7.10
تقدير متوسط السكان من فاصل الثقة هامش الخطأ.
يتم حسابه باستخدام قيمة z عندما يكون الانحراف المعياري للسكان معروفا ، ويكون حجم العينة أكثر من 30 ، ويتم توزيع السكان عادة.
في الوضع الواقعي ، يمكن افتراض أن التوزيع السكاني طبيعي ، لكن الانحراف المعياري للسكان لا يزال غير معروف.
لذلك ، يتم حساب هامش الخطأ بشكل مختلف باستخدام المعادلة التالية.
هنا ، يتم حساب القيمة الحرجة باستخدام توزيع t ، ويتم استخدام عينة انحراف معياري.
قيمة t الحرجة - tα/2 - ليست ثابتة لأنها تتغير مع حجم العينة.
بشكل عام أكبر من قيمة z ، والتي قد تولد نطاقا أوسع من القيم المستخدمة لتقدير متوسط السكان.
يتطلب استخدام توزيع t العينات الموزعة بشكل طبيعي تقريبا على الأقل وأن يكون حجم العينة أكثر من 30.
هنا ، يظل متوسط العينة هو أفضل تقدير للنقاط ، لكن فاصل الثقة يوفر تقديرا موثوقا به للقيمة الحقيقية لمتوسط السكان.
ومن الناحية العملية، نادرا ما نعرف الانحراف المعياري للسكان. في الماضي، عندما كان حجم العينة كبيرًا، لم يكن ذلك يمثل مشكلة للإحصائيين. لقد استخدموا عينة الانحراف المعياري s كتقدير لـ σ واستمروا كما كان من قبل لحساب فاصل الثقة مع نتائج قريبة بما فيه الكفاية. ومع ذلك، واجه الإحصائيون مشاكل عندما كان حجم العينة صغيرًا. تسبب حجم العينة الصغير في حدوث عدم دقة في فترة الثقة.
واجه ويليام س. جوسيت (1876–1937) من مصنع الجعة غينيس في دبلن، أيرلندا، هذه المشكلة. أنتجت تجاربه مع الجنجل والشعير عينات قليلة جدًا. مجرد استبدال σ بـ s لم ينتج عنه نتائج دقيقة عندما حاول حساب فاصل الثقة. لقد أدرك أنه لا يستطيع استخدام التوزيع الطبيعي للحساب؛ ووجد أن التوزيع الفعلي يعتمد على حجم العينة. قادته هذه المشكلة إلى "اكتشاف" ما يسمى بتوزيع الطالب. يأتي الاسم من حقيقة أن Gosset كتب تحت الاسم المستعار "الطالب".
حتى منتصف السبعينيات، استخدم بعض الإحصائيين تقريب التوزيع الطبيعي لأحجام العينات الكبيرة واستخدموا توزيع الطالب فقط لأحجام العينات التي لا تزيد عن 30. ومع الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر الرسومية، تتمثل الممارسة الآن في استخدام توزيع الطالب كلما يتم استخدام s كتقدير لـ σ .
إذا قمت برسم عينة عشوائية بسيطة بالحجم n من مجتمع له توزيع طبيعي تقريبًا بمتوسط μ وانحراف معياري غير معروف للسكان σ وحساب درجة t باستخدام عينة SD.
خصائص توزيع الطالب
يمكن للآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر حساب احتمالات أي طالب بسهولة. يمكن أيضًا استخدام جدول الاحتمالات لتوزيع الطالب. يعطي الجدول درجات تتوافق مع مستوى الثقة (العمود) ودرجات الحرية (الصف). عند استخدام جدول t، لاحظ أن بعض الجداول يتم تنسيقها لإظهار مستوى الثقة في عناوين الأعمدة، بينما قد تظهر عناوين الأعمدة في بعض الجداول فقط المنطقة المقابلة في أحد الطرفين أو كليهما.
يعطي جدول t الخاص بالطالب درجات t بالنظر إلى درجات الحرية واحتمال الذيل الأيمن. الجدول محدود للغاية. يمكن للآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر حساب احتمالات t لأي طالب بسهولة.
ترميز توزيع الطالب (باستخدام T كمتغير عشوائي) هو:
إذا لم يكن الانحراف المعياري للسكان معروفًا، فسيتم حساب الخطأ المرتبط بمتوسط المحتوى باستخدام عينة الانحراف المعياري SD.
تم تعديل هذا النص من Openstax, Introductory Statistics, Section 8.2 A single population mean using Student’s t distribution.
تقدير متوسط السكان من فاصل الثقة هامش الخطأ.
يتم حسابه باستخدام قيمة z عندما يكون الانحراف المعياري للسكان معروفا ، ويكون حجم العينة أكثر من 30 ، ويتم توزيع السكان عادة.
في الوضع الواقعي ، يمكن افتراض أن التوزيع السكاني طبيعي ، لكن الانحراف المعياري للسكان لا يزال غير معروف.
لذلك ، يتم حساب هامش الخطأ بشكل مختلف باستخدام المعادلة التالية.
هنا ، يتم حساب القيمة الحرجة باستخدام توزيع t ، ويتم استخدام عينة انحراف معياري.
قيمة t الحرجة - tα/2 - ليست ثابتة لأنها تتغير مع حجم العينة.
بشكل عام أكبر من قيمة z ، والتي قد تولد نطاقا أوسع من القيم المستخدمة لتقدير متوسط السكان.
يتطلب استخدام توزيع t العينات الموزعة بشكل طبيعي تقريبا على الأقل وأن يكون حجم العينة أكثر من 30.
هنا ، يظل متوسط العينة هو أفضل تقدير للنقاط ، لكن فاصل الثقة يوفر تقديرا موثوقا به للقيمة الحقيقية لمتوسط السكان.
From Chapter 7:
Now Playing
Estimates
6.7K Views
Estimates
7.9K Views
Estimates
6.1K Views
Estimates
9.7K Views
Estimates
9.3K Views
Estimates
9.1K Views
Estimates
9.7K Views
Estimates
6.4K Views
Estimates
5.5K Views
Estimates
7.6K Views
Estimates
7.9K Views