Name: rlc circuit state equations
Uploaded: 2024-09-26T13:17:19.000Z
Duration: 1 min 27 s
Channel: JoVE

Geri beslemeli kontrol sistemlerini analiz etmek ve tasarlamak için yaygın olarak kullanılan frekans alanı tekniği, yalnızca doğrusal, zamanla değişmeyen sistemler için uygundur.
Zaman alanı veya durum uzayı yaklaşımı, doğrusal olmayan, zamanla değişen ve çok girişli, çok çıkışlı sistemleri işleyebilir.
Durum uzayı gösteriminde, durum değişkenleri olarak tanımlanan sistem değişkenlerinin belirli bir alt kümesi, durum denklemleri olarak etiketlenen n. dereceden bir sistem için eşzamanlı, birinci dereceden diferansiyel denklemler oluşturmak için kullanılır.
Bir RLC devresi düşünün. Ağın ikinci dereceden olduğu göz önüne alındığında, iki eşzamanlı birinci dereceden diferansiyel denklem kullanmak gerekir.
Enerji depolama elemanları için türev denkleminde farklılaşan miktarlar - indüktör ve kondansatör durum değişkenleridir.
Kirchhoff'un voltaj ve akım yasaları, durum dışı değişkenleri, durum değişkenlerinin ve girişin doğrusal kombinasyonları olarak ifade etmek için kullanılır.
Bu sonuçlar, durum denklemlerini elde etmek için orijinal türev denklemlerine ikame edilir.
Çıkış denklemi, dirençten geçen akımdır.
Son adım, verilen elektrik şebekesinin durum uzayı temsilini elde etmek için bu denklemleri bir vektör matrisi biçiminde temsil etmeyi içerir.

durum-uzay gösterimi

Genellikle geri besleme kontrol sistemlerini analiz etmede ve tasarlamada kullanılan frekans domain tekniği, doğrusal ve zamana bağlı olmayan sistemler için etkilidir. Ancak doğrusal olmayan ve zamanla değişen, çoklu girişli çoklu çıkışlı sistemlerle uğraşırken yetersiz kalır. Zaman domain veya durum uzayı yaklaşımı, n'inci dereceden bir sistem için durum denklemleri olarak bilinen eş zamanlı, birinci dereceden diferansiyel denklemler oluşturmak için durum değişkenlerini kullanarak bu sınırlamaları ele alır.

Yaygın bir ikinci dereceden sistem olan bir RLC devresini düşünün. Bu devreyi durum uzay yaklaşımını kullanarak analiz etmek için, iki eş zamanlı birinci dereceden diferansiyel denklem gereklidir. Bu bağlamdaki durum değişkenleri, enerji depolama elemanları olan indüktör ve kapasitörle ilişkili türev denklemlerinde türevlenen niceliklerden türetilir.

Durum denklemlerini formüle etmek için Kirchhoff'un gerilim ve akım yasaları kullanılır. Kirchhoff'un gerilim yasası (KVL), bir döngü boyunca tüm elektriksel potansiyel farkının sıfır olduğunu belirtir; Kirchhoff'un akım yasası (KCL) ise bir bağlantı noktasına giren akımların toplamının, bağlantı noktasından çıkan akımların toplamına eşit olduğunu ileri sürer. Bu yasalar, durum değişkenleri ve girdilerin doğrusal kombinasyonları olarak durum dışı değişkenlerin ifade edilmesini sağlar.

Bir RLC devresinde durum değişkenleri, VC kapasitöründeki gerilim ve iL indüktöründen geçen akımdır. Kirchhoff Yasaları, direnç akımını ve diğer durum dışı değişkenleri VC ve iL cinsinden ifade eder. Bu ifadeler daha sonra devrenin orijinal diferansiyel denklemlerine geri konur.

Durum denklemlerini türettikten sonra son adım bu denklemleri vektör matrisi biçiminde göstererek durum uzay temsilini elde etmektir. Bir RLC devresi için bu, durum vektörü x, giriş vektörü u, çıkış vektörü y ve A, B, C, ve D matrislerini içerecek şekilde tanımlanır:

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16100/16100_PT%20EQUATION_1.svg" style="height: 16px;">
<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16100/16100_PT%20EQUATION_2.svg" style="height: 16px;">

Bu gösterim, sistemin dinamik davranışını analiz etmek ve uygun kontrol stratejileri tasarlamak için önemlidir.

Özetle durum uzay yaklaşımı, doğrusal olmayan sistemler, zamana göre türev, çoklu giriş ve çıkışları barındırarak frekans domain tekniklerinin yeteneklerinin ötesine uzanan karmaşık sistemleri ele almak için sağlam bir çerçeve sağlar.

Durum-Uzay Gösterimi

Geri besleme kontrol sistemlerini analiz etmek ve tasarlamak için yaygın olarak kullanılan frekans alanı tekniği, yalnızca doğrusal, zamanla değişmez ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Elektrik Mühendisliği

Unit 1

Ünite 1

Modeling in Time and Frequency Domain

Zaman ve Frekans Alanında Modelleme

KEY TERMS AND CONCEPTS

TEMEL TERİMLER VE KAVRAMLAR

State Space Representation

rlc circuit state equations

RLC circuit state equations show how a circuit changes over time using state variables. This time-domain method is useful for linear, time-invariant systems, but it also helps when frequency-domain analysis is not enough. It is especially useful for nonlinear systems, time-varying systems, and multiple-input multiple-output systems.

