التقريب الخطي والتقريب

التقريب الخطي هو تقنية رياضية تُستخدم لتقريب الدوال المعقدة وغير الخطية بنماذج خطية أبسط في جوار نقطة مرجعية مختارة. وتستند هذه الطريقة إلى فكرة مفادها أنه، رغم أن تقييم الدالة بدقة قد يكون صعبًا، فإن سلوكها قرب قيمة مُدخلة محددة يمكن غالبًا تقريبه تقريبًا دقيقًا بواسطة خط المماس عند تلك النقطة. وتكون هذه المقاربة مفيدة على نحو خاص عندما تكون الانحرافات عن قيمة معلومة صغيرة.

لننظر في دالة الجذر التربيعي، حيث تُعرف قيمتها بدقة عند مُدخل مقداره 4. وتُعد هذه القيمة نقطة مرجعية مناسبة لأن كلاً من قيمة الدالة ومعدل تغيرها يمكن تحديدهما بسهولة عند هذه النقطة. غير أن تقييم الدالة عند مُدخل قريب، مثل 4.1، ليس مباشرًا دون أدوات حاسوبية. ويعالج التقريب الخطي هذه الصعوبة باستبدال الدالة الأصلية بخط مماسها قرب النقطة المرجعية.

يُنشأ تقريب خط المماس باستخدام ثلاثة مكونات: قيمة الدالة عند المُدخل المرجعي، ومشتقة الدالة عند ذلك المُدخل نفسه، والتغير الصغير في متغير المُدخل عن النقطة المرجعية. وتشكل هذه العناصر معًا صيغة التقريب الخطي،

\begin{equation*}L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)\end{equation*}

التي توفر تقديرًا لقيمة الدالة قرب المُدخل المرجعي. ومن خلال تعويض المُدخل القريب في هذا التعبير، تُستخرج قيمة تقريبية من غير الحاجة إلى تقييم الدالة غير الخطية الأصلية مباشرة.

في مثال الجذر التربيعي، تُحسب أولاً قيمة الدالة ومشتقتها عند المُدخل المرجعي، ثم يُحسب الفرق بين المُدخل الجديد والمُدخل المرجعي. وبدمج هذه الكميات نحصل على قيمة مُقدَّرة قريبة جدًا من القيمة الحقيقية للجذر التربيعي لـ 4.1. ويبيّن الفارق الطفيف كلاً من فاعلية التقريب الخطي وحدوده. ويُظهر هذا المثال كيف يتيح التقريب الخطي تقريبات دقيقة وفعّالة عندما يتعذر تقييم الدوال بدقة، شريطة أن يبقى المُدخل قريبًا من النقطة المرجعية المختارة.