кориолиса и центростремительные силы, которые значительно изменяют характеристики распространения волн. Khan и ^др.30 провели анализ чувствительности волнового поведения в вращающихся термоупругих телах, подвергшихся лазерно-индуцированной тепловой нагрузке. ^{Ядав 31} исследовал магнитотермоэластичные волны в вращающихся ортотропных средах с диффузионным эффектом, тогда как Абуэлрегаль и др. ³² исследовали фракционные термоупругие реакции с двухфазным задержкой в вращающихся напряжённых средах с сферическими полостями. Кроме того, Хан и ^др.33 изучали распространение волн в вращающейся пористой термоупругой полупространстве по нелокальной фракционной трёхфазной модели. Вращательные влияния на термоупругие наноструктуры полупроводников также изучали Або-Дахаб и ^др.34, которые показали, что вращение может существенно изменять тепловое и механическое распределение полей. Несмотря на эти усилия, вращательные эффекты редко исследовались одновременно с анизотропией, подкреплением волокна, оптическим возбуждением, переносом носителей и взаимодействиями магнитного поля в единой полупроводниковой системе.

Хотя в вышеупомянутых исследованиях достигнут значительный прогресс, большинство существующих исследований сосредоточены на выбранных комбинациях фототермоупругих, магнитных, вращательных или усиленных эффектов. Комплексная аналитическая модель, одновременно включающая оптическое возбуждение, динамику переноса носителей, анизотропию, подкрепление волокна, взаимодействие магнитных полей и вращательные влияния в полупроводниковой среде, остаётся в значительной степени недоступна. Поэтому по-прежнему необходима единая формулировка, которая точно описывала бы взаимосвязь между этими физическими механизмами и проясняла бы их совокупное влияние на распространение волн.

Вдохновлённые этими наблюдениями, настоящая работа разрабатывает двумерную аналитическую модель для изучения распространения магнито-фото-термоупругих волн в вращающейся, армированной, анизотропной полупроводниковой полупространстве, подверженной оптическому возбуждению. Управляющие уравнения формулируются в единой структуре, включающей тепловое, механические, носительно-плотные и электромагнитные поля, и решаются с помощью метода нормального режима вместе с подходом собственных значений. Примечательно, что Алаофи и ^др.35 недавно исследовали связанный термофотоупругий отклик анизотропного кремния, усиленного волокном, используя формулу собственного значения. Однако в их модели не учитывались эффекты магнитного поля и вращение. Новизна настоящей работы заключается в расширении формулировки за счёт одновременного включения магнитных взаимодействий, вращательных эффектов, динамики переноса носителей, анизотропного усиления и оптического возбуждения в рамках одной магнито-фототермоупругой системы. В результате предлагаемая модель даёт более полное описание явлений распространения связанных волн и позволяет детально оценить совокупное влияние магнитной интенсивности и вращения на интересующие физические поля. В отличие от Алаофи и ^др.35, которые рассматривали термофотоупругий отклик анизотропного волокнистого полупроводника без магнитного поля и вращательных эффектов, настоящая формулировка включает одновременное взаимодействие вращения, магнитного поля, оптического возбуждения, переноса носителей и анизотропного усиления в единой структуре. Кроме того, реализация собственных значений расширена на более общую связанную систему, что позволяет анализировать связанные физические эффекты, не рассматриваемые в предыдущей модели. Кроме того, отличительной чертой данной работы является внедрение подхода собственных значений. Хотя многие смежные исследования, включая Alaofi и ^др.35, опираются на процедуры исключения для уменьшения управляющей системы перед получением решения, настоящая формулировка построена и решена с использованием матричной структуры собственных значений. Эта реализация применяется к более общей связанной системе, включающей вращение, магнитное поле, оптическое возбуждение, транспорт носителей и усиление волокна, расширяя сферу деятельности ранее опубликованных моделей.

Протокол

Настоящая работа полностью основана на аналитическом моделировании, символических вычислениях и численных моделях для изучения связанных вращающихся магнито-фото-термоупругих взаимодействий в анизотропных полупроводниковых средах. В этом исследовании не участвовали люди, эксперименты на животных, клинические данные или биологические образцы. Поэтому этическое одобрение и информированное согласие не требовались.

