اختبار المشتقة الثانية: حل المسائل

في التحليل الرياضي، يعد إيجاد القيم العظمى والصغرى للدالة أمرًا بالغ الأهمية لفهم سلوكها. تعرف هذه النقاط بالنقاط الحرجة، وتقع حيث تساوي المشتقة الأولى الصفر أو تكون غير معرفة. تمثل النقاط الحرجة مواقع محتملة للقيم العظمى والصغرى المحلية، ويمكن تصنيفها باستخدام اختبار المشتقة الثانية. ومع ذلك، لا تقابل كل نقطة حرجة قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية. ولذلك يتم تحليل المشتقة الثانية لتصنيف هذه النقاط. يقدم اختبار المشتقة الثانية معلومات عن التقعر:

• إذا كانت f''(x)>0، فإن الدالة مقعرة لأعلى، أي إن النقطة الحرجة تمثل قيمة صغرى محلية.
• إذا كانت f''(x)<0، فإن الدالة مقعرة لأسفل، أي إن النقطة الحرجة تمثل قيمة عظمى محلية.

إذا كانت f''(x)=0، فإن الاختبار غير حاسم، ويجب تطبيق طرق أخرى، مثل اختبار المشتقة الأولى. لنأخذ الدالة التالية:

\begin{equation*}f(x) = x^3 -3x^2 + 4\end{equation*}
 

• احسب المشتقة الأولى:

\begin{equation*}f'(x) = 3x^2 -6x\end{equation*}

نضع f'(x)=0 لإيجاد النقاط الحرجة، فنحصل على x = 0 و x = 2 كنقطتين حرجتين.

• أوجد المشتقة الثانية:

\begin{equation*}f''(x) = 6x -6\end{equation*}

• عند حساب المشتقة الثانية عند النقاط الحرجة:
• f''(0) = 6(0) -6 = -6 (سالبة، لذا فإن x = 0 قيمة عظمى محلية).
• f''(2) = 6(2) -6 = 6 (موجبة، لذا فإن x = 2 قيمة صغرى محلية).

يكون للدالة نقطة انعطاف عندما تتغير إشارة المشتقة الثانية؛ وبوضع f''(x)=0 ثم حل المعادلة بالنسبة إلى x نحصل على x = 1. وبما أن f''(x) تتغير إشارتها عند x = 1، فهذه نقطة انعطاف. يوضح هذا التحليل كيف يساعد اختبار المشتقة الثانية في تحديد السمات الرئيسة لمنحنى الدالة.