The state-space approach turns an nth-order system into a set of simultaneous first-order differential equations called state equations. For a common second-order system like an RLC circuit, two first-order equations are needed. The state variables come from the quantities tied to the circuit’s energy-storage elements, which are the inductor and the capacitor.

Kirchhoff’s voltage law, or KVL, says that the total potential difference around a loop is zero. Kirchhoff’s current law, or KCL, says that the current entering a junction equals the current leaving it. These rules let engineers write non-state variables as linear combinations of the state variables and the input.

In an RLC circuit, the state variables are the capacitor voltage, VC, and the inductor current, iL. KVL and KCL are used to express the resistor current and other non-state variables in terms of VC and iL. Those expressions are then substituted into the circuit’s original differential equations.

After the state equations are found, they are written in vector-matrix form. This gives the state-space representation, with a state vector x, an input vector u, an output vector y, and matrices A, B, C, and D. This form is useful for studying system behavior and for designing control strategies.

RLC Circuit State Equations

transfer function in control systems

Transfer Function from Input to Output

The transfer function describes how a linear time-invariant, or LTI, system maps an input to an output in the frequency domain. It gives a compact way to study system behavior without working only in the time domain. It also connects the differential equations of the system to a form that is easier to handle mathematically. For an nth-order LTI system, the behavior is written as a differential equation with constant coefficients. In that equation, r(t) is the input and c(t) is the output. The...

electrical systems

RLC Circuit Transfer Functions

RLC circuits use resistors, capacitors, and inductors to show how electrical signals change over time. In circuit analysis, these passive linear components are arranged so the link between an input and an output can be described with a transfer function. For this topic, the output is the voltage across the capacitor, compared with the input voltage. A series RLC circuit can be analyzed with Kirchhoff's Voltage Law, or KVL. KVL says that the sum of all voltages around a closed loop is zero.

mechanical systems

Transfer Functions in Mechanical Motion

Mechanical motion can be modeled with springs, masses, and viscous dampers. In these models, springs behave like inductors and masses act like capacitors in an electrical network. A viscous damper works like a resistor because it removes energy from the system. A force acts on the mass in the direction of motion. It is balanced by the spring force, the damping force, and the force from the mass’s acceleration. Newton’s second law is used to describe this balance, and the sum of the forces on...

electro-mechanical systems

DC Motor Modeling in Electromechanical Systems

DC motor modeling is a key part of electromechanical systems. These systems combine electrical parts and mechanical parts to produce a useful output. A DC motor is one common example because it turns electrical energy into mechanical motion. It is used in many places, from simple fans to complex robotic mechanisms. Inside the DC motor, the armature is a rotating circuit placed in a magnetic field. When current flows through the armature, it experiences a force from the magnetic field. That...

linear approximation in frequency domain

Linearizing Nonlinear RL Circuits

Linearizing nonlinear RL circuits helps turn a hard circuit problem into a simpler linear one. Linear systems follow superposition, which means the total response equals the sum of the responses to separate inputs. They also follow homogeneity, which means scaling the input scales the output by the same amount. Nonlinear systems do not automatically have those properties. For small changes around an operating point, though, a nonlinear system can often be treated as linear. This is done with a...

state space representation

RLC circuit state equations show how a circuit changes over time using state variables. This time-domain method is useful for linear, time-invariant systems, but it also helps when frequency-domain analysis is not enough. It is especially useful for nonlinear systems, time-varying systems, and multiple-input multiple-output systems. The state-space approach turns an nth-order system into a set of simultaneous first-order differential equations called state equations. For a common second-order...

transfer function to state space

Phase-Variable State Equations from Transfer Functions

Phase-variable state equations show how a transfer function can be rewritten for computer simulation. In state-space form, the system is described with state variables, which are the output and its first several derivatives. This makes it easier to model a physical system on a digital computer. The starting point is an nth-order linear differential equation with constant coefficients. Systems like an RLC circuit can be written this way. To build the state equations, the transfer function is...

state space to transfer function

Finding a Transfer Function from State Space

Finding a transfer function from state-space form is a key step in system analysis. It changes a time-domain model into a frequency-domain form. That makes it easier to study and design control systems. The process starts with the state-space equations. These include the state equation and the output equation. In these equations, x(t) is the state vector, u(t) is the input vector, y(t) is the output vector, and A, B, C, and D are the matrices that define the system dynamics. Next, the Laplace...

linear approximation in time domain

Linearizing Nonlinear State-Space Models

Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs. A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its...

key terms and concepts

Learn how an RLC circuit is written as state equations and converted into state-space form using KVL, KCL, and the key state variables VC and iL.

RLC Circuit State Equations | JoVE K12

JoVE Core Elektrik Mühendisliği, devre analizi teknikleriyle birlikte elektrik devrelerinin temel kavramlarını kapsayan, anlaşılması kolay animasyonlu videolar sunar. Operasyonel amplifikatörler ve devre dönüşümü kavramlarını kullanarak birinci dereceden ve ikinci dereceden devreleri içerir. Pratik tasarım örneklerinin ve gerçek dünya uygulamalarının bilim insanlarınca hazırlanan videolar aracılığıyla dahil edilmesi, karmaşık kavramları erişilebilir hale getirerek önemli bir eğitim değeri katmaktadır.

electrical engineering

RLC Circuit State Equations

Description

Transcript

Tags