Математическая формулировка магнито-фототермоупругой задачи в вращающейся анизотропной полупространстве полупроводникового полупространства, усиленного волокном,

В настоящем исследовании изучается двумерное вращающееся анизотропное полупространство, усиленное волокном, под оптическим возбуждением и прикладным магнитным полем. Среда занимает полубесконечную область x ≥ 0, где граница x = 0 обозначает открытую поверхность, подвергающуюся внешней оптической нагрузке. Система координат выбирается так, что ось x — простирается в среду, а ось y — вдоль поверхности, отражая поведение конструкции в плоскости. Прикладное магнитное поле и вектор угловой скорости измеряются вдоль оси z. Полупроводниковая среда считается однородной и линейно упругой, тогда как анизотропия вводится через выровненные арматурные волокна, вложенные в x-направление. Оптическое поглощение на границе приводит к локальному нагреву и избыточным носителям заряда, что приводит к связанным теплово-механическим и носительным взаимодействиям внутри среды. Кроме того, магнитное поле создаёт эффекты электромагнитной связи, тогда как вращательное движение способствует инерционным эффектам, существенно влияющим на распространение термоупругих волн и общий физический отклик. Соответственно, физическое состояние среды представлено температурным полем T(x, y, t)(K), плотностью носителей N(x, y, t)(^m-3) и компонентами смещений u(x, y,t)(m) и v(x,y,t)(m) при предположении небольших деформаций. Рисунок 1 иллюстрирует геометрию задачи, включая координатную систему, оптическое возбуждение, магнитное поле, вращательный эффект и ориентацию волокон. Настоящая формула применима к однородным анизотропным полупроводниковым средам, усиленным волокном, работающим в режиме малой деформации и в рамках линейной термоэластичности. Модель предполагает фиксированную ориентацию волокна и постоянные свойства материала по всей среде. В результате нелинейное поведение материалов, крупные деформации, повреждения материала и пространственные вариации свойств материала не учитываются в текущем исследовании. Поэтому предлагаемая модель предназначена для условий умеренной нагрузки, когда отклик остаётся в пределах линейного диапазона. В настоящем исследовании оптическое возбуждение моделируется с учётом заданных граничных условий для температуры поверхности и фотогенерируемой плотности носителей. Детальный процесс взаимодействия лазера и материи, включая оптическое поглощение, глубину проникновения и распределение интенсивности, не рассматривается явно. Вместо этого его суммарный эффект представлен граничными амплитудами θ₀ и N₀, которые характеризуют тепловые и несущие возбуждения, вызванные падающим оптическим полем.

Рисунок 1: Схематическое изображение вращающегося анизотропного полупроводникового полупространства, усиленного волокном, подверженного оптическому возбуждению и внешнему магнитному полю. На рисунке показана физическая конфигурация задачи, включая систему координации, оптическое возбуждение, прикладное магнитное поле, ориентацию волокон и вращательные эффекты, рассмотренные в данной формулировке. Пожалуйста, нажмите здесь, чтобы увидеть увеличенную версию этой фигуры.

Конститутивное отношение тензора напряжений в волокнистом анизотропном термоупругом полупроводниковом среде можно выразить в обобщённой форме следующим^{образом: 12,15,16}.

(1)

Здесь σ_ij обозначает компоненты тензора напряжения, C_ijkl — коэффициенты упругой жесткости, e_kl — тензор деформации, T — прибавка температуры относительно эталонной температуры_{T 0}, а N — избыточная плотность носителей. Тензоры β_ij и η_ij соответствуют термоупругим и несущим коэффициентам связи соответственно. Соответственно, конститутивное отношение, включающее явное влияние арматуры волокна, можно записать как^12,15:

(2)

В этой формулировке λ и μ_T — это постоянные упругости Ламе, а μ_L обозначает продольный модуль сдвига вдоль направления волокна. Параметры α и β описывают эффекты усиления, связанные с встроенными волокнами. Величина δ_ij — это дельта-символ Кронекера, а _{a i} — компоненты единичного вектора, определяющего ориентацию волокна. Для настоящей модели арматурные волокна выровнены вдоль x -направления так, что a = (1,0). Члены, включающие β_ijθ и η_ijN, обозначают соответственно тепловые и несущие эффекты. Для настоящей двумерной конфигурации управляющие компоненты напряжений сводятся к следующим^{формам 12,15}:

.    (3)

.    (4)

.    (5)

Здесь и обозначают компоненты смещения по направлениям x - и y соответственно, а A_ij — эффективные коэффициенты упругости анизотропной волокнистой среды. Коэффициенты термоупругого и несущего соединения определяются следующим образом

,

,

,

.

