Name: linearizing nonlinear state-space models
Uploaded: 2024-11-21T14:54:05.000Z
Duration: 1 min 21 s
Channel: JoVE

Doğrusal olmayan sistemler, durum uzayı temsilinde üstün bir modelleme bulur.
Kütle merkezi yarı uzunluğunda olacak şekilde durum uzayında temsil edilen basit bir sarkaç düşünün. Ağırlık ve uygulanan tork önemli faktörlerdir.
Torkların toplanması bir diferansiyel denkleme yol açar. Durum değişkenleri seçilir ve durum denklemleri formüle edilir.
Denge noktasıyla ilgili denklemi doğrusallaştırmak için, denge noktası hakkında tedirgin olan durum değişkenlerini göz önünde bulundurun.
Taylor serisi yaklaşımı kullanılır ve çözülür, bu da doğrusal durum denklemleri ile sonuçlanır.
Doğrusal olmayan bir yay sistemi düşünün. Bir diferansiyel denklem formüle edin ve küçük bir pertürbasyon uygulayın.
Bu denklem daha sonra doğrusallaştırılır. Bunu yerine koymak ve türevlendirmeyi gerçekleştirmek, doğrusallaştırılmış ara diferansiyel denklemi verir.
Denge kuvveti, xo'yu hesaplamak için kullanılır ve sonuçta nihai doğrusallaştırılmış diferansiyel denklemi oluşturur.
Durum değişkenleri seçilir ve durum ve çıkış denklemleri yazılır, bu da durum uzayında sistemin tam bir modelini sağlar. Son olarak, tüm denklemler vektör matris formuna dönüştürülür.

zaman uzayında doğrusal yaklaşım

Linear Approximation in Time Domain

<div>
 Doğrusal olmayan sistemler genellikle doğru modelleme ve analiz için karmaşık yaklaşımlar gerektirir ve durum uzayı gösterimi özellikle etkilidir. Bu yöntem, değişkenlerin ve parametrelerin zamana veya çalışma koşullarına göre değiştiği sistemler için özellikle yararlıdır, örneğin basit bir sarkaç veya doğrusal olmayan yaylara sahip bir ötelemeli mekanik sistem.
 Uzunluğu boyunca eşit olarak dağılmış bir kütleye ve sarkacın uzunluğunun yarısında bulunan kütle merkezine sahip basit bir sarkaç için, dinamik davranış pivot noktası etrafındaki torkların toplanmasıyla yakalanabilir. Ortaya çıkan diferansiyel denklem, yerçekimi kuvvetinin ve uygulanan torkun etkilerini içerir. Bunu durum uzayı formunda temsil etmek için, sistemin konumunu ve hızını tanımlamak üzere durum değişkenleri seçilir. Bu durum değişkenleri, sistemin zaman evrimini tanımlayan durum denklemlerinin formülasyonuna yol açar.
 Bu doğrusal olmayan durum denklemlerinin bir denge noktası etrafındaki doğrusallaştırılması, küçük bozulmaları dikkate almayı içerir. Durum değişkenlerini denge değerleri etrafında bozarak ve bir Taylor serisi genişlemesi uygulayarak, doğrusal olmayan terimler doğrusal karşılıkları tarafından yaklaşıklanabilir. Bu yaklaşıklama, doğrusal sistem teorisi kullanılarak analiz edilebilen doğrusal durum denklemleri üretir.
 Doğrusal olmayan bir yay içeren ötelemeli mekanik bir sistem durumunda, sistemin dinamikleri benzer şekilde doğrusal olmayan yay kuvvetini hesaba katan bir diferansiyel denklem tarafından yönetilir. Denge konumu etrafında küçük bir bozulmanın uygulanması, diferansiyel denklemin doğrusallaştırılmasına olanak tanır. x_0'daki (denge konumu) denge kuvveti hesaplanır ve bozulmuş denklem, doğrusallaştırılmış bir diferansiyel denklem elde etmek için türevlenir.
 Son doğrusallaştırılmış durum uzayı gösterimi, genellikle kütlenin konumunu ve hızını içeren uygun durum değişkenlerinin seçilmesini içerir. Durum denklemleri ve çıktı denklemleri daha sonra formüle edilir. Bu denklemleri vektör-matris biçimine dönüştürmek, sistemin kapsamlı bir doğrusal modelini verir. Bu model, çeşitli doğrusal kontrol ve tahmin teknikleri kullanılarak analiz edilebilir ve bu da doğası gereği doğrusal olmayan sistemler için kontrol stratejilerinin tasarımını ve uygulamasını kolaylaştırır.
</div>

Zaman Uzayında Doğrusal Yaklaşım

Doğrusal olmayan sistemler, durum uzayı temsilinde üstün bir modelleme bulur.
Kütle merkezi ile durum uzayında temsil edilen basit bir sarkaç düşünün ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Elektrik Mühendisliği

Unit 1

Ünite 1

Modeling in Time and Frequency Domain

Zaman ve Frekans Alanında Modelleme

KEY TERMS AND CONCEPTS

TEMEL TERİMLER VE KAVRAMLAR

linearizing nonlinear state-space models

Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs.

A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its length. The resulting differential equation includes gravitational force and any applied torque. State variables are then chosen to represent position and velocity.

