7.10: تقدير متوسط السكان مع الانحراف المعياري غير المعروف

من الناحية العملية ، نادرا ما نعرف الانحراف المعياري للسكان. في الماضي ، عندما كان حجم العينة كبيرا ، لم يكن هذا يمثل مشكلة للإحصائيين. استخدموا عينة الانحراف المعياري s كتقدير ل σ وشرعوا كما كان من قبل لحساب فاصل الثقة بنتائج قريبة بما فيه الكفاية. ومع ذلك ، واجه الإحصائيون مشاكل عندما كان حجم العينة صغيرا. تسبب حجم العينة الصغير في عدم الدقة في فاصل الثقة.

واجه ويليام س. جوسيت (1876-1937) من مصنع الجعة غينيس في دبلن ، أيرلندا هذه المشكلة. أنتجت تجاربه مع القفزات والشعير عينات قليلة جدا. مجرد استبدال σ ب s لم يسفر عن نتائج دقيقة عندما حاول حساب فاصل الثقة. أدرك أنه لا يستطيع استخدام التوزيع العادي للحساب. وجد أن التوزيع الفعلي يعتمد على حجم العينة. قادته هذه المشكلة إلى “اكتشاف” ما يسمى بتوزيع t للطالب. يأتي الاسم من حقيقة أن جوسيت كتب تحت الاسم المستعار “طالب”.

حتى منتصف السبعينيات ، استخدم بعض الإحصائيين تقريب التوزيع الطبيعي لأحجام العينات الكبيرة واستخدموا توزيع t للطالب فقط لأحجام العينات التي تبلغ 30 على الأكثر. باستخدام الآلات الحاسبة للرسوم البيانية وأجهزة الكمبيوتر ، تتمثل الممارسة الآن في استخدام توزيع t للطالب كلما تم استخدام s كتقدير ل σ.

إذا قمت بسحب عينة عشوائية بسيطة بحجم n من مجموعة سكانية لها توزيع طبيعي تقريبا مع σ μ متوسط وانحراف معياري غير معروف للسكان وحساب درجة t باستخدام نموذج SD.

خصائص توزيع الطالب

• يشبه الرسم البياني لتوزيع t للطالب المنحنى العادي القياسي.
• متوسط توزيع t للطالب هو صفر والتوزيع متماثل حوالي الصفر.
توزيع
• t للطالب احتمالية أكبر في ذيوله من التوزيع الطبيعي القياسي لأن انتشار التوزيع t أكبر من انتشار المعدل الطبيعي القياسي. لذا فإن الرسم البياني لتوزيع t للطالب سيكون أكثر سمكا في ذيول وأقصر في المنتصف من الرسم البياني للتوزيع الطبيعي القياسي.
• يعتمد الشكل الدقيق لتوزيع t للطالب على درجات الحرية. مع زيادة درجات الحرية ، يصبح الرسم البياني لتوزيع t للطالب أشبه بالرسم البياني للتوزيع الطبيعي القياسي.
• يفترض أن يتم توزيع السكان الأساسيين للملاحظات الفردية عادة بمتوسط μ غير معروف للسكان والانحراف المعياري غير المعروف للسكان σ. حجم السكان الأساسيين غير ذي صلة بشكل عام ما لم يكن صغيرا جدا. إذا كان على شكل جرس (عادي) ، استيفاء الافتراض ولا يحتاج إلى مناقشة. يفترض أخذ عينات عشوائية ، لكن هذا افتراض منفصل تماما عن الوضع الطبيعي.

يمكن للآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر بسهولة حساب أي احتمالات للطالب. يمكن أيضا استخدام جدول احتمالات لتوزيع t للطالب. يعطي الجدول درجات t التي تتوافق مع مستوى الثقة (العمود) ودرجات الحرية (الصف). عند استخدام جدول t، لاحظ أن بعض الجداول منسقة لإظهار مستوى الثقة في عناوين الأعمدة، بينما قد تظهر عناوين الأعمدة في بعض الجداول المنطقة المقابلة فقط في أحد الذيل أو كليهما.

جدول t الخاص بالطالب درجات t بالنظر إلى درجات الحرية والاحتمال الأيمن. الجدول محدود للغاية. يمكن للآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر بسهولة حساب احتمالات الطالب

تدوين توزيع t للطالب (باستخدام T كمتغير عشوائي) هو:

• T ~ tdf حيث df = n – 1.
• على سبيل المثال ، إذا كان لدينا عينة بحجم n = 20 عنصرا ، فإننا نحسب درجات الحرية على أنها df = n – 1 = 20 – 1 = 19 ونكتب التوزيع ك T ~ t19.

إذا كان الانحراف المعياري للسكان غير معروف، حساب الخطأ المرتبط لمتوسط السكان باستخدام نموذج SD.

هذا النص مقتبس من Openstax ، الإحصاءات التمهيدية ، القسم 8.2 يعني السكان الفردي باستخدام الطالب <a href = "https://openstax.org/books/introductory-statistics/pages/8-2-a-single-population-mean-using-the-student-t-distribution" >t التوزيع.