В приведённых выше отношениях _{α ij} представляют коэффициенты теплового расширения, а ξ_ij — коэффициенты расширения носителей, связанные с полупроводниковой средой. Эффективные упругие коэффициенты анизотропной среды, усиленной волокном, задаются формулой

, , , .

Эти коэффициенты характеризуют анизотропную упругость усиленного полупроводникового материала и описывают, как ориентация волокон влияет на связанное термоупругое поведение. Для учёта влияния электромагнитных взаимодействий в современной магнито-фототермоупругой формулировке предполагается, что вдоль z-направления применяется равномерное магнитное поле, которое перпендикулирует плоскости x - y. Соответственно, вектор магнитного поля рассматривается в виде^23,25 , где H₀ обозначает постоянную интенсивность магнитного поля. Поскольку настоящая формулировка ограничена двумерными деформациями, поле смещения среды принимается как , где и представляют компоненты смещения по направлениям x и y- соответственно.

При предположениях о малых деформациях и медленно движущейся электрически проводящей полупроводниковой среде взаимодействие между скоростью частицы и приложенным магнитным полем создаёт индуцированное электрическое поле.

Основываясь на электромагнитных соотношениях Максвелла для движущихся проводящих сред, индуцированный вектор электрического поля можно выразить как^19,23

.     (6)

где μ₀ обозначает магнитную проницаемость, а — вектор скорости частицы. Подставив выражения и в приведённое соотношение получает

.    (7)

что даёт

.   (8)

Взяв производную по времени индуцированного электрического поля, получаем

. (9)

Вектор магнитного возмущения, возникающий в результате деформации полупроводниковой среды, определяется как²³˒²⁵

. (10)

Приведённое выше выражение автоматически удовлетворяет условию дивергенции Максвелла для магнитного поля возмущения, а именно

. (11)

Для определения плотности электрического тока сначала оценивается скрутка вектора магнитного возмущения. В форме определителя оператор скрутки можно записать^{как 23}

. (12)

Расширение детерминанта приводит к

. (13)

Вектор плотности электрического тока затем получается из электромагнитного уравнения^{Максвелла 23}

. (14)

где ε₀ обозначает электрическую проницаемость среды.

Сила электромагнитного тела, действующая на полупроводниковую среду, определяется с помощью соотношения сил^{Лоренца 23}

. (15)

Векторное произведение можно вычислить в виде определителей как

. (16)

Подставляя предыдущие выражения в уравнение (15), компоненты вектора силы электромагнитного тела становятся

. (17)

. (18)

Эти соотношения ясно показывают, что приложенное магнитное поле вносит дополнительные механизмы связи в управляющие уравнения как с помощью электромагнитных членов, похожих на жёсткость, так и модифицированных инерционных членов, пропорциональных . В результате магнитное поле существенно влияет на характеристики распространения термоупругих волн и общее динамическое поведение анизотропной полупроводниковой среды, усиленной волокном. Помимо электромагнитных эффектов, влияние вращения включено в настоящую формулировку для описания динамического отклика среды при наблюдении из вращающейся системы отсчёта. Предполагается, что полупроводниковая среда, армированная волокном, подвергается равномерному вращению жёсткого тела с постоянным вектором угловой скорости, заданным³³, где обозначает постоянную угловую скорость вокруг оси z-. Поскольку ось вращения перпендиальна плоскости x - y, когда уравнения движения формулируются в вращающейся системе координат, возникают дополнительные инерциальные ускорения из-за неинерциальной природы вращающейся системы. Эти ускорения в основном состоят из Кориолиса и центробежных ускорений. Ускорение Кориолиса связано с полем скоростей частиц и выражается как³¹˒³³ 

. (19)

Подставляя выражения и , получаем

. (20)

Следовательно, ускорение Кориолиса становится

. (21)

Центробежное ускорение напрямую зависит от самого поля смещения и представлено^31,35

. (22)

Во-первых, векторное произведение вычисляется как

. (23)

Затем, подставляя полученный результат в центробежное ускорение, получаем

. (24)

Соответственно, общий вклад вращения, встречающийся в управляющих уравнениях, можно выразить как

. (25)

Таким образом, компоненты вращательного ускорения в направлениях x и y становятся

, (26)

. (27)

Вышеуказанные выражения демонстрируют, что вращательное движение вводит дополнительную связь между компонентами смещения благодаря ускорению Кориолиса, а также инерционные эффекты, зависящие от смещения, вызванные центробежным ускорением. Таким образом, совокупное действие магнитного поля и вращения приводит к значительным изменениям в динамическом отклике и характеристиках распространения волн вращающейся волокнистой анизотропной полупроводниковой среды. Для учёта совокупного влияния электромагнитных взаимодействий и вращательного движения уравнения движения для волокно-армированной анизотропной полупроводниковой среды обобщаются, чтобы включать как силу электромагнитного тела, так и дополнительные инерциальные ускорения, возникающие в вращающейся системе отсчёта. Соответственно, общее уравнение движения для деформируемого вращающегося континуума можно выразить^{следующим образом: 31}˒³²

. (28)

Здесь ρ обозначает массовую плотность, а F_i — компоненты электромагнитной силы тела. Более того, обозначает вектор угловой скорости вращающейся системы системы. Эквалайзеры. (22) и (24) соответствуют ускорениям Кориолиса и центробежным соответственно. Уравнения движения в направлениях x и y можно записать как

. (29)

. (30)

Подставив ранее полученные компоненты электромагнитной силы тела в вышеуказанные уравнения получаем

. (31)

. (32)

Далее, подставляя конститутивные отношения, соответствующие волокно-армированной анизотропной полупроводниковой среде, в приведённые выше уравнения получают связанные уравнения движения по компонентам смещения, температурному полю и плотности^{носителей 32}

. (33)

. (34)

Наконец, используя выражение магнитного возмущения, приведённое ранее в уравнении (15), и подставляя его в вышеуказанные уравнения, управляющие уравнения движения можно записать в их конечном связанном виде как

. (35)

. (36)

Эти уравнения показывают взаимосвязанное влияние влияния вращательного и магнитного поля на термоупругий отклик среды. Ротационные члены учитывают как вклад Кориолиса, так и центробежного влияния, тогда как магнитное поле вводит дополнительное электромагнитное взаимодействие и изменяет динамическое поведение системы. В результате управляющие уравнения создают единую основу для анализа распространения волн и мультифизических взаимодействий в вращающихся магнито-фотоупругих волокнистых полупроводниках. При оптическом возбуждении тепловое поведение полупроводниковой среды значительно зависит от взаимодействия теплопроводности, переноса носителей и механической деформации, что приводит к сильно связанному термофотоупругому процессу. В отличие от классической модели теплопроводимости, распределение температуры в полупроводниковых материалах зависит не только от тепловой диффузии, но и от рекомбинации носителей и термоупругой связи. Следовательно, обобщённое уравнение теплопроводности для анизотропной волокнистой полупроводниковой среды можно выразить следующим^{образом 7}˒²³.

. (37)

Приведённое выше уравнение ясно демонстрирует, что тепловое поле внутри вращающейся магнито-фототермоупругой полупроводниковой среды управляется совокупным влиянием анизотропной теплопроводимости, процессов рекомбинации носителей и термоупругих взаимодействий. Термин описывает тепловую энергию, генерируемую в результате рекомбинации носителей при оптическом возбуждении, тогда как члены связи, включающие и указывают на влияние временно-зависимой механической деформации на тепловой отклик среды. В результате температурное поле становится тесно связано как с плотностью носителя, так и с упругим полем, что играет важную роль в характеристиках распространения термоупругих волн в полупроводниковых материалах, армированных волокном. В настоящей формулировке эволюция концентрации носителей N(x, y, t) внутри полупроводниковой среды определяется совокупными эффектами диффузии носителей, процессов рекомбинации и тепловой активации, возникающей оптическим возбуждением. Соответственно, уравнение переноса носителей, описывающее динамику неравновесных носителей, можно записать следующим^{образом: 4,23}

. (38)

Здесь D_E обозначает коэффициент диффузии носителей, а представляет двумерный оператор Лапласа в плоскости x -y . Этот термин соответствует эффекту рекомбинации носителей, связанному с временем жизни носителя τ. Кроме того, κ — это параметр термонесущей связи, определяемый как , где N₀ обозначает равновесную концентрацию носителей. Термин сцепления κT описывает влияние температурного поля на образование избыточных носителей в полупроводниковой среде. Приведённое выше уравнение демонстрирует, что концентрация носителей тесно связана с тепловым полем через термически активируемые механизмы генерации носителей. В результате динамика носителей становится сильно зависимой как от термической диффузии, так и от рекомбинационных эффектов, которые существенно влияют на связанный фототермоупругий отклик вращающейся анизотропной полупроводниковой среды, усиленной волокном. Управляющие уравнения и математическая формулировка связанной магнито-фото-термоупругой полупроводниковой системы теперь полностью установлены. Физические и материальные параметры кремниевой среды приведены в таблице 2 вместе с их числовыми значениями, единицами и соответствующими эталонами. Эти параметры впоследствии используются в численных вычислениях и процедуре безразмерности.

Безразмерная формулировка вращающейся магнито-фотоупругой полупроводниковой модели с армированным волокном

Для упрощения управляющих уравнений и получения компактного математического представления связанной вращающейся магнито-фототермоупругой системы вводятся соответствующие характеристические масштабы для неразмерности физических переменных. Эта процедура безразмерности уменьшает количество управляющих параметров материала и облегчает аналитическую и численное обработку связанных уравнений. Выбранные характеристические величины выбираются в соответствии с термоупругими, электромагнитными, вращательными и переносными свойствами полупроводниковой^{среды 16,21} Соответственно, вводятся следующие безразмерные переменные:

, , , , , , , .

Здесь C_T обозначает характеристическую скорость упругих волн, а t* — характерное время тепловой релаксации, связанное с связанным термоупругим процессом. Кроме того, параметр определяет неразмерный вращательный параметр, характеризующий влияние вращательного движения на динамическое поведение среды. Подставляя вышеуказанные безразмерные величины в ранее выведенные управляющие уравнения, связанная система преобразуется в нормализованную форму. Это преобразование значительно упрощает математическую структуру уравнений и предоставляет подходящую основу для изучения совокупных эффектов магнитного поля, оптического возбуждения, вращения, анизотропии и взаимодействий носителя-носитель. Для простоты в последующем анализе опускается простое обозначение, связанное с безразмерными величинами. Соответственно, управляющие уравнения связанной вращающейся магнитофото-термоупругой системы можно записать в следующей безразмерной форме^16,20:

, (39)

, (40)

, (41)

. (42)

Соответствующие безразмерные компоненты напряжения вращающейся анизотропной полупроводниковой среды, армированной волокном, получаются следующим образом:

, (43)

, (44)

. (45)

Безразмерные коэффициенты a_i (i = 1,2,...,18) представляют собой комбинации физических, тепловых, электромагнитных, носителей и вращательных параметров связанной полупроводниковой среды. Эти коэффициенты характеризуют влияние анизотропии, усиления волокон, магнитного поля, термоупругой связи, переноса носителей и вращательного движения на общее поведение системы. В результате полученные безразмерные управляющие уравнения предоставляют компактную и эффективную математическую модель для анализа явлений распространения волн и мультифизических взаимодействий в вращающихся магнито-фотоупругих полупроводниковых средах, армированных волокном. Безразмерные параметры a_i, γ_i и δ_i были введены для представления компактных сочетаний физических и материальных свойств, регулирующих связанное вращающееся магнито-фото-термоупругое поведение волокнистой анизотропной полупроводниковой среды. Каждый коэффициент отражает специфический механизм взаимодействия внутри связанной системы и даёт представление о относительном влиянии лежащих в основе физических процессов. Для ясности безразмерные параметры и соответствующие им определения приведены в таблице 1.

Таблица 1: Определения и физические интерпретации безразмерных параметров, используемых в данной формулировке. Таблица суммирует безразмерные параметры, встречающиеся в управляющих уравнениях, а также их физические значения и роль в описании взаимосвязанных термоупругих, электромагнитных, носитель-плотных и вращательных взаимодействий. Пожалуйста, нажмите здесь, чтобы скачать эту таблицу.

Аналитическое решение с использованием метода нормального режима

Для вывода аналитического решения связанной вращающейся магнитофото-термоупругой системы используется метод нормального режима. Этот метод широко используется в обобщённых теориях термоупругости и полупроводников благодаря своей эффективности в преобразовании связанных уравнений с частными производными в редуктированную систему обычных дифференциальных уравнений. Такой подход особенно полезен при анализе распространения волн, ослабления и мультифизических взаимодействий в анизотропных полупроводниковых средах. После анализа нормальной моды предполагается, что все физические величины поля гармонически изменяются по времени и поперечной пространственной координате . Соответственно, температурное поле, плотность носителей, компоненты смещения и величины напряжений представлены в экспоненциальной форме ^24,27

. (46)

Здесь ω обозначает комплексный параметр частоты, регулирующий временное изменение физических полей. Вещественная часть ω связана со временным затуханием (или ростом) амплитуды волны, тогда как мнимая часть представляет колебательное поведение распространяющегося режима. Эти интерпретации соответствуют традиционному анализу нормального режима, применяемому в данном исследовании, тогда как a представляет волновое число, связанное с пространственными изменениями вдоль y-направления. Величины , и соответствуют амплитудам поля, зависящим только от пространственной координаты x. Подставляя вышеуказанные представления нормального режима в ранее полученные безразмерные управляющие уравнения и упрощая полученные выражения, исходная связанная система частных производных преобразуется в набор обычных дифференциальных уравнений относительно пространственной координаты x. Следовательно, управляющие уравнения в преобразованной области имеют следующую форму:

, (47)

, (48)

, (49)

. (50)

Кроме того, соответствующие преобразованные компоненты напряжений получаются как

, (51)

, (52)

. (53)

Здесь , обозначает дифференциальный оператор относительно пространственной координаты . Полученная преобразованная система служит математической основой для построения характеристического уравнения и получения полного аналитического решения связанной вращающейся магнитофото-термоупругой задачи. Коэффициенты, встречающиеся в преобразованных уравнениях, определяются следующим образом:

, , , , , , , , , .

Эти коэффициенты включают совокупный вклад анизотропной упругости, взаимодействия магнитного поля, тепловой связи, переноса носителей и вращательных эффектов. Таким образом, преобразованная система обеспечивает компактное представление, подходящее для получения характерных корней и изучения поведения распространения связанных волн внутри вращающейся волоконной полупроводниковой среды.

Дополнительный файл 1: аналитическое решение с использованием матричной формы. Этот файл содержит подробную формулировку матрицы, процедуру решения собственных значений, вывод характеристических уравнений и промежуточные аналитические шаги, используемые для получения общего решения связанной магнито-фото-термоупругой модели. Пожалуйста, нажмите здесь, чтобы скачать этот файл.

Детальная формулировка матрицы, процедура решения собственных значений и вывод характеристических уравнений приведены в дополнительном файле 1.

Граничные условия и определение неизвестных констант

Для завершения аналитической формулировки полученные общие решения подставлялись в заданные граничные условия, наложенные на поверхности x = 0. Эта замена породила связанную алгебраическую систему, включающую неизвестные константы амплитуды . Каждое граничное требование, связанное с температурой, плотностью носителей, механическим смещением и ограничениями напряжений, выражалось через допустимые собственные моды, что дало линейный набор уравнений, связывающих коэффициенты . Для удобства полученная алгебраическая система была переписана в компактной матричной форме как BC = D, где B обозначает матрицу коэффициентов, построенную из компонентов собственного вектора, вычисленных на поверхности границы, представляет вектор неизвестных констант, а D соответствует вектору, порождённому из установленных граничных условий, включая параметр тепловой нагрузки θ₀, член возбуждения носителя N 0 и предписанные условия смещения. После оценки этих констант они возвращались в общие выражения переменных поля для получения полных аналитических решений. Эти выражения впоследствии применялись в численных вычислениях и графической визуализации термоупругих, носитель-плотных и перемещений полей в вращающейся анизотропной полупроводниковой среде, укреплённой волокном. Принятые граничные условия представляют собой оптически освещённую полупроводниковую поверхность, подвергающуюся одновременному тепловому и несущему возбуждениям. Заданное температурное условие моделирует тепловую нагрузку, создаваемую падающим оптическим полем, а условие плотности носителей учитывает избыточные носители, созданные на фото, создаваемые оптическим освещением. Кроме того, ограничение поперечного смещения представляет собой механическое удержание поверхности в направлении -, тогда как условие сдвигающего напряжения с нулем соответствует тангенциально свободной границе. Следовательно, выбранные смешанные тепловатые, электронные и механические граничные условия обеспечивают физически согласованное представление связанных фототермоупругих взаимодействий на поверхности полупроводника и обеспечивают необходимые ограничения для определения неизвестных констант решения. Наложенные граничные условия задаются следующим образом:

Температурное ограничение:

. (78)

Это условие представляет собой гармонически изменяющуюся температуру поверхности, вызванную периодическим оптическим нагревом. Он действует как основное тепловое возбуждение, управляющее процессами связанного термоупругого и переноса носителей внутри среды. Амплитуда θ₀ характеризует интенсивность приложенной тепловой нагрузки.

Ограничение плотности носителей:

. (79)

Это граничное условие описывает плотность носителей, созданную на фото, возникающую в результате оптического освещения. Он отражает электронное возбуждение, вызванное поглощением фотонов, и его гармоническая модуляция, соответствующая падающему оптическому полю.

Ограничение перемещения:

. (80)

Это условие указывает на механическую ограниченность границы в поперечном направлении. Таким образом, смещения по -направлению на поверхности не происходит.

Ограничение сдвиговых напряжений:

. (81)

Это условие соответствует границе без тяги относительно сдвигового напряжения. Она гарантирует, что на поверхность не действуют касательные силы, что соответствует механически свободной границе в касательном направлении. В дополнение к граничным условиям при x = 0, физическое требование на бесконечности было наложено как: обеспечение ограниченных физических решений в пределах полубесконечной области. Для получения ясного обзора аналитической и вычислительной процедуры, применённой в данном исследовании, основные шаги методологии решения изложены на рисунке 2.

Рисунок 2: Блок-схема процедуры аналитического решения, принятой в данном исследовании, включая формулировку управляющих уравнений, анализ нормальной моды, решение собственных значений, применение граничных условий и оценку физических переменных поля. Диаграмма суммирует основные вычислительные шаги для получения аналитического решения и последующего числового оценки связного магнито-фото-термоупругого отклика. Пожалуйста, нажмите здесь, чтобы увидеть увеличенную версию этой фигуры.

Результаты

Для получения численных результатов, представленных в этом исследовании, кремний (Si) был выбран в качестве представительного полупроводникового материала благодаря его широкому применению в области полупроводников и термоупругих инженерий. Физические, теплые, упругие, электромагнитные и связанные с носителями свойства материалов, используемые в вычислениях, обобщены в таблице 2. Эти материальные константы были заменены в безразмерные управляющие уравнения для получения ...

Обсуждение

Анализ допустимости, стабильности и ограниченности собственных значений

Допустимость полученных собственных значений определяется физическим требованием, чтобы все переменные поля оставались ограниченными в пределах полубесконечной области x ≥ 0. Общее собственное решение выражается через экспоненциальные режимы вида . Следовательн...

Материалы

Список материалов, использованных в этой статье

Имя	Компания	Каталожный номер	Комментарии
Вычислительное программное обеспечение (символьный и числовой анализ)	Wolfram Research	Использовалась Wolfram Mathematica (версия 12.0)	Использовалась для вычисления собственных значений, реализации аналитического решения и числовой оценки
Набор параметров материалов (свойства кремниевого полупроводника)	Различные источники литературы	Н/Д	Физические константы (упругие, тепловые, связанные с носителями заряда), используемые в вычислениях (Таблица 1)
Персональный компьютер/рабочая станция	HP	Н/Д	Вычисления проводились на стандартном персональном компьютере под управлением операционной системы Windows с достаточным объемом памяти для числовых симуляций
Редактор уравнений	Microsoft Word и MathType	Н/Д	Использовался для форматирования и представления математических выражений в рукописи
Программное обеспечение для управления ссылками	Elsevier	Н/Д	Использовалось для управления ссылками и форматирования цитат (стиль Vancouver)