4.7
الأصفار المركبة هي قيم تجعل كثيرة الحدود مساوية صفرا ويمكن أن تظهر أثناء العوملة عندما تتضمن الحلول مكونات تخيلية.
نظرا لأن نظام الأعداد المركبة يوسع الأعداد الحقيقية ، يمكن تحليل أي كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية أو معقدة بالكامل باستخدام أصفار مركبة.
تم إضفاء الطابع الرسمي على هذه العلاقة في نظرية التحليل الكامل ، والتي تنص على أن كثيرات الحدود من الدرجة n ، مع معاملات مسماة بالسطوانات السفلية للإشارة إلى موضع كل مصطلح ، يمكن كتابتها كمنتج للعوامل الخطية ، مع كل عامل يتوافق مع صفر مركب.
قد تحدث بعض هذه الأصفار أكثر من مرة - تعرف هذه الخاصية باسم التعددية.
على سبيل المثال ، الصفر مع تعدد ثلاثة يرتفع عامله إلى القوة الثالثة في كثير الحدود.
عند حساب المضاعفات ، تنص نظرية الأصفار على أن كثيرات الحدود من الدرجة n لها بالضبط n أصفار ، والتي قد تكون حقيقية أو معقدة أو متكررة.
الاستخدام العملي للأصفار المعقدة هو في مرشحات الشق ، والتي تمنع ترددات معينة. غالبا ما تلتقط الأدوات الطبية الضوضاء من خطوط الكهرباء عند 50 أو 60 هرتز.
الأصفار المركبة هي حلول معادلات كثيرة الحدود التي تتضمن أعدادًا تخيلية، وتحديدًا الأعداد من الشكل a + bi، حيث a وb عددان حقيقيان، وi هي الوحدة التخيلية المُعرّفة بـ i^2 = -1. تُحقق هذه الأصفار المعادلة P(x) = 0، حيث P(x) كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية أو مركبة. ولأن نظام الأعداد المركبة يتضمن جميع الأعداد الحقيقية، فإنه يُوفر إطارًا متكاملًا لتحليل جميع الجذور المحتملة لكثيرة الحدود.
يمكن تحليل كل كثيرة حدود من الدرجة n ≥ 1 تحليلًا كاملًا إلى حاصل ضرب n عاملًا خطيًّا على الأعداد المركبة. هذا يعني أنه يمكن كتابة أي كثيرة حدود على النحو التالي:
حيث كل c_i هو صفر مركب لـ P(x)، وa هو المعامل الرئيسي. قد تكون هذه الأصفارُ حقيقيةً أو مركبةً غيرَ حقيقية.
يُعد مفهوم التعدّد أساسيًا لفهم بنية جذور كثيرات الحدود. إذا ظهر الصفر c عاملًا k مرّات في التحليل الكامل إلى العوامل، يُقال إن له تعدّدًا مقداره k. عند تضمين التعدّدات، يكون لكثيرة حدود من الدرجة n دائمًا n صفرًا بالضبط.
في الحالة الخاصة لكثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية، تظهر الأصفار المركبة في أزواج مترافقة. أي، إذا كان a + bi صفرًا، فإن a - bi يجب أن يكون صفرًا أيضًا. هذا يضمن أن يكون للعامل التربيعي المقابل
معاملات حقيقية.
لتحديد الأصفار المركبة التي لا تظهر مباشرةً من خلال التحليل إلى العوامل، تُستخدم الصيغة التربيعية. تُعطي هذه الطريقة حلولًا دقيقة، بما في ذلك المكوّنات التخيلية، عندما يكون المميِّز سالبًا، وبذلك تُكمل عملية التحليل إلى العوامل.
الأصفار المركبة هي قيم تجعل كثيرة الحدود مساوية صفرا ويمكن أن تظهر أثناء العوملة عندما تتضمن الحلول مكونات تخيلية.
نظرا لأن نظام الأعداد المركبة يوسع الأعداد الحقيقية ، يمكن تحليل أي كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية أو معقدة بالكامل باستخدام أصفار مركبة.
تم إضفاء الطابع الرسمي على هذه العلاقة في نظرية التحليل الكامل ، والتي تنص على أن كثيرات الحدود من الدرجة n ، مع معاملات مسماة بالسطوانات السفلية للإشارة إلى موضع كل مصطلح ، يمكن كتابتها كمنتج للعوامل الخطية ، مع كل عامل يتوافق مع صفر مركب.
قد تحدث بعض هذه الأصفار أكثر من مرة - تعرف هذه الخاصية باسم التعددية.
على سبيل المثال ، الصفر مع تعدد ثلاثة يرتفع عامله إلى القوة الثالثة في كثير الحدود.
عند حساب المضاعفات ، تنص نظرية الأصفار على أن كثيرات الحدود من الدرجة n لها بالضبط n أصفار ، والتي قد تكون حقيقية أو معقدة أو متكررة.
الاستخدام العملي للأصفار المعقدة هو في مرشحات الشق ، والتي تمنع ترددات معينة. غالبا ما تلتقط الأدوات الطبية الضوضاء من خطوط الكهرباء عند 50 أو 60 هرتز.
From Chapter 4:
Now Playing
Polynomial and Rational Functions
467 Views
Polynomial and Rational Functions
434 Views
Polynomial and Rational Functions
571 Views
Polynomial and Rational Functions
849 Views
Polynomial and Rational Functions
449 Views
Polynomial and Rational Functions
371 Views
Polynomial and Rational Functions
574 Views
Polynomial and Rational Functions
554 Views
Polynomial and Rational Functions
360 Views
Polynomial and Rational Functions
377 Views