These state variables lead to state equations, which describe how the system changes over time. To study the system near an equilibrium point, small perturbations are added to the state variables. A Taylor series expansion is then used to approximate the nonlinear terms with linear ones. The result is a set of linear state equations that can be analyzed with linear system theory.

The same idea applies to a translational mechanical system with a nonlinear spring. Its motion is governed by a differential equation that includes the nonlinear spring force. A small perturbation around the equilibrium position allows the equation to be linearized. The equilibrium force at x0, the position of equilibrium, is calculated, and the perturbed equation is differentiated to obtain a linearized differential equation.

The final linearized state-space model uses appropriate state variables, often position and velocity of the mass. State equations and output equations are written in vector-matrix form. This linear model makes it easier to apply linear control and estimation methods to systems that are inherently nonlinear.

Linearizing Nonlinear State-Space Models

transfer function in control systems

Transfer Function from Input to Output

The transfer function describes how a linear time-invariant, or LTI, system maps an input to an output in the frequency domain. It gives a compact way to study system behavior without working only in the time domain. It also connects the differential equations of the system to a form that is easier to handle mathematically. For an nth-order LTI system, the behavior is written as a differential equation with constant coefficients. In that equation, r(t) is the input and c(t) is the output. The...

electrical systems

RLC Circuit Transfer Functions

RLC circuits use resistors, capacitors, and inductors to show how electrical signals change over time. In circuit analysis, these passive linear components are arranged so the link between an input and an output can be described with a transfer function. For this topic, the output is the voltage across the capacitor, compared with the input voltage. A series RLC circuit can be analyzed with Kirchhoff's Voltage Law, or KVL. KVL says that the sum of all voltages around a closed loop is zero.

mechanical systems

Transfer Functions in Mechanical Motion

Mechanical motion can be modeled with springs, masses, and viscous dampers. In these models, springs behave like inductors and masses act like capacitors in an electrical network. A viscous damper works like a resistor because it removes energy from the system. A force acts on the mass in the direction of motion. It is balanced by the spring force, the damping force, and the force from the mass’s acceleration. Newton’s second law is used to describe this balance, and the sum of the forces on...

electro-mechanical systems

DC Motor Modeling in Electromechanical Systems

DC motor modeling is a key part of electromechanical systems. These systems combine electrical parts and mechanical parts to produce a useful output. A DC motor is one common example because it turns electrical energy into mechanical motion. It is used in many places, from simple fans to complex robotic mechanisms. Inside the DC motor, the armature is a rotating circuit placed in a magnetic field. When current flows through the armature, it experiences a force from the magnetic field. That...

linear approximation in frequency domain

Linearizing Nonlinear RL Circuits

Linearizing nonlinear RL circuits helps turn a hard circuit problem into a simpler linear one. Linear systems follow superposition, which means the total response equals the sum of the responses to separate inputs. They also follow homogeneity, which means scaling the input scales the output by the same amount. Nonlinear systems do not automatically have those properties. For small changes around an operating point, though, a nonlinear system can often be treated as linear. This is done with a...

state space representation

RLC Circuit State Equations

RLC circuit state equations show how a circuit changes over time using state variables. This time-domain method is useful for linear, time-invariant systems, but it also helps when frequency-domain analysis is not enough. It is especially useful for nonlinear systems, time-varying systems, and multiple-input multiple-output systems. The state-space approach turns an nth-order system into a set of simultaneous first-order differential equations called state equations. For a common second-order...

transfer function to state space

Phase-Variable State Equations from Transfer Functions

Phase-variable state equations show how a transfer function can be rewritten for computer simulation. In state-space form, the system is described with state variables, which are the output and its first several derivatives. This makes it easier to model a physical system on a digital computer. The starting point is an nth-order linear differential equation with constant coefficients. Systems like an RLC circuit can be written this way. To build the state equations, the transfer function is...

state space to transfer function

Finding a Transfer Function from State Space

Finding a transfer function from state-space form is a key step in system analysis. It changes a time-domain model into a frequency-domain form. That makes it easier to study and design control systems. The process starts with the state-space equations. These include the state equation and the output equation. In these equations, x(t) is the state vector, u(t) is the input vector, y(t) is the output vector, and A, B, C, and D are the matrices that define the system dynamics. Next, the Laplace...

linear approximation in time domain

Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs. A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its...

key terms and concepts

Learn how nonlinear systems like a pendulum or spring-mass setup are linearized with small perturbations, Taylor series, and state-space equations.

Linearizing Nonlinear State-Space Models | JoVE K12

JoVE Core Elektrik Mühendisliği, devre analizi teknikleriyle birlikte elektrik devrelerinin temel kavramlarını kapsayan, anlaşılması kolay animasyonlu videolar sunar. Operasyonel amplifikatörler ve devre dönüşümü kavramlarını kullanarak birinci dereceden ve ikinci dereceden devreleri içerir. Pratik tasarım örneklerinin ve gerçek dünya uygulamalarının bilim insanlarınca hazırlanan videolar aracılığıyla dahil edilmesi, karmaşık kavramları erişilebilir hale getirerek önemli bir eğitim değeri katmaktadır.

electrical engineering

Linearizing Nonlinear State-Space Models

Description

Transcript

Tags