دالة طول القوس

تمثل دالة طول القوس المسافة الكلية المقطوعة على طول منحنى أملس، مقاسة من نقطة بداية ثابتة إلى طرف نهائي متغير. وبالنسبة للمنحنيات المتصلة والقابلة للاشتقاق، يوفر طول القوس طريقة دقيقة لقياس المسافة عندما لا تكفي تقريبات الخط المستقيم.

لاشتقاق طول القوس، يُقسَّم المنحنى إلى عدد كبير من المقاطع الصغيرة. ويُقرَّب كل مقطع بخط مستقيم يعتمد طوله على مقدار التغيرين الأفقي والرأسي على تلك الفترة. وتشبه هذه المقاطع الخطية في بنيتها مجموع ريمان. ومع زيادة عدد المقاطع وتناقص عرضها مقتربًا من الصفر، يتقارب هذا التقريب إلى تكامل يعطي الطول الدقيق للمنحنى.

بالنسبة للدالة y = f(x) القابلة للاشتقاق على مجال ما، فإن طول القوس من نقطة ثابتة x = a إلى نقطة نهاية متغيرة x يُعطى بـ

\begin{equation*}L(x) = \int_a^x \bm{\sqrt{1 + (f'(u))^2}}\, du\end{equation*}

. وتكون الدالة المُكاملة دائمًا أكبر من أو تساوي واحدًا، وهو ما يعكس حقيقة أن أقصر مسافة بين نقطتين هي الخط المستقيم. وكلما ازدادت قيمة المشتقة، بما يدل على منحنى أشد انحدارًا، ازدادت قيمة الدالة المُكاملة، مما يؤدي إلى تراكم طول القوس بمعدل أسرع.

يُبيِّن اشتقاق دالة طول القوس باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل أن معدل تغيرها عند أي نقطة يعتمد مباشرة على ميل المنحنى عند تلك النقطة. ويبرز ذلك العلاقة الوثيقة بين السلوك الهندسي المحلي والمسافة الكلية المتراكمة.

تعد دوال طول القوس بالغة الأهمية في التطبيقات العملية التي تتطلب قياسًا دقيقًا للمسافة على طول مسارات منحنية. فعلى سبيل المثال، عند تركيب سياج حواجز الطرق على امتداد طريق متعرج، تضمن حسابات طول القوس قياس المسافة الفعلية على الأرض، مما يمنع التقليل من تقدير المواد والتكاليف ومدة التركيب.