الأصفار المركبة

الأصفار المركبة هي حلول معادلات كثيرة الحدود التي تتضمن أعدادًا تخيلية، وتحديدًا الأعداد من الشكل a + bi، حيث a وb عددان حقيقيان، وi هي الوحدة التخيلية المُعرّفة بـ i^2 = -1. تُحقق هذه الأصفار المعادلة P(x) = 0، حيث P(x) كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية أو مركبة. ولأن نظام الأعداد المركبة يتضمن جميع الأعداد الحقيقية، فإنه يُوفر إطارًا متكاملًا لتحليل جميع الجذور المحتملة لكثيرة الحدود.

يمكن تحليل كل كثيرة حدود من الدرجة n ≥ 1 تحليلًا كاملًا إلى حاصل ضرب n عاملًا خطيًّا على الأعداد المركبة. هذا يعني أنه يمكن كتابة أي كثيرة حدود على النحو التالي:

حيث كل c_i هو صفر مركب لـ P(x)، وa هو المعامل الرئيسي. قد تكون هذه الأصفارُ حقيقيةً أو مركبةً غيرَ حقيقية.

يُعد مفهوم التعدّد أساسيًا لفهم بنية جذور كثيرات الحدود. إذا ظهر الصفر c عاملًا k مرّات في التحليل الكامل إلى العوامل، يُقال إن له تعدّدًا مقداره k. عند تضمين التعدّدات، يكون لكثيرة حدود من الدرجة n دائمًا n صفرًا بالضبط.

في الحالة الخاصة لكثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية، تظهر الأصفار المركبة في أزواج مترافقة. أي، إذا كان a + bi صفرًا، فإن a - bi يجب أن يكون صفرًا أيضًا. هذا يضمن أن يكون للعامل التربيعي المقابل

معاملات حقيقية.

لتحديد الأصفار المركبة التي لا تظهر مباشرةً من خلال التحليل إلى العوامل، تُستخدم الصيغة التربيعية. تُعطي هذه الطريقة حلولًا دقيقة، بما في ذلك المكوّنات التخيلية، عندما يكون المميِّز سالبًا، وبذلك تُكمل عملية التحليل إلى العوامل.