تقدير متوسط ​​عدد المجتمع الإحصائي, مع انحراف معياري غير معروف

ومن الناحية العملية، نادرا ما نعرف الانحراف المعياري للسكان. في الماضي، عندما كان حجم العينة كبيرًا، لم يكن ذلك يمثل مشكلة للإحصائيين. لقد استخدموا عينة الانحراف المعياري s كتقدير لـ σ واستمروا كما كان من قبل لحساب فاصل الثقة مع نتائج قريبة بما فيه الكفاية. ومع ذلك، واجه الإحصائيون مشاكل عندما كان حجم العينة صغيرًا. تسبب حجم العينة الصغير في حدوث عدم دقة في فترة الثقة.

واجه ويليام س. جوسيت (1876–1937) من مصنع الجعة غينيس في دبلن، أيرلندا، هذه المشكلة. أنتجت تجاربه مع الجنجل والشعير عينات قليلة جدًا. مجرد استبدال σ بـ s لم ينتج عنه نتائج دقيقة عندما حاول حساب فاصل الثقة. لقد أدرك أنه لا يستطيع استخدام التوزيع الطبيعي للحساب؛ ووجد أن التوزيع الفعلي يعتمد على حجم العينة. قادته هذه المشكلة إلى "اكتشاف" ما يسمى بتوزيع الطالب. يأتي الاسم من حقيقة أن Gosset كتب تحت الاسم المستعار "الطالب".

حتى منتصف السبعينيات، استخدم بعض الإحصائيين تقريب التوزيع الطبيعي لأحجام العينات الكبيرة واستخدموا توزيع الطالب فقط لأحجام العينات التي لا تزيد عن 30. ومع الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر الرسومية، تتمثل الممارسة الآن في استخدام توزيع الطالب كلما يتم استخدام s كتقدير لـ σ .

إذا قمت برسم عينة عشوائية بسيطة بالحجم n من مجتمع له توزيع طبيعي تقريبًا بمتوسط ​​μ وانحراف معياري غير معروف للسكان σ وحساب درجة t باستخدام عينة SD.

خصائص توزيع الطالب

1. الرسم البياني لتوزيع الطالب يشبه المنحنى الطبيعي القياسي.
2. متوسط ​​توزيع الطالب هو صفر والتوزيع متماثل حول الصفر.
3. توزيع الطالب t له احتمالية أكبر في ذيوله من التوزيع الطبيعي القياسي لأن انتشار توزيع t أكبر من انتشار الطبيعي القياسي. لذا فإن الرسم البياني لتوزيع الطالب t سيكون أكثر سمكًا في الأطراف وأقصر في المنتصف من الرسم البياني للتوزيع الطبيعي القياسي.
4. يعتمد الشكل الدقيق لتوزيع الطالب على درجات الحرية. مع زيادة درجات الحرية، يصبح الرسم البياني لتوزيع الطالب أشبه بالرسم البياني للتوزيع الطبيعي القياسي.
5. من المفترض أن يتم توزيع المجموعة المجتمع الإحصائي,ية الأساسية للملاحظات الفردية بشكل طبيعي مع متوسط ​​سكاني غير معروف μ وانحراف معياري سكاني غير معروف σ. حجم المجتمع الإحصائي, الأساسي ليس ذا صلة بشكل عام إلا إذا كان صغيرًا جدًا. أما إذا كان على شكل جرس (عادي) فإن الفرضية متحققة ولا تحتاج إلى نقاش. ويفترض أخذ عينات عشوائية، ولكن هذا افتراض منفصل تماما عن الوضع الطبيعي.

يمكن للآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر حساب احتمالات أي طالب بسهولة. يمكن أيضًا استخدام جدول الاحتمالات لتوزيع الطالب. يعطي الجدول درجات تتوافق مع مستوى الثقة (العمود) ودرجات الحرية (الصف). عند استخدام جدول t، لاحظ أن بعض الجداول يتم تنسيقها لإظهار مستوى الثقة في عناوين الأعمدة، بينما قد تظهر عناوين الأعمدة في بعض الجداول فقط المنطقة المقابلة في أحد الطرفين أو كليهما.

يعطي جدول t الخاص بالطالب درجات t بالنظر إلى درجات الحرية واحتمال الذيل الأيمن. الجدول محدود للغاية. يمكن للآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر حساب احتمالات t لأي طالب بسهولة.

ترميز توزيع الطالب (باستخدام T كمتغير عشوائي) هو:

1. T ~ tdf حيث df = n – 1.
2. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا عينة بحجم n = 20 عنصرًا، فإننا نحسب درجات الحرية بالشكل df = n - 1 = 20 - 1 = 19 ونكتب التوزيع بالشكل T ~ t19.

إذا لم يكن الانحراف المعياري للسكان معروفًا، فسيتم حساب الخطأ المرتبط بمتوسط ​​المحتوى باستخدام عينة الانحراف المعياري SD.

تم تعديل هذا النص من Openstax, Introductory Statistics, Section 8.2 A single population mean using Student’s t